2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃數(shù)學(xué)試題(精校word版,帶解析)-歷年自主招生考試數(shù)學(xué)試題大全

1、2016年清華大學(xué)自主招生暨領(lǐng)軍計(jì)劃試題1已知函數(shù)有最小值，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）a b c d取決于的值【答案】c【解析】注意，答案c2 已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為下列條件中，能使得的形狀唯一確定的有（ ）a bcd【答案】ad3已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的有（ ）a在點(diǎn)處有公切線b存在的某條切線與的某條切線平行c有且只有一個(gè)交點(diǎn)d有且只有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】bd【解析】注意到為函數(shù)在處的切線，如圖，因此答案bd4過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)下列說(shuō)法中正確的有（ ）a以線段為直徑的圓與直線一定相離b的最小值為c的最小值為d以線段為直徑的圓與軸一定相切【答案】ab【解析】對(duì)于選項(xiàng)

2、a，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，于是以線段為直徑的圓與直線一定相切，進(jìn)而與直線一定相離；對(duì)于選項(xiàng)b，c，設(shè)，則，于是，最小值為4也可將轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的2倍去得到最小值；對(duì)于選項(xiàng)d，顯然中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與不一定相等，因此命題錯(cuò)誤5已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)下列說(shuō)法中正確的有（ ）a時(shí)，滿足的點(diǎn)有兩個(gè)b時(shí)，滿足的點(diǎn)有四個(gè)c的周長(zhǎng)小于d的面積小于等于【答案】abcd【解析】對(duì)于選項(xiàng)a，b，橢圓中使得最大的點(diǎn)位于短軸的兩個(gè)端點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)c，的周長(zhǎng)為；選項(xiàng)d，的面積為6甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加比賽，有兩花獲獎(jiǎng)比賽結(jié)果揭曉之前，四個(gè)人作了如下猜測(cè)：甲：兩名獲獎(jiǎng)?wù)咴谝?、丙、丁中；乙：我沒(méi)有獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)了

3、；丙：甲、丁中有且只有一個(gè)獲獎(jiǎng)；?。阂艺f(shuō)得對(duì)已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測(cè)是正確的，那么兩個(gè)獲獎(jiǎng)?wù)呤牵?）a甲b乙c丙d丁【答案】bd【解析】乙和丁同時(shí)正確或者同時(shí)錯(cuò)誤，分類即可，答案：bd7已知為圓的一條弦（非直徑），于，為圓上任意一點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)以下說(shuō)法正確的有（ ）a四點(diǎn)共圓b四點(diǎn)共圓c四點(diǎn)共圓d以上三個(gè)說(shuō)法均不對(duì)【答案】ac【解析】對(duì)于選項(xiàng)a，即得；對(duì)于選項(xiàng)b，若命題成立，則為直徑，必然有為直角，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)c，即得答案：ac8是為銳角三角形的（ ）a充分非必要條件b必要非充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】b【解析】必要性：由于，

4、類似地，有，于是不充分性：當(dāng)時(shí)，不等式成立，但不是銳角三角形9已知為正整數(shù)，且，那么方程的解的組數(shù)為（ ）abcd【答案】b【解析】由于，故若，則，可得；若，則，可得；若，則，進(jìn)而解得；若，則，可得答案：b10集合，任取這三個(gè)式子中至少有一個(gè)成立，則的最大值為（ ）abcd【答案】b11已知，則下列各式中成立的有（ ）abc d 【答案】bd【解析】令，則，所以，以上三式相加，即有類似地，有，以上三式相加，即有答案bd12已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值也最小值乘積屬于區(qū)間（ ）a b c d【答案】b【解析】設(shè)函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)，作出的圖象，函數(shù)的圖象在處的切線，以及函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和的割線，如圖，于是

5、可得，左側(cè)等號(hào)當(dāng)或時(shí)取得； 右側(cè)等號(hào)當(dāng)時(shí)取得因此原式的最大值為，當(dāng)時(shí)取得；最小值為，當(dāng)時(shí)取得，從而原式的最大值與最小值的乘積為答案b13已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）a的最大值為b的最大值為c的最大值為d的最小值為【答案】abd14數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù)，以下說(shuō)法中正確的有（ ）a為定值 b或c為完全平方數(shù) d為完全平方數(shù)【答案】acd【解析】因?yàn)椋x項(xiàng)a正確；由于，故，又對(duì)任意正整數(shù)恒成立，所以，故選項(xiàng)c、d正確計(jì)算前幾個(gè)數(shù)可判斷選項(xiàng)b錯(cuò)誤 說(shuō)明：若數(shù)列滿足，則為定值15若復(fù)數(shù)滿足，則可以取到的值有（ ）abcd 【答案】cd【解析】因?yàn)椋?，等?hào)分別當(dāng)和時(shí)取得答案cd16 從正2016邊形

6、的頂點(diǎn)中任取若干個(gè)，順次相連構(gòu)成多邊形，若正多邊形的個(gè)數(shù)為（ ）a b c d【答案】c【解析】從2016的約數(shù)中去掉1，2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù)設(shè)從2016個(gè)頂點(diǎn)中選出k個(gè)構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有個(gè)，因此所求的正多邊形的個(gè)數(shù)就是2016的所有約數(shù)之和減去2016和1008考慮到，因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為答案c17已知橢圓與直線，過(guò)橢圓上一點(diǎn)作的平行線，分別交于兩點(diǎn)若為定值，則（ ）abcd【答案】c【解析】設(shè)點(diǎn)，可得，故意為定值，所以，答案：c說(shuō)明：（1）若將兩條直線的方程改為，則；（2）兩條相交直線上各取一點(diǎn)，使得為定值，則線段中點(diǎn)的軌跡為圓或橢圓18 關(guān)于的不定方程的正

7、整數(shù)解的組數(shù)為（ ）abcd【答案】b19因?yàn)閷?shí)數(shù)的乘法滿足交換律與結(jié)合律，所以若干個(gè)實(shí)數(shù)相乘的時(shí)候，可以有不同的次序例如，三個(gè)實(shí)數(shù)相乘的時(shí)候，可以有等等不同的次序記個(gè)實(shí)數(shù)相乘時(shí)不同的次序有種，則（ ）a b c d【答案】b【解析】根據(jù)卡特蘭數(shù)的定義，可得答案：ab關(guān)于卡特蘭數(shù)的相關(guān)知識(shí)見(jiàn)卡特蘭數(shù)計(jì)數(shù)映射方法的偉大勝利20甲乙丙丁4個(gè)人進(jìn)行網(wǎng)球淘汰賽，規(guī)定首先甲乙一組、丙丁一組進(jìn)行比賽，兩組的勝者爭(zhēng)奪冠軍4個(gè)人相互比賽的勝率如表所示：表中的每個(gè)數(shù)字表示其所在的選手擊敗其所在列的選手的概率，例如甲擊敗乙的概率是0.3，乙擊敗丁的概率是0.4那么甲刻冠軍的概率是 【答案】0.165【解析】根據(jù)概

8、率的乘法公式 ，所示概率為21在正三棱錐中，的邊長(zhǎng)為1設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，異面直線的距離為則 【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，趨于與平面垂直，所求極限為中邊上的高，為22如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，中心為，則四面體的體積為 【答案】【解析】如圖，23 【答案】0【解析】根據(jù)題意，有24實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 【答案】1【解析】根據(jù)題意，有，于是，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為125均為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值與最小值分別為 【答案】【解析】由柯西不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值根據(jù)題意，有，于是解得于是的最小值當(dāng)時(shí)取得，為26若為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則 【答案】【解析】根據(jù)奔馳定理，有27已知復(fù)數(shù)，則 【答案】【解析】根據(jù)題意，有28已知為非零復(fù)數(shù)，的實(shí)部與虛部均為不小于1的正數(shù)，則在復(fù)平面中，所對(duì)應(yīng)的向量的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為 .【答案】【解析】設(shè)，由于，于是如圖，弓形面積為，四邊形的面積為.于是所示求面積為.29若，則 【答案】【解析】根據(jù)題意，有30將16個(gè)數(shù)：4個(gè)1，4個(gè)2，4個(gè)3，4個(gè)4填入一個(gè)的數(shù)表中，要求每行、每列都恰好有兩個(gè)偶數(shù)，共有 種填法【答案】44