高中數(shù)學(xué) （1.2.1 解決有關(guān)測(cè)量距離的問(wèn)題）示范教案 新人教A版必修

1、1.2應(yīng)用舉例1.2.1解決有關(guān)測(cè)量距離的問(wèn)題從容說(shuō)課解斜三角形知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海等都要用到這方面的知識(shí)對(duì)于解斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，我們要在理解一些術(shù)語(yǔ)（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基礎(chǔ)上，正確地將實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度、角度看成三角形相應(yīng)的邊和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)以及正弦定理和余弦定理來(lái)解決學(xué)習(xí)這部分知識(shí)有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力本節(jié)的例1、例2是兩個(gè)有關(guān)測(cè)量距離的問(wèn)題.例1是測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，例2是測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間距離的問(wèn)題.對(duì)于例1可以引導(dǎo)學(xué)生分析這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上就是已知三角

2、形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，從而可以用正弦定理去解決對(duì)于例2首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A、B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)的問(wèn)題，然后把求未知的BC和AC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例1中測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn) 分析測(cè)量問(wèn)題的實(shí)際情景，從而找到測(cè)量距離的方法.教學(xué)難點(diǎn) 實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化思路的確定，即根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖教具準(zhǔn)備 三角板、直尺、量角器等三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)，如:坡度、俯角、方向角、方位角等.二、過(guò)程與方法1.首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，

3、為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題對(duì)于例2這樣的開(kāi)放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生從多角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正2.通過(guò)解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí),提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；2.通過(guò)解斜三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,要求學(xué)生體會(huì)具體問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用.同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形

4、、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定

5、理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離2 / 7推進(jìn)新課解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解.例題剖析【例1】如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55 m，BAC=51°，ACB=75°求A、B兩點(diǎn)的距離.(精確到0.1 m)師（啟發(fā)提問(wèn)）1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較恰當(dāng)？師（啟發(fā)提問(wèn)）2：運(yùn)用該定理解題還需要哪些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答生 從題中可以知道角A和角C，

6、所以角B就可以知道，又因?yàn)锳C可以量出來(lái)，所以應(yīng)該用正弦定理生 這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊解：根據(jù)正弦定理，得，65.7(m).答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米. 知識(shí)拓展變題：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于A km,燈塔A在觀察站C的北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東60°，則A、B之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型解略：km.【例2】如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一

7、種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法 教師精講這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊即可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出A、B的距離解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=A，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=,ACD =,CDB=,BDA=，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得，.計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離. 活動(dòng)與探究還有沒(méi)有其他的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析 知識(shí)拓展若在河岸邊選取相距40米的C、D兩

8、點(diǎn)，測(cè)得BCA=60°，ACD=30°，CDB=45°，BDA=60°,略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206. 教師精講師 可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式學(xué)生閱讀課本14頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子師 解三角形的知識(shí)在測(cè)量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用,如果我們抽去每個(gè)應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實(shí)際所聯(lián)系的外殼,就暴露出解三角形問(wèn)題的本質(zhì),這就要提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

9、及化實(shí)際問(wèn)題為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.下面,我們?cè)倏磶讉€(gè)例題來(lái)說(shuō)明解斜三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用.【例3】如下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過(guò)連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A0處，設(shè)連桿AB長(zhǎng)為340 mm，曲柄CB長(zhǎng)為85 mm，曲柄自CB0按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80°，求活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A）.（精確到1 mm） 師 用實(shí)物模型或多媒體動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生觀察到B與B0重合時(shí)，A與A0重合，故A0C=ABCB425 mm，且A0A=A0C-AC師 通過(guò)觀察你能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型嗎？生

10、問(wèn)題可歸結(jié)為：已知ABC中， BC85 mm，AB34 mm，C80°，求AC師 如何求AC呢？生 由已知AB、C、BC，可先由正弦定理求出A，再由三角形內(nèi)角和為180°求出B，最后由正弦定理求出AC解：（如圖）在ABC中，由正弦定理可得0.246 2.因?yàn)锽CAB，所以A為銳角.A=14°15， B180°-（AC）85°45.又由正弦定理，344.3(mm).A0A =A0C AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.781(mm).答：活塞移動(dòng)的距離為81 mm師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)AC=x，用余弦定理解之，課后完成.

11、 知識(shí)拓展變題：我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/時(shí)的速度航行問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？ 師 你能根據(jù)方位角畫(huà)出圖嗎？生（引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生作圖）師 根據(jù)題意及畫(huà)出的方位圖請(qǐng)大家建立數(shù)學(xué)模型生 例題歸結(jié)為已知三角形的兩邊和它們的夾角，求第三邊及其余角.解：如圖，在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cosBAC=202+122-2×12×20×(-)=784,BC =28,我艦的追擊速度為14海里/時(shí).又在AB

12、C中,由正弦定理得.答：我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|50°-arcsin. 方法引導(dǎo)師 你能歸納和總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般方法與步驟嗎？生分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解生 即解斜三角形的基本思路：師 解斜三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的會(huì)有哪幾種情況？生 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之生 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知

13、量與未知量涉及兩個(gè)三角形中，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解生 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛公路的走向是M站的北偏東40°開(kāi)始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得,則,所以sinMAC=sin（120°-C）=sin120°cosC -cos120°