2021-2021學年第1學期線性代數B1期終考試試卷

1、2021-2021學年第1學期線性代數b1期終考試試卷 西南交通高校 20212021 學年第(一)學期考試試卷 課程代碼 2100024 課程名稱 線性代數b 考試時間 120 分鐘 留意：1答題前，請在密封線內清晰、正確地填寫班級、學號、姓名； 2請將推斷題、填空題和選擇題的答案填寫在指定的位置，寫在其它地方不得分。 一、推斷題（ 每小題 3 分，共 12 分；正確的打“”，錯誤的打“” ） 1、若向量組 1, 2, , r 線性相關，則向量組 1, 2, , m(r m) 線性相關。（ ） 2、(a b)2 a2 2ab b2 。（ ） 3、設 1, 2是對稱矩陣a的兩個相同的特征值，

2、1, 2是對應于 1, 2的特征向量，則 1和 2肯定線性相關。（4、v x (xt 1,x2, ,xn)|x1 2x2 nxn 0,xi ri 1,2, ,n 是向量空間。（ ）二、填空題（每空3分，共15分） 2x 1 1 5、求函數f(x) x xx中x3 的系數為 ； 1 2 x 6、設 (1 23), (3 2 1)t ，則 = ； 1 2347、已知四階行列式d 5678 4 4 4 4，則 a11 a12 a13 a14 ； 1 2 3 8、若n元非齊次線性方程ax b有唯一解，則它對應的齊次線性方程ax 0 ； （填寫“只有零解”或“有非零解”） 9、設a為n階方陣，且a2 a

3、 7e 0，則 a 2e 1 三、選擇題（每小題3分，共18分） 10、設 2 xy x 6 4x y 01 11 1 ，則（ ） 1 （a） x 4y 10 （b） x 10y 4 （c） x 1 y 1 （d） x 0 y 1 100 200 1、矩陣a 0 01 030 ，則 a 1 =（ ） 01 0 0 4 ） 1 2 （a） 0 0 1 （c） 0 0 001 013 00 1 0 0 1 20 （b） 0 01 4 013 1 0014 0 13 0 0 （d） 0 4 2 0 0 12、設 a、b均為n階方陣，下列各式正確的是( ). (a) | a| |a|； (b) (ab

4、)(c) (ab) t t t 1 b 1 a 1 ； ba； (d)|a b| |a| |b|. 12 13、設3階可逆方陣a，且a ，則(2a) 1 5a * （ ）； （a） 4 （b） -4 （c） 16 （d） -16 14、已知 3 階方陣a的特征值為 1，-2，3，則 a* a2 =（ ）; （a） -245 （b）245 （c）49 （d）-35 15、設矩陣 a ( 1, 2, 3, 4),其中 2, 3, 4線性無關，且 1 3 2 2 3， 的通解為( ). 1 2 2 3 3 4 4，則 ax 1 3 (a) x c 2 1 1 3 (c) x c 2 0 四、計算題（

5、48分） 1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 32 c r (b) x c 2 3 0 4 1 2 c r (d) x c 3 4 1 2 3 4 c r c r 3 16、計算四階行列式 d4 1311 1131 1113 （6分） 111 3 17、設矩陣a和b滿意關系式ab a 2b，其中a 0 0 040 0 0，求矩陣 b。（6分） 5 18、設向量組 a: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)， 求向量組a的秩及一個最大線性無關組，并把其余向量用最大線性無關組線性表示。（12分） t

6、tttt (1 )x1 x2 x3 0 19、設有線性方程組 x1 (1 )x2 x3 3， 問 取何值時，此方程 x x (1 )x 23 1 （1）有唯一解；（2）無解；（3）有無限多個解？并在有無限多個解時求其通解。 （12分） 20、求一個正交變換x py，把二次型 f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化為標準形。 （12分） 五、證明題：（7分） 21、設有向量組 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，試證向量組 1, 2, , m線性無關。其中： 2 n 222 a1,a2, ,am為m個互不相等且不為零的常數。 線性代數b參考答案及評

7、分標準 一、推斷題：（每小題3分）： 1、 ；2、 ；3、 ；4、 。 二、填空題答案填寫處（每空3分）： 5、 -2 ；6、 10 ；7、 0 ； 8、 只有零解 ；9、 a+3e 。 三、選擇題：（每小題3分） 3 三、16、計算d 1311 1131 1113 。（6分） 111 解： 6d 1111 6 1111 6 000 13111 631111311 613111131 6113 (3) (4) 200 020 002 (5) 48 (6) 注：本題有多種解法，只要行列式性質使用正確，并且結果正確即可給滿分； 3 17、設矩陣a和b滿意關系式ab a 2b，其中a 0 0 解：

8、由于 ab a 2b 所以 (a 040 0 （6分） 0，求矩陣 b。 5 2e)b a b (a 2e) 1 a 2e 0 0 020 1 a 3分 0 0，a 2e 6 0，故a 2e可逆； 3 (a 2e) 1 1 0 0 02 0 0 1 3 3 b 0 0 18、設向量組 020 0 6分 5 3 0 注：此題如有其它解法，只要計算過程及結果正確，均可給滿分。 a: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)， 求向量組a的秩及一個最大線性無關組，并把其余向量用最大線性無關組線性表示。（12分

9、） ttttt 解：增廣矩陣為： 1 0 2 0 1 0 0 0 12021100 21302021 25 1424 30 1 1 10 3 0 1 01 1 10 1 0 0 0 12 211100 21 100010 25 5484 30 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 0 0 0 12100100 21000010 254044 30 1 1 1 0 0 1 1 0 所以 向量組a的秩為3； 1, 2, 3為一個最大線性無關組； 4 4 1 4 2 3 3； 5 2 3。 (1 )x1 x2 x3 0 19、設有線性方程組 x1 (1 )x2 x3 3， 問 取何值時，此

10、方程 x x (1 )x 23 1 （1）有唯一解；（2）無解；（3）有無限多個解？并在有無限多個解時求其通解。 （12分） 解：增廣矩陣為： 1 b 1 1 1 0 0 1 11 11 2 2 111 0 3 r3 r1 1 1 1 1 0 0 11 11 1 111 2 3 0 r2 r1 r3 r1 1 0 0 1 r r 32 3 (1 ) 3 3 4分 2 3 2 1 ( 3) 3 ( 1)( 3) a) 3，即 0且 3時，原方程組有惟一解；6分 （1） 當r(a) r( （2）當 0時，原方程組無解；8分 （3）當 3時，原方程組有無窮多解；10分 對方程組的增廣矩陣作初等行變換

11、如下： 1 b0 0 1 30 230 3 1 60 0 0 010 1 10 1 2 0 1 所以此方程的通解為x c1 1 1 2,(c r)12分 0 20、求一個正交變換x py，把二次型 f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化為標準形。 （12分） 解： 222 2 （1）二次型的矩陣 a 2 2 （2）方陣a的特征多項式為： 25 4 2 4； 2分 5 2 p( ) |a e| 2 2 25 4 2 45 ( 1)( 10) 2 令 p( ) 0，解得特征值為 1 10, 2 3 1. 5分 將 1 10, 2 3 1.分別代入方程組 (a e)x 0,

12、可得特征向量分別為 1 2 2 1 2, 2 1, 3 0，7分 2 0 1 對它們進行schimidt正交化再單位化后得到 2 1 2 5 q1 2,q2 1,q3 4 5 2 0 1 1 3 2 e1 ,e2 ,e 3 3 0 5 2 3 所求正交矩陣q (e1,e2,e3)， 9分 且滿意qaq diag(10,1,1) 10分 （3）該二次型在正交變換x qy下的標準型為： t f(y1,y2,y3) 10y1 y2 y3 12分 五、證明題：（7分） 21、設有向量組 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，試證向量組 1, 2, , m線性無關。其中： 2 n 222 a1,a2, ,am為m個互不相等且不為零的常數。 證明：由題設可知 1 (a1,a12, ,a1n) 2n 2 (a2,a2, ,a2) 1分 (a,a2, ,an) mmm m 去掉每一個向量的后面(n m)個重量得： 1 (a1,a12, ,a1m) 2m 2 (a2,a2, ,a2) 2分 (a,a2, ,am) mmm m 設有數x1,x2, ,xm，使得 x1 1 x2 2 . xm m 0