線代小組應(yīng)用題作業(yè)

1、小組成員：包辛寶吳錦浩陶金磊沈浩杰林思遠(yuǎn)湯翔帆李子璇顧馨艷孫丹瓊劉煥一化學(xué)方程式配平問(wèn)題在用化學(xué)方法處理污水過(guò)程中，有時(shí)會(huì)涉及到復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng) . 這些反應(yīng)的 化學(xué)方程 式是分析計(jì)算和工藝設(shè)計(jì)的重耍依據(jù) . 在定性地檢測(cè)出反應(yīng)物和生成 物之后，可以通過(guò)求 解線性方程組配平化學(xué)方程式 .圖 18 污水處理【模型準(zhǔn)備】 某廠廢水中含 KCN, 其濃度為 650mg/L.現(xiàn)用氯氧化法處理，發(fā)生 如下反應(yīng)：KCN + 2KOH + Cb = KOCN + 2KC1 + H 2O. 投入過(guò)量液氯，可將鼠酸鹽進(jìn)一步氧化為氮?dú)?. 請(qǐng)配平下列化學(xué)方程式： KOCN+KOH +Cb =CO2+N24-KC1

2、+H?0.( 注：題目摘自福建省反門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 2008-2009 學(xué)年高三第三次月考化學(xué)試卷 )模型建立】 設(shè)X1KOCN+X2KOH+X3CI2 = X4CO2+X5N2+X6KCI +x 7H2O,【模型求解】 在 Matlab 命令窗口輸入以下命令? A = 1, 1, 0, 0, 0, -1, 0； 1, 1, 0, -2, 0, 0, -1 ;1, 0, 0, -1, 0, 0, 0; 1, 0,0, 0, -2, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0, 0, -2; 0, 0, 2, 0, 0, -1, 0;? x = null (A, 5r5); format rat, xM

3、atlab 執(zhí)行后得 ans 一1 3/2 1/2 3 1可見(jiàn)上述齊次線性方程組的通解為x = k(l,2,3/2,1,1/2,3,1)T.取 k = 2 得 x = (2,4,3,2,l,6,2)T. 口 J 見(jiàn)配平后的化學(xué)方程式如卜2KOCN+4KOH+3Cb2CO°+N 卄 6KC1 + 2HQ【模型分析】 利用線性方程組配平化學(xué)方程式是一種待定系數(shù)法 . 關(guān)鍵是根據(jù)化 學(xué)方程式兩邊所涉及到的各種元素的屋相等的原則列出方程 . 所得到的齊次線 性方程組 Ax =伊 t1所含方程的個(gè)數(shù)等于化學(xué)方程式中元素的種數(shù) s,未知數(shù)的個(gè) 數(shù)就是化學(xué)方程式中的項(xiàng)數(shù) n.當(dāng) r=n-l 時(shí),

4、Ax = 佛勺基礎(chǔ)解系中含有 1 個(gè)( 線性無(wú)關(guān)的 ) 解向量 . 這時(shí)在 通解中取常 數(shù) k 為各分量分母的最小公倍數(shù)即可 . 例如本例中1,2,3/2,1,1/2,3,1分母的最小公倍數(shù)為 2,故取 k=2.當(dāng) T(A) <11-2 時(shí),Ax=J 基礎(chǔ)解系中含有 2 個(gè)以上的線性無(wú)關(guān)的解向量 . 這 時(shí)可以根據(jù) 化學(xué)方程式中元素的化合 ?價(jià)的上升與下降的情況，在原線性方程組中添加新的方程 .參考文獻(xiàn)陳懷琛，高淑萍，楊威，工程線性代數(shù)，北京：電子工業(yè)出版社，2007.頁(yè)碼 : 84-85.二平面圖形的幾何變換隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣，如仿真設(shè) 計(jì)、效果

5、圖制作、動(dòng)畫(huà)片制作、電子游戲開(kāi)發(fā)等 .圖 26 計(jì)算機(jī)圖形営的廣泛應(yīng)用圖形的兒何變換，包括圖形的半移、旋轉(zhuǎn)、放縮等，是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常 遇到的問(wèn) 題. 這里暫時(shí)只討論平面圖形的兒何變換 .【模型準(zhǔn)備】 平而圖形的旋轉(zhuǎn)和放縮都很容易用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)，但是圖形的平移 并不是線 性運(yùn)算，不能直接用矩陣乘法表示 . 現(xiàn)在要求用一種方法使平移、旋轉(zhuǎn)、 放縮能統(tǒng)一用矩陣 乘法來(lái)實(shí)現(xiàn) .【模型假設(shè)】 設(shè)平移變換為(x,y) ->(x+a,y+b)旋轉(zhuǎn)變換 ( 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)確度 ) 為(x, y) >(xcos-ysinft xsinB+ycos?放縮變換 ( 沿 x 軸方向放大 s倍，沿 y

6、fi 方向放大 t 倍) 為(x, y) T(SX, ty)【模型求解】 R2 中的每個(gè)點(diǎn) (x,y)可以對(duì)應(yīng)于 R3中的(x,y,l) . 它在 xOy 平面上方 1 單位的平 面上 我們稱 (x,y,l) 是(x,y) 的齊次坐標(biāo) . 在齊次坐標(biāo)下，平移變換(&y) T ( x+a,y+b)可以用齊次坐標(biāo)寫(xiě)成(%y, 1) ->(x+a,y+b, !)?丁?是可以用矩陣乘積旋轉(zhuǎn)變換放縮變換10 11°0/ x+ ay+bI 1丿實(shí)現(xiàn)>(xcos-ysinft xsinQ+ycos 可以用齊次坐標(biāo)寫(xiě)成(x.y)(X, y, 1) ->(xcos0ysinQ

7、 xsinO+ycosQ 1).0、01'xcosQ- ysin xsin&+ ycos& 實(shí)現(xiàn) I 1 、 )'cosC 一r 是可以用矩陣乘積 sin8 sin。 L 0 cos。 可以用齊次坐標(biāo)寫(xiě)成 0(x, y) T(SX. ty) (%y, 1) ->(sx, ty.l).Goo、(sx于是可以用矩陣乘積0 t 0Xy=ty實(shí)現(xiàn),0 0 1丿1丄模型分析】 由上述求解可以看出， R2 中的任何線性變換都可以用分塊矩陣乘以齊次坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)，其中 A 是 2 階方陣. 這樣，只要把平面圖形上點(diǎn)的齊次坐標(biāo)寫(xiě)成列向量，半面圖形的每一次兒何變換，都可通過(guò)左乘一

8、個(gè) 3 階變換矩 陣來(lái)實(shí) 現(xiàn).參考文獻(xiàn)David C. Lay,線性代數(shù)及其應(yīng)用，沈復(fù)興，傅鶯鶯等譯 , 北京：人民郵電出版社 , 2009.頁(yè) 碼: 139441 ?三平衡價(jià)格問(wèn)題為了協(xié)調(diào)多個(gè)相互依存的行業(yè)的平衡發(fā)展，有關(guān)部門(mén)需要根據(jù)每個(gè)行業(yè)的 產(chǎn)出在各個(gè) 行業(yè)中的分配情況確定每個(gè)行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價(jià)格，使得每個(gè)行業(yè)的 投入與產(chǎn)出都大致相等圖 21 三個(gè)行業(yè)【模型準(zhǔn)備】 假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)組成，每個(gè)行業(yè)的產(chǎn)出 在各個(gè) 行業(yè)中的分配如下表所示：表 7 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購(gòu)買者煤炭電力鋼鐵00.40.6煤炭0.60.10.2電力0.40.50.2鋼鐵每一列中的元素表示占該行業(yè)

9、總產(chǎn)出的比例 . 求使得每個(gè)行業(yè)的投入與產(chǎn)出都 相等的平衡價(jià) 格.【模型假設(shè)】 假設(shè)不考慮這個(gè)系統(tǒng)與外界的聯(lián)系 .【模型建立】 把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價(jià)格分別用 X1,X2,X3 表示，則齊 一 0? 4 花一 0.6X3 = 0齊=0.4X2 + 0.6X 3< 電= 0.6 齊+ 0.1冷 + 0? 2*3，即 -0.6Xj +0.9X2-0.2X3 = 0.Xj = 0? 4舌 + 0.5x2 + 0.2 一 0? 4馮 一 0? 5卷 + 0.8X3 = 0【模型求解】 在 Matlab 命令窗口輸入以下命令>> A = 1, -0. 4, -0. 6；

10、-0. 6, 0. 9, -0. 2;-0. 4,-0. 5, 0. 8;>> x = null(AJr'); format short, x 、Matlab 執(zhí)行后得 ans 二0. 9394 0. 8485 1. 0000可見(jiàn)上述齊次線性方程組的通解為x = k(0.9394,0.8485,1)T.這就是說(shuō)，如果煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價(jià)格分別0.9394億元,0.8485 億元,1億元，那么每個(gè)行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等 .【模型分析】 實(shí)際上，一個(gè)比較完整的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不可能只涉及三個(gè)行業(yè)，因此需 要統(tǒng)計(jì) 更多的行業(yè)間的分配數(shù)據(jù) .Matlab 實(shí)驗(yàn)題假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由煤炭、石汕、電力、鋼鐵、機(jī)械制造、運(yùn)輸行業(yè)組成，每 個(gè)行業(yè) 的產(chǎn)出在各個(gè)行業(yè)中的分配如下表所示：表 8 行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配購(gòu)買者煤炭石油電力鋼鐵制造運(yùn)輸000.20.10.20.2煤炭000.10.10.20.1石油0.50.10.10.20.10.1