第一章 數(shù)學(xué)物理中的偏微分方程

1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程Equations of Mathematical Physics 2 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 指從物理學(xué)或其他各門自然科指從物理學(xué)或其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中的某些物理問題導(dǎo)出的偏微分方學(xué)、技術(shù)科學(xué)中的某些物理問題導(dǎo)出的偏微分方程程( (有時(shí)也包括積分方程、微分積分方程等有時(shí)也包括積分方程、微分積分方程等) )。它。它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和與空們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和與空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)

2、學(xué)物理方程的范圍。物理方程的范圍。 教學(xué)目的教學(xué)目的 通過本課程的教學(xué)使學(xué)生獲得有關(guān)偏通過本課程的教學(xué)使學(xué)生獲得有關(guān)偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類典型方程定解問題的解法，進(jìn)一步擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)典型方程定解問題的解法，進(jìn)一步擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面，為后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。學(xué)知識(shí)面，為后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。3參考書目參考書目數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程, ,王明新王明新, , 清華大學(xué)出版社。清華大學(xué)出版社。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程，姜禮尚，高教出版社。，姜禮尚，高教出版社。工程技術(shù)中的偏微分方程工程技術(shù)中的偏微分方程， 潘祖梁，潘祖梁，

3、浙江大學(xué)出版社。浙江大學(xué)出版社。1.1 偏微分方程的一些基本概念45一一. . 偏微分方程（偏微分方程（partial differential partial differential equation)equation)（PDEPDE）的基本概念）的基本概念),(21nxxxx自變量自變量),()(21nxxxuxu未知函數(shù)未知函數(shù)121112( , ,)0nmnmmmnnuuuF xx uxxxxx偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式6PDEPDE的階的階：PDEPDE的解的解 古典解古典解廣義解廣義解概念概念是指這樣一個(gè)函數(shù)，它滿足方程，是指這樣一個(gè)函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的

4、區(qū)域內(nèi)有并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有m m階連階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 線性線性PDEPDE非線性非線性PDEPDE半線性半線性PDEPDE擬線性擬線性PDEPDE完全非線性完全非線性PDEPDE12nmmmm自由項(xiàng)自由項(xiàng) 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)7線性線性PDEPDE：PDEPDE中對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全中對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。例如：體都是線性的。例如：21111,11( ,)( ,)( ,)( ,),nnijnjnnni jjijjuuaxxb xxc xx uf xxx xx ,

5、,ijja b c f其中是給定的函數(shù)。,ijja b c系數(shù)均為常數(shù).常系數(shù)線性常系數(shù)線性PDE:PDE:不然稱為變系數(shù)的不然稱為變系數(shù)的齊次線性齊次線性PDE:0f .不然稱為非齊次的不然稱為非齊次的線性線性PDEPDE的主部的主部: : 具有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成的部分具有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成的部分主部8PDEPDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。例如中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。例如：半線性半線性PDEPDE：完全非線性完全非線性PDEPDE：PDEPDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。211,111(, ,)(, ,).nijnni jnijnuuuuuau xxfu xxxxx x

6、xx 211,11( ,)(, ,).nijnni jijnuuuaxxfu xxx xxx 擬線性擬線性PDEPDE：擬線性擬線性PDEPDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。例如：變量的函數(shù)。例如：非線性非線性PDE9舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）0 xu1.0 xuatu2.atxx變換解為：)(yfu 解為：)(atxfu10舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）022222xuatu4.02txu3.解為：)()(thxguatxatx變換02u解為：)()(atxhatxgu1102222yuxu5.不易找出其通解，

7、但還不易找出其通解，但還是可以找出一些特解是可以找出一些特解任意解析函數(shù)任意解析函數(shù) 的實(shí)部和虛部均滿足方程。的實(shí)部和虛部均滿足方程。)(zfr1ln也是解也是解22yxr0633xuxuutu6.特解都不易找到特解都不易找到KDVKDV方程方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）127.uxteuuu擬線性擬線性PDE8.22vvvvvyyyxxx擬線性擬線性PDE9.)()(,(yxvyyxxvvevvyxa半線性半線性PDE10.uuuxtsin半線性半線性PDE11. 222uuuxt完全非線性完全非線性PDE1.2 三個(gè)典型的方程 1314舉例舉例( (多元函數(shù)多元函

8、數(shù)) )0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyuxu拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程物理模型與定解問題的導(dǎo)出物理模型與定解問題的導(dǎo)出1516弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出17 一長為一長為L L的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微小橫振動(dòng)。小橫振動(dòng)。 假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。 弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主

9、要原因在于弦的張力弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程?？梢越⑾疑细鼽c(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。物理背景：物理背景： 波的傳播和彈性體振動(dòng)。波的傳播和彈性體振動(dòng)。弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出 首先，考察首先，考察弦橫振動(dòng)這個(gè)物理問題：弦橫振動(dòng)這個(gè)物理問題： 給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長度為長度為l ，它在外

10、力作用下在平衡位置附近作微小的橫它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 把實(shí)際問題提煉為數(shù)學(xué)模型時(shí)必須做一定的理想化把實(shí)際問題提煉為數(shù)學(xué)模型時(shí)必須做一定的理想化假設(shè)，以便抓住問題的假設(shè)，以便抓住問題的最本質(zhì)特征最本質(zhì)特征?；炯僭O(shè)：基本假設(shè)：1. 弦的質(zhì)量是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。弦的質(zhì)量是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。 弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。 （細(xì)弦）（細(xì)弦）2. 弦在某一個(gè)平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。弦在某一個(gè)平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)。 弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同

11、一平面內(nèi)垂弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動(dòng)。直于該直線的方向上作微小振動(dòng)。 （微幅微幅）3. 弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。弦是柔軟的，它在形變時(shí)不抵抗彎曲。 弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變弦上各質(zhì)點(diǎn)的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。形與張力的關(guān)系服從虎克定律。 （橫振動(dòng)）（橫振動(dòng)）基本規(guī)律：基本規(guī)律： 牛頓第二定律（沖量定律）牛頓第二定律（沖量定律） gds M M ds x T y xdx x T 弦線上任意一點(diǎn)在弦線上任意一點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿時(shí)刻沿y軸上的位移軸上的位移研究對(duì)象：(

12、, )u x t 在右圖所示的坐標(biāo)系，用在右圖所示的坐標(biāo)系，用u(x, t)表示弦表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于沿垂直于x方向的位移。在方向的位移。在這條弦上任意取一弦段這條弦上任意取一弦段(x, x+x)，它的弧，它的弧長為長為 ：xdxxusxxx2)(1 由假設(shè)由假設(shè)3 3，弦線張力，弦線張力T T(x)總是總是沿著弦在沿著弦在x處的切線方向由于弦只在垂直處的切線方向由于弦只在垂直x軸的方向進(jìn)行橫振動(dòng)，因此可以把弦線的張力軸的方向進(jìn)行橫振動(dòng)，因此可以把弦線的張力T T(x)在在x軸的方向的分量軸的方向的分量看成看成常數(shù)常數(shù)。對(duì)于圖中選取的。對(duì)于圖中選取的弦段而言，張力在弦段而言

13、，張力在x軸的垂直方向上的合力為：軸的垂直方向上的合力為：),(),()()(1212xtxuxtxxuTtgtgTsinsinT假設(shè)2和假設(shè)3在時(shí)間段在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：內(nèi)該合力產(chǎn)生的沖量為：dtxtxuxtxxuTttt),(),(另一方面，在時(shí)間段另一方面，在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)內(nèi)弦段弦段(x, x+x)的動(dòng)量變化為：的動(dòng)量變化為：dxttxutttxuxxx),(),(于是由沖量定理：于是由沖量定理：dxttxutttxudtxtxuxtxxuTxxxttt),(),(),(),(從而有從而有：0),(),(2222dtdxxtxuTttxutttxxx進(jìn)

14、一步由進(jìn)一步由t， x 的任意性的任意性，有有/, 0),(),(222222Taxtxuattxu 假定有垂直于假定有垂直于x軸軸方向的外力存在方向的外力存在，并，并設(shè)其設(shè)其線密度為線密度為F(x,t)，則則弦弦段段(x, x+x)上的外力為：上的外力為：dxtxFxxx),(它在時(shí)間段它在時(shí)間段(t, t+t)內(nèi)的沖量為：內(nèi)的沖量為：dtdxtxFtttxxx),(/ ),(),(,/),(),(),(222222txFtxfTatxfxtxuattxu),()(222222222tzyxfzuyuxuatu類似地，三維波動(dòng)方程可以表示為：類似地，三維波動(dòng)方程可以表示為：0),(),(),

15、(2222dtdxtxFxtxuTttxutttxxx于是有：于是有：簡化假設(shè)：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運(yùn)動(dòng)定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d

16、 , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：其中：2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動(dòng)方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：的函數(shù)，為和如果弦非均勻，則xT),()()(txuxFuxTxttx 非均勻弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程非均勻弦的強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程282+1維波動(dòng)方程或膜振動(dòng)方程維波動(dòng)方程或膜振動(dòng)方

17、程2222222( , , )uuuaf x y ttxy 一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足垂直于水平位置的微小振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足其中：其中：u(x,y,t)表示在表示在 t 時(shí)刻、膜在時(shí)刻、膜在 (x,y) 點(diǎn)處的位移點(diǎn)處的位移f (x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/： T表示張力、表示張力、 為線密度為線密度293+1維波動(dòng)方程或聲波方程維波動(dòng)方程或聲波方程222222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz1 1222221( , ),(,)nnx

18、 xx xx xnuauf x ttuuuuxxxn+1維波動(dòng)方程維波動(dòng)方程1.4 定解條件和定解問題30 列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問題的解或者研究列出微分方程的目的是要從微分方程中求得具體問題的解或者研究解的性質(zhì)。前面我們看到，弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位解的性質(zhì)。前面我們看到，弦振動(dòng)方程描述的是弦作微小橫振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)移函數(shù)u(x, t)所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦所應(yīng)滿足的一般性規(guī)律。僅僅利用它并不能完全確定一條弦的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的狀的具體運(yùn)動(dòng)狀況。這是因?yàn)橄业倪\(yùn)動(dòng)還與其初始狀態(tài)以及邊界所處的

19、狀況有關(guān)系，因此對(duì)于具體的弦振動(dòng)問題而言，還需要結(jié)合實(shí)際問題附加況有關(guān)系，因此對(duì)于具體的弦振動(dòng)問題而言，還需要結(jié)合實(shí)際問題附加某些特定條件。某些特定條件。 例如例如: : 在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在在前面的推導(dǎo)中，弦的兩端被固定在x=0和和x=l兩點(diǎn)，即兩點(diǎn)，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，這兩個(gè)等式稱為這兩個(gè)等式稱為邊界條件邊界條件。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻。此外，設(shè)弦在初始時(shí)刻t=0時(shí)的位置和速度為時(shí)的位置和速度為)0()()0 ,(),()0 ,(lxxtxuxxu這兩個(gè)等式稱為這兩個(gè)等式稱為初始條件初始條件。邊界條件和初始條件總稱為。邊界條件和初始條件總稱為定解條件定

20、解條件。把。把微分微分方程方程和和定解條件定解條件結(jié)合起來，就得到了與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的結(jié)合起來，就得到了與實(shí)際問題相對(duì)應(yīng)的定解問題定解問題。對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：對(duì)于弦振動(dòng)方程而言，與上述定解條件結(jié)合后，其定解問題可以描述為：定解條件定解條件4 . 20:3 . 20:02 . 2),(),(:01 . 2),(),(),(22222ulxuxxtuxuttxfxtxuattxu要在區(qū)域要在區(qū)域)0,0(tlx上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是上（見右上圖）求上述定解問題的解，就是要求這樣的連續(xù)函數(shù)要求這樣的連續(xù)函數(shù)u(x, t) ，它在區(qū)域，它在

21、區(qū)域0 x0中滿足波動(dòng)方程中滿足波動(dòng)方程(2.1)；在；在x軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間 0,l 上滿足初始條件上滿足初始條件(2.2)；并在邊界；并在邊界x=0和和x=l上滿足邊界條件上滿足邊界條件(2.3)和和 (2.4)。 一般稱形如一般稱形如(2.3)和和(2.4)的邊界條件為第一類邊界條件，也叫的邊界條件為第一類邊界條件，也叫狄利克雷狄利克雷（DirichletDirichlet）邊界條件）邊界條件。定解條件定解條件波動(dòng)方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度定解條件定解條件(2)自由端：自由端：

22、x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況波動(dòng)方程的三類邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：0|0,xu( , )0u a t 或：或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。的彈簧的支承。x ax auTkux 或或0 x auux諾依曼（諾依曼（Neumann）邊界條件邊界條件狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）邊界條

23、件邊界條件 同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。個(gè)性。初始條件：初始條件：夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件情況的條件。其他條件：其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。定解條件定解條件定解問題定解問題定解問題適定性概念定解

24、問題適定性概念(1) (1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) (2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) (3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。定解問題的檢驗(yàn)定解問題的檢驗(yàn) 解的存在性：定解問題是否有解；解的存在性：定解問題是否有解；解的

25、唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng) 的微小變動(dòng)。的微小變動(dòng)。37經(jīng)典的定解問題舉例經(jīng)典的定解問題舉例維波動(dòng)方程維波動(dòng)方程 (弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程) 的初值問題的初值問題)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt38經(jīng)典的定解問題舉例經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初值問題熱傳導(dǎo)方程的初值問題)(),(, 0 ),(0222xtxuRxttxfxuatut39經(jīng)典的定解問題舉例經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的二維調(diào)和方程的邊值問題邊值問題222

26、220, ( , )( ( )( )( )uux yRxyux uxg xxabW抖+= W 抖+= 0, 11, 00, 0第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）40經(jīng)典的定解問題舉例經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題)(),(),(),()(),(0 , 0 ),(00222thtxutgtxuxtxuLxttxfxuatuLxxt41何為適定性？何為適定性？存在性存在性唯一性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、

27、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的適定的。穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的定解問題解的偏差也將非常小定解問題解的偏差也將非常小 除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研除了研究定解問題的適定性外，數(shù)理方程中還經(jīng)常研究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性究的問題包括：解的正則性（光滑性）、解的漸近性（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近（包括衰減性）和定解問題的求解方法（精確解、漸近解、數(shù)值解）等。解、數(shù)值解）等。定解問題適定性概念定解問題適定性概念43定解問題的適定性定解問題的適定性定解定解

28、問題問題PDE定解條件定解條件初值條件初值條件 initial condition邊值條件邊值條件 boundary condition初、邊值條件初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題初值問題、邊值問題、混合問題熱傳導(dǎo)方程4445 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo) 分析：設(shè)桿長方向?yàn)榉治觯涸O(shè)桿長方向?yàn)閤軸，考慮軸，考慮桿上從桿上從x到到x+dx的一段的一段(代表代表)，其，其質(zhì)量為質(zhì)量為dm= dx，熱容量為，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度軸正向，強(qiáng)度為為q(x,t)，溫度分布為，溫度分布為 u(x,t)，則，則 問題：一根長為問題：一根長為L的均勻?qū)峒?xì)的均勻?qū)峒?xì)桿，側(cè)面絕熱，

29、內(nèi)部無熱源。其桿，側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為，比熱為c，線密，線密度為度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。由能量守恒定律由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有于是有c ut = -qx由熱傳導(dǎo)定律由熱傳導(dǎo)定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 uxx46推廣：推廣：情況：內(nèi)部有熱源情況：內(nèi)部有熱源(或側(cè)面不絕熱或側(cè)面不絕熱)分析：設(shè)熱源強(qiáng)度分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位長度單位時(shí)間在單位長度 中產(chǎn)生的熱

30、量中產(chǎn)生的熱量)為為F(x,t)，代表段的，代表段的 吸熱為吸熱為Fdxdt方程：方程：c ut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(c )穩(wěn)定場(chǎng)方程穩(wěn)定場(chǎng)方程4748 產(chǎn)生：在演化問題中，有時(shí)會(huì)到達(dá)一個(gè)不隨時(shí)間變化產(chǎn)生：在演化問題中，有時(shí)會(huì)到達(dá)一個(gè)不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的方程稱為穩(wěn)定場(chǎng)方程。的穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的方程稱為穩(wěn)定場(chǎng)方程。 形式：在對(duì)應(yīng)的演化方程中取消時(shí)間變量形式：在對(duì)應(yīng)的演化方程中取消時(shí)間變量t，對(duì)，對(duì)t的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為零。數(shù)為零。 分類：分類： 無外界作用情況無外界作用情況 拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： u = utt + uyy + uzz = 0 有

31、外界作用情況有外界作用情況 泊松方程：泊松方程：u = utt + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型應(yīng)用典型應(yīng)用 靜電場(chǎng)方程：靜電場(chǎng)方程： u = -/ 穩(wěn)定溫度分布：穩(wěn)定溫度分布： u = - F/k數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類 在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動(dòng)方程；討論了三種類型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程這三類方程描熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程寫了不同物理現(xiàn)象及其過程49 50 二階線性二階線性PDE方程的分類方程的分類兩個(gè)自變量，齊次兩個(gè)自變量，

32、齊次222111222122220uuuuuaaabbcuxx yyxy 主部主部目的目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據(jù)此分類。的主部，從而據(jù)此分類。),(),(yxyx非奇異非奇異0yxyx（1）51),(),(yxyx),(yxu),(u復(fù)合求導(dǎo)復(fù)合求導(dǎo)xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(52222111222122220uuuuuaaabbcuxx yyxy 222*1

33、11222122220uuuuuaaabbc u 系數(shù)之間的關(guān)系*2211111222()2()aaaaxxyy*2222111222()2()aaaaxxyy*12111222()aaaaxxxyxyyy（2）（1）（3）53其他系數(shù)之間的關(guān)系222*111122212222,baaabbxx yyxy *( ( , ), ( , )cc xy （3*）222*211122212222,baaabbxx yyxy 540)(2)(22212211yzayzxzaxza考慮考慮如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解),(yxz),(yxz那么就作變換那么就作變換),(),(yxy

34、x從而有從而有*11120aa（4）550)(2)(22212211yzayzxzaxza假設(shè)假設(shè)是方程是方程),(yxz的特解，則關(guān)系式的特解，則關(guān)系式是常微分方程是常微分方程（4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（5）的一般積分。反之亦然。的一般積分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微）的解，只須求出常微分方程（分方程（5）的一般積分。）的一般積分。56定義定義稱常微分方程（稱常微分方程（5）為）為PDE（1）的）的特征方程。特征方程。稱（稱（5）的積分曲線為）的積分曲線為PDE（1）的）的特征曲線。特征曲線。0

35、)(2)(22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（6）57記記2211212),(aaayx定義定義方程方程(1)在點(diǎn)在點(diǎn)M 處是處是雙曲型雙曲型：橢圓型：橢圓型：拋物型：拋物型：若在點(diǎn)若在點(diǎn)M M處，有處，有0),(yx若在點(diǎn)若在點(diǎn)M M處，有處，有0),(yx若在點(diǎn)若在點(diǎn)M M處，有處，有0),(yx( , )x y58雙曲型雙曲型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端為兩相異右端為兩相異的實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù)它們的一般積分為它們的一般積分為,),(CyxCyx),(),(),(yxyx由此令由此令，方程（方程（

36、1 1）可改寫為）可改寫為2uuuABC u雙曲型方程的雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型第一標(biāo)準(zhǔn)型ts2211122uuuuABC ustst雙曲型方程的雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型第二標(biāo)準(zhǔn)型59拋物型拋物型PDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此得到一般積分為,),(Cyx),(),(yxyx由此令由此令，其中),(yx),(yx與獨(dú)立獨(dú)立(線性無關(guān)線性無關(guān))的任意函數(shù)。的任意函數(shù)。60由于由于0),(yx221112aaa*2211111222()2()aaaaxxyy022211yaxa*12111222()aaaaxxxyxyyy022112211yaxayaxa由此推出由此推出

37、61因此，方程（因此，方程（1 1）可改寫為）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型*2222111222()2()0aaaaxxyy而而22uuuABC u62橢圓型橢圓型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端為兩相異右端為兩相異的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為,),(CyxCyx),(*其中),(),(),(21yxiyxyx),(),(),(21*yxiyxyx63),(),(21yxyx由此令由此令從而方程（從而方程（1 1）可改寫為）可改寫為， 滿足方程（滿足方程（4 4）i0)()()(2)(2221

38、2211yiayixiaxia*1122120aaia*1122120, 0aaa2222uuuuABC u橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型64例例10222yyxyxxuyxyuux0)()(222yxxyx,y拋物型方程拋物型方程xyxxydxdy21cxy令xyy01012xxyyxyx02uy0u)()(),(hgu)()(),(xyhyxygyxu65例例202xxttuau0)(2at,x雙曲型方程雙曲型方程adtdx1catx2catx66例例30yyxxuyuTricomi方程橢圓型橢圓型雙曲型雙曲型0y0y拋物型拋物型0yyx,y)(0)(y , 00)(y , 00)(

39、y , 0yydxdy670y0dyyidxCyix3322332yx0y0dyydxCyx3)(322323)(32)(32yxyx031uuu)()(61uuu疊加原理疊加原理弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法疊加原理疊加原理 從本節(jié)開始我們討論弦振動(dòng)方程的各類定解問題。在此從本節(jié)開始我們討論弦振動(dòng)方程的各類定解問題。在此之前，先介紹疊加原理之前，先介紹疊加原理 在物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜在物理學(xué)研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其他原因不存合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的效

40、果的累加。這就是疊加原理。在）產(chǎn)生的效果的累加。這就是疊加原理。典型例子：典型例子：力和加速度的關(guān)系，萬有引力場(chǎng)的可疊加性力和加速度的關(guān)系，萬有引力場(chǎng)的可疊加性復(fù)雜的聲音復(fù)雜的聲音各種單音的疊加各種單音的疊加電磁場(chǎng)中的疊加原理電磁場(chǎng)中的疊加原理則對(duì)于任意的常數(shù)則對(duì)于任意的常數(shù)C1、C2，函數(shù)，函數(shù)),(),(),(2211txuCtxuCtxu是方程是方程),(),(221122222txfCtxfCxuatu的解。的解。例如：若例如：若u1 1(x, t)是方程是方程),(122222txfxuatu的解，的解，而而u2 2(x, t)是方程是方程),(222222txfxuatu的解，的解

41、，因此，弦振動(dòng)方程滿足疊加原理因此，弦振動(dòng)方程滿足疊加原理都滿足都滿足疊加原理疊加原理線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性線性方程解（線性系統(tǒng)）具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法 先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計(jì)的情先從最簡單的情形入手，即首先考察邊界的影響可以忽略不計(jì)的情況（如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在況（如果所考察的物體（弦線）長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在較短時(shí)間內(nèi)且距離邊界較遠(yuǎn)

42、的一段范圍中的運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件較短時(shí)間內(nèi)且距離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動(dòng)情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長）。這的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長）。這樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式：樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式：6 . 1)(),(),(:05 . 1), 0(),(),(),(22222xxtuxutxttxfxtxuattxu 這個(gè)定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題這個(gè)定解問題中，定解條件只有初始條件，故通常稱為初值問題(也也稱柯西（稱柯西（Cauchy）問題）。相應(yīng)地，前一節(jié)中的定解問題）問題）

43、。相應(yīng)地，前一節(jié)中的定解問題(1.1)(1.4)由由于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問題或混合問題。于既有初始條件，又有邊界條件，故稱為初邊值問題或混合問題。 方程方程(1.5)中的自由項(xiàng)中的自由項(xiàng)f(x,t)是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程是由于外力作用產(chǎn)生的，因此方程(1.5)中中f(x,t)恒為零恒為零的情況對(duì)應(yīng)于的情況對(duì)應(yīng)于自由振動(dòng)自由振動(dòng)；f(x,t)不為零不為零的情況對(duì)應(yīng)于的情況對(duì)應(yīng)于強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)。10.1,0,0:09 .1),(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu 下面，我們求解上述初值問題。首先注意到下面，我們求解上述初值問題。首先注意到

44、微分方程微分方程及及定解條件定解條件都都是是線性線性的。的。對(duì)于這種定解問題，同樣存在疊加原理對(duì)于這種定解問題，同樣存在疊加原理，即，即若若u1 1(x, t)和和u2 2(x, t)分別是下述初值問題分別是下述初值問題8.1),(),(:07.1,0),(),() (22222xtuxutxtxuattxu和和的解，那么的解，那么u=u1 1(x, t)+u2 2(x, t)就一定是原初值問題就一定是原初值問題(1.5)、(1.6)的解的解(證明證明作為課后習(xí)題作為課后習(xí)題)。這樣求解。這樣求解初值問題初值問題(1.5)、(1.6)就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件

45、的初值問題方程帶非齊次邊界條件的初值問題(I I)和非齊次方程帶齊次初始條件的和非齊次方程帶齊次初始條件的初值問題初值問題(IIII)單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)單獨(dú)初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)振動(dòng)過程的影響。振動(dòng)過程的影響。單獨(dú)考慮外力因素對(duì)單獨(dú)考慮外力因素對(duì)振動(dòng)過程的影響振動(dòng)過程的影響。 首先，我們考察代表首先，我們考察代表自由振動(dòng)自由振動(dòng)情況的情況的初值問題初值問題(I I)，它可以通過自變量，它可以通過自變量變換的方法求解。引如新自變量：變換的方法求解。引如新自變量：=x-at， =x+at。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則，有法則，有uuxuxuxu22222222)()(uuuxxuxxuxu類

46、似地，類似地，)2();(22222222uuuatuuuatu從而，方程從而，方程(1.7)就化為就化為 ，這個(gè)方程可以直接求解。把它關(guān)于，這個(gè)方程可以直接求解。把它關(guān)于積分積分一次，再關(guān)于一次，再關(guān)于積分一次，就可以得到它的通解為積分一次，就可以得到它的通解為u(,)=F()+G()，其中，其中，F(xiàn)和和G是任意兩個(gè)可微分的單變量函數(shù)。代回原來的自變量，方程是任意兩個(gè)可微分的單變量函數(shù)。代回原來的自變量，方程(1.7)的通解的通解表示為表示為u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。02 u 利用這個(gè)通解表達(dá)式，就可以利用初始條件利用這個(gè)通解表達(dá)式，就可以利用初始條件(1.8)來決定函數(shù)

47、來決定函數(shù)F和和G，進(jìn)而求出初值問題進(jìn)而求出初值問題(I I)的解。把上述通解表達(dá)式代入的解。把上述通解表達(dá)式代入初始條件初始條件(1.8)，得到：，得到：12.1)()()(11.1)()()(00 xxGxFaxuxxGxFutt(1.12)式是一個(gè)簡單的常微分方程，求解它得到式是一個(gè)簡單的常微分方程，求解它得到13.1)()()(0CdxGxFaxx由由(1.11)和和(1.13)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)式聯(lián)立求解可以得出函數(shù)F和和GxxxxaCdaxxGaCdaxxF00.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(把它們代入方程把它們代入方程(1.7)的的通解表達(dá)式就得到了通解表達(dá)式就得到了初值問題初值問題(I I)的解的解 這個(gè)公式這個(gè)公式(1.14)稱為達(dá)朗貝爾公式。從以上推導(dǎo)過程可以看出：如