用空間向量計算夾角問題

1、線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入利用向量解決 夾角問題紫陽中學(xué)陳興平2021-11-181線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入 空間向量的引入為代數(shù)方法處理空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣熱點(diǎn)之一。本

2、節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角問題。用向量的辦法解決空間角問題。2021-11-182123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b則：數(shù)量積： a b 1 1223 3aba ba b夾角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，則：212121(,)xx yy zzAB 線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入| |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b2021-11-183異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D,CD AB 與

3、 的關(guān)系？思考：思考：,DC AB 與 的關(guān)系？結(jié)論：結(jié)論：coscos,CD AB |題型一：線線角題型一：線線角線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2021-11-184例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中點(diǎn)、 ，11BDAF求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F題型一：線線角題型一：線線角線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2021-11-185解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則： CxyzA1AB1

4、BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 與 所成角的余弦值為3010題型一：線線角題型一：線線角12021-11-186練習(xí)：題型一：線線角題型一：線線角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，1.ADAN1.ADAM(1)求證：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,

5、0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAMADANM（2）求與平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M2021-11-187題型二：二面角題型二：二面角二面角的范圍：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO關(guān)鍵：觀察二面角的范圍關(guān)鍵：觀察二面角的范圍線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2021-11-188題型二：二面角題型二：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平

6、面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDS2021-11-189,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面與面所成二面角的余弦值A(chǔ)BCDSxyz解： 建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量設(shè)平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,

7、3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是2021-11-1810題型二：線面角題型二：線面角直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, n BA 與 的關(guān)系？思考：思考：n結(jié)論：結(jié)論：sincos, n AB |題型三：線面角題型三：線面角線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2021-11-1811例二：題型三：線面角題型三：線面角在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，1.ADAN1.ADAM(1)求證：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),

8、AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求與平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入1cos,AD AD 2 55ADANM與平面所成角的正弦值是2 552021-11-1812練習(xí)： 1111ABCDABC D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角題型三：線面角題型三：線面角正方體ABCD1A1B1C1D線線角線線角復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)線面角線面角二面角二面角小結(jié)小結(jié)引入引入2021-11-1813小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： coscos,CD AB |2.直線與平面所成角： sincos, n AB

9、 |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 關(guān)鍵：觀察二面角的范圍AB1DABOn1n2n 2021-11-1814F1E1C1B1A1D1DABC例例1、如圖，在正方體中，如圖，在正方體中， ，求與所成的角的，求與所成的角的余弦值余弦值1111ABCDA BC D1BEz1 11 11 114BEDFAB1DFyx2021-11-1815例例1如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)

10、正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 2021-11-1816例例1如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值。，求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17

11、| |171744 BE DFBEDFBEDF2021-11-1817例例2 1111,ABCDABC DE F在正方體中,分別是11,:.BB CDD FADE的中點(diǎn).求證平面xyzA1D1C1B1ACBDFE2021-11-1818362,0,00,1 ,330,0,3320,1,33PC362, 1 ,330 , 2 , 00 , 1 , 30 , 0 , 0PCPCBAO例例3.如圖如圖,空間四邊形空間四邊形PABC的每條邊及對角的每條邊及對角線的長都是，試建立空間直角坐標(biāo)系，并線的長都是，試建立空間直角坐標(biāo)系，并求出四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出四個頂點(diǎn)的坐標(biāo).zxyyxzOxyz362, 0

12、,330 , 1 , 00 , 0 , 30 , 1, 0PC2021-11-1819例例4 4已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P是平行四邊形是平行四邊形ABCDABCD所在平所在平面外一點(diǎn)，面外一點(diǎn)，如果如果 ， (1)(1)求平面求平面 ABCD ABCD 的一個法向量；的一個法向量；(2, 1, 4)AB (4,2,0)AD ( 1,2, 1)AP （2 2）求證：）求證： 是平面是平面ABCDABCD的法向量；的法向量；AP （3 3）求平行四邊形）求平行四邊形ABCDABCD的面積的面積2021-11-1820 在棱長為在棱長為1 1的正方體的正方體 中，中，E,FE,F分別是分別是DDDD1, 1

13、, DBDB中點(diǎn)，中點(diǎn)，G G在棱在棱CDCD上，上， ，H H是是C C1 1G G的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，練習(xí)練習(xí)（1 1）求證：）求證： ；（2 2）求）求EFEF與與C C1 1G G所成的角的余弦；所成的角的余弦；（3 3）求）求FHFH的長的長14CG= CD1111ABCDABC D1EFBC（用空間向量法解決以上問題）（用空間向量法解決以上問題）（4）求平面）求平面EFH的一個法向量的一個法向量.2021-11-1821練習(xí)練習(xí)2.證明四點(diǎn)證明四點(diǎn)A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17) 共面共面2021.BC DE

14、FBB D BEFDA19.在正方體ABCD-A中,分別是的中點(diǎn) 求證FEABA1DCC1B1D11111()2EFDAAABDDA 證明證明:11EFEBB F 1111()2BBB D 11()2AABD1111()2AADABDDA 001111(|cos45|cos120 )02AADABDDA 1,EFDA 1.EFDA即練習(xí)練習(xí)32021.BC DE FBB D BEFDA19.在正方體ABCD-A中,分別是的中點(diǎn) 求證FEABA1DCC1B1D1證明證明:1,EFDA 1.EFDA即yxz建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz則則D (0,

15、0,0),A 1(1,0,1)1(1,0,1).DA 練習(xí)練習(xí)3001, 121,21,211 DAEF,21, 1 , 1E1 ,21,21F21,21,21EF2021-11-1824DABA1CC1B1D111111.BC DDBACD1-A,求證平面10.已知正方體ABCD證明證明:111,.ADDB ACDB 1,ADACA又11.DBACD 平面，1 11 1DDDDDCDCDADADBDBDADADCDCACAC0 0) )DADADCDC( () )DDDDDCDCDADA( (ACACDBDB1 11 1DADADDDDADAD1 11 10 0) )DADADDDD( () )DDDDDCDCDADA( (ADADDBDB1 11 11 11 1練習(xí)練習(xí)42021-11-1825111BC D110.已知正方體ABCD-A,ABA