第五章微分方程模型

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 傳染病模型傳染病模型5.2 經(jīng)濟增長模型經(jīng)濟增長模型5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用5.6 人口預測和控制人口預測和控制5.7 煙霧的擴散與消失煙霧的擴散與消失5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)動態(tài)模型模型 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律分析對象特征的變化規(guī)律 預報對象特征的未來性態(tài)預報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系

2、確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程經(jīng)濟增長理論是古老而有時髦且備受爭議的研究領域之經(jīng)濟增長理論是古老而有時髦且備受爭議的研究領域之一。一。早在早在1818世紀世紀，古典經(jīng)濟學家，古典經(jīng)濟學家AdamAdamSmithSmith最早認識到經(jīng)濟增長的動力最早認識到經(jīng)濟增長的動力在于勞動分工、資本積累和技術進步，在于勞動分工、資本積累和技術進步，RechardoRechardo發(fā)現(xiàn)了規(guī)模報酬發(fā)現(xiàn)了規(guī)模報酬遞減，像遞減，像Thom

3、as Malthus ,Frank Ramrey,Allyn YonugThomas Malthus ,Frank Ramrey,Allyn Yonug等都對經(jīng)等都對經(jīng)濟增長有所貢獻。新古典經(jīng)濟學的基礎是濟增長有所貢獻。新古典經(jīng)濟學的基礎是SolowSolow（19561956）和）和SwanSwan（19561956），其模型描述了完全競爭的經(jīng)濟，產(chǎn)出的增長對應于資），其模型描述了完全競爭的經(jīng)濟，產(chǎn)出的增長對應于資本和勞動投入的增長，其生產(chǎn)函數(shù)與儲蓄率不變的假設相結(jié)合，本和勞動投入的增長，其生產(chǎn)函數(shù)與儲蓄率不變的假設相結(jié)合，是一個很簡單的一般均衡模型。但這些模型與各國的經(jīng)濟增長現(xiàn)是一個很簡單

4、的一般均衡模型。但這些模型與各國的經(jīng)濟增長現(xiàn)實不符合。實不符合。在在5050、6060年代，年代，CassCass和和KoopmansKoopmans（19651965）引入）引入RameyRamey的消費者最優(yōu)的消費者最優(yōu)化分析理論，從而使儲蓄率內(nèi)生化，但這并不能改變?nèi)司a(chǎn)出增化分析理論，從而使儲蓄率內(nèi)生化，但這并不能改變?nèi)司a(chǎn)出增長率對外生技術進步的依賴。長率對外生技術進步的依賴。7070年代，年代，經(jīng)濟增長理論處于停滯階段。經(jīng)濟增長理論處于停滯階段。8080年代，年代，RomerRomer（19861986）和）和LucasLucas（19881988）將）將R&DR&D

5、和不完全競爭引入和不完全競爭引入模型，使經(jīng)濟增長理論出現(xiàn)新的高潮。模型，使經(jīng)濟增長理論出現(xiàn)新的高潮。5.2 經(jīng)濟增長模經(jīng)濟增長模型型 生產(chǎn)函數(shù)模型是經(jīng)濟增長分析的有力工具，所生產(chǎn)函數(shù)模型是經(jīng)濟增長分析的有力工具，所以，隨著增長理論研究的深入，生產(chǎn)函數(shù)模型的新以，隨著增長理論研究的深入，生產(chǎn)函數(shù)模型的新成果也不斷出現(xiàn)（直觀上函數(shù)的結(jié)構也越來越復成果也不斷出現(xiàn)（直觀上函數(shù)的結(jié)構也越來越復雜），其應用更是呈現(xiàn)長盛不衰的局面。雜），其應用更是呈現(xiàn)長盛不衰的局面。 從從2020年代末，美國數(shù)學家年代末，美國數(shù)學家Charles CobbCharles Cobb和經(jīng)濟和經(jīng)濟學家學家Paul Dauglas

6、Paul Dauglas提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用提出了生產(chǎn)函數(shù)這一名詞，并用1899-19221899-1922年的數(shù)據(jù)資料，導出了著名的年的數(shù)據(jù)資料，導出了著名的Cobb-Cobb-DauglasDauglas生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)。 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù):描述生產(chǎn)過程中投入的描述生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)要素生產(chǎn)要素的某種組合同它的某種組合同它可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關系的數(shù)學表達式可能的最大產(chǎn)出量之間的依存關系的數(shù)學表達式.生產(chǎn)函數(shù)從形式上可以分成四種：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型(Cobb&Douglas,1928(Cobb&Douglas,1928）、可變替代彈性VE

7、S生產(chǎn)函數(shù)模型（Sato,1967Sato,1967）不變替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)模型（SolowSolow，19601960；ArrowArrow，19611961）超越對數(shù)Translog生產(chǎn)函數(shù)模型（ChristensanChristensan和和JorgensonJorgenson，19731973）。其中，C-D模型是受約束的CES模型和VES模型，而CES模型和VES模型又是受約束的TL模型。這四種模型中，C-D生產(chǎn)函數(shù)應用最廣泛。增加生產(chǎn)增加生產(chǎn) 發(fā)展經(jīng)濟發(fā)展經(jīng)濟增加投資，增加勞動力，提高技術，對經(jīng)濟增長的促進作用增加投資，增加勞動力，提高技術，對經(jīng)濟增長的促進作用 建立產(chǎn)值與資金

8、、勞動力之間的關系建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關系 研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長增長1. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值產(chǎn)值 Q(t)資金資金 K(t)勞動力勞動力 L(t)技術技術 f(t) = f0)(),()(0tLtKFftQF為待定函數(shù)為待定函數(shù))(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假設模型假設靜態(tài)模型靜態(tài)模型),(),(0LKFfLKQ每個勞動每個勞動力的產(chǎn)值力的產(chǎn)值LQz 每個勞動每個勞動力的投資力的

9、投資LKy z 隨著隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)含義？含義？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)10),(LKfLKQF為待定函數(shù)為待定函數(shù)10),(LKfLKQQK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額資金在產(chǎn)值中的份額1- 勞動力在產(chǎn)值中的份額勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)0, 1,0,),(00fLKfLKQ1. Douglas生

10、產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求資金與勞動力的分配比例求資金與勞動力的分配比例K/L(每個每個勞動力占有的資金勞動力占有的資金) ，使效益，使效益S最大最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金和勞動力創(chuàng)造的效益wLrKQS資金來自貸款，利率資金來自貸款，利率 r勞動力付工資勞動力付工資 w 2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 經(jīng)濟經(jīng)濟(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長的條件增長的條件 (動態(tài)模型動態(tài)模型)要使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L

11、(t) 增長增長, K(t), L(t)應滿足的條件應滿足的條件模型模型假設假設 投資增長率與產(chǎn)值成正比投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn)用一定比例擴大再生產(chǎn)) 勞動力相對增長率為常數(shù)勞動力相對增長率為常數(shù))(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,QdtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立當AKKt

12、),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0產(chǎn)值產(chǎn)值Q(t)增長增長dQ/dt 03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時當BKK,1/000勞動力增長率小于初始投資增長率勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長增長dZ/dt03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件dtdyyfdtdZ10 關于資本與經(jīng)濟增長的實證研究，國外的經(jīng)濟學家就儲蓄的關

13、于資本與經(jīng)濟增長的實證研究，國外的經(jīng)濟學家就儲蓄的使用效率問題在美國、德國和日本等主要幾個工業(yè)化國家進使用效率問題在美國、德國和日本等主要幾個工業(yè)化國家進行了一個比較研究，結(jié)果表明美國比日本和德國平均高出三行了一個比較研究，結(jié)果表明美國比日本和德國平均高出三分之一，這主要是由于美國資本市場比較發(fā)達，銀行體系運分之一，這主要是由于美國資本市場比較發(fā)達，銀行體系運行效率高。行效率高。 新古典增長模型（新古典增長模型（SolowSolow-Swan-Swan 模型）認為資本收益率遞減模型）認為資本收益率遞減會最終導致收斂，即落后地區(qū)可以利用較高的資本報酬率趕會最終導致收斂，即落后地區(qū)可以利用較高的資

14、本報酬率趕上先進地區(qū)；而內(nèi)生增長理論（上先進地區(qū)；而內(nèi)生增長理論（RomerRomer, , 1986 1986）認為知識資）認為知識資本對一般消費品的生產(chǎn)具有遞增效應本對一般消費品的生產(chǎn)具有遞增效應, ,而且而且“干中學干中學（Learning by DoingLearning by Doing）”的知識外溢產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟，因的知識外溢產(chǎn)生了規(guī)模經(jīng)濟，因此人力資本存量較高的國家可能在長期內(nèi)保持比較高的增長此人力資本存量較高的國家可能在長期內(nèi)保持比較高的增長率。率。 全球高級經(jīng)濟學家多米尼克全球高級經(jīng)濟學家多米尼克威爾遜威爾遜(Dominic Wilson)(Dominic Wilson)通過

15、通過研究指出中國經(jīng)濟總量將在研究指出中國經(jīng)濟總量將在20152015年超日本年超日本20392039年超美國年超美國 5.1 傳染病模型傳染病模型問題問題 傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作問題的提出：問題的提出：醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)

16、大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預報傳染病高潮到來的時刻預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (

17、病人病人) i(t) 每個病人每天有效接觸每個病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設假設ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設假設1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個病

18、人每天有效接觸人數(shù)）每個病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時刻傳染病高潮到來時刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設增加假設S

19、IS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個感染期內(nèi)一個感染期內(nèi)每個病人的每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如

20、何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預防傳染病蔓延的手段預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR

21、模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxT, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當于藥物相當于藥物( 劑量劑量D0)先進入吸收室，吸收后進入中心室先進入吸收室，吸收后進入中心室吸收室藥量吸

22、收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計參數(shù)估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測得測得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,

23、 , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計參數(shù)估計進入中心室的藥物全部排除進入中心室的藥物全部排除 過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系 人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙

24、過程的數(shù)學模型。煙過程的數(shù)學模型。 設想一個設想一個“機器人機器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題問題5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用模型模型假設假設定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長，煙草長， l2過濾嘴長，過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙

25、霧穿行的毒物的毒物的(單位時間單位時間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進入人體總量吸一支煙毒物進入人體總量vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點燃香煙，點燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x

26、)lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t時刻，香煙燃至時刻，香煙燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03) 求求w(ut,t)vabutvbutvlvblaeeeeaauwtlq210),(vblavlu

27、leebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計算計算 Q11vblar結(jié)果結(jié)果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草煙草為什么有作用為什么有作用?1）Q與與a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 處的吸入量處的吸入量2) 過濾嘴因素，過濾嘴因素， , l2 負指數(shù)負指數(shù)作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 處的吸入量處的吸入量3） (

28、r) 煙草的吸收作用煙草的吸收作用b, l1 線性線性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011帶過濾嘴帶過濾嘴不帶過濾嘴不帶過濾嘴21QQb結(jié)果結(jié)果分析分析4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 與加長與加長l2，效果相同，效果相同5.6 人口預測和控制人口預測和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預測的重要性年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮

29、自然出生與死亡，不計遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口

30、發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrk

31、trhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tSt

32、Rt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控制 (t)不過高不過高5.7 煙霧的擴散與消失煙霧的擴散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。區(qū)域縮小，

33、最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。時間與各因素的關系。問題問題分析分析無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關。器對明暗的靈敏程度有關。gradCkq模型模型假設假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。的影響；擴散服從熱傳導定律。2）光線穿過煙霧時光強的減

34、少與煙霧濃）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導定律：單位時間通過單位法熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比 21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改

35、變量sVdVqdivdnq曲面積分的奧氏公式曲面積分的奧氏公式gradCkq1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxCktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件初始條件Q炮彈釋放的煙霧總量炮彈釋放的煙霧總量 單位強度的點源函數(shù)單位強度的點源函數(shù) 對任意對任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當僅當 t, 對任意點對任意點(x,y,z), C01）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC00)(IlI)()(lIlCdldI2）穿過

36、煙霧光強的變化規(guī)律）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙光強的減少與煙霧濃度成正比霧濃度成正比方向的煙霧濃度沿方向的光強沿llCllI)()(00)(Ill的光強為未進入煙霧lldssCeIlI0)(0)(1),(dztzyxCe觀測結(jié)果為暗儀器靈敏度，當,1/0II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化lldssCeIlI0)(0)(儀器儀器z- 設光源在設光源在z=- , 儀器在儀器在z= ,則觀測到的則觀測到的明暗界限為明暗界限為不透光區(qū)域有擴大、不透光區(qū)域有擴大、縮小、消失的過程縮小、消失的過程穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏