概率論第一章習題

1、作業(yè)習題解答教材：盛驟 等概率論與數(shù)理統(tǒng)計第4版. 高等教育出版社, 2008概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計2第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題3(1)3 (1) 設(shè)A,B,C是三個事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8, 求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。解：利用三個事件的加法公式P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AC)P(BC) +P(ABC)其中P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=0故P(ABC)=1/4+1/4+1/4 1/8=5/83第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念

2、習題習題3(2)3(2) 已知,10/1)(, 5/1)(, 3/1)(, 2/1)(ABPCPBPAP,15/1)(ACP30/1)(,20/1)(ABCPBCPCBACBACBACBABABA,求的概率。利用德摩根律和逆事件概率可得：()()1()1 11/154/15PPP AABABB ()()1()1 17/ 203/ 20ABCABCBPPPCA 解：由加法公式可得P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(AC) P(BC)+P(ABC)=17/20P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=1/2+1/31/10=11/154第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本

3、概念習題習題3(2)()()()()7/6)0(ABCAB SCP ABABCP ABPPPABC利用差事件概率可得由加法公式可得()()( )()4/15 1/57/607/ 20ABCABABPPP CCP或利用條件概率的乘法定理可得或()()() ()()()()()()( )()()()7 / 60PP SA SB CP SA CBCP CBCACABCP CBCP ACABCP CP BCP ACP ACCABB60/7)()()()|(1 )()|()(CBAPBAPBAPBACPBAPBACPCBAP53.(3) 已知P(A)=1/2, (a)若A,B互不相容，求 , (b)若P

4、(AB)=1/8, 求)(P AB)(P AB若A,B互不相容，則P(AB)=0, 故()()1/ 2P AP AB (a)()( )()1/ 21/83/8P AP AP ABB (b)解：利用差事件概率可得() ()()( )()P AP A SBP AABBP AP AB第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題3(3)6第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念4. 設(shè)A,B是兩個事件. (1) 已知 , 驗證 A=BBABA習題習題4(1)BASBSABABA)()(ABSBABASABBABABA證：方法一7第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念4. 設(shè)A,B是兩

5、個事件. (1) 已知 , 驗證 A=BBABA習題習題4(1)方法二ABBAABBABABA利用分配律可得，上式等價于)()(AABBBA即BABSAS8第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題4(2)(2) 驗證事件A和事件B恰有一個發(fā)生的概率為 P(A) + P(B)2P(AB)4. 設(shè)A,B是兩個事件.證：ABBA“A,B恰有一個發(fā)生”)()()()(ABBAPABPBAPABBAP)()(BABPABAP)()()()(BAPBPABPAP)(2)()(ABPBPAP空集方法一9第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題4(2)(2) 驗證事件A和事件B恰有一個

6、發(fā)生的概率為 P(A) + P(B)2P(AB)4. 設(shè)A,B是兩個事件.方法二“事件A，B都發(fā)生” = AB“事件A,B都不發(fā)生” =BA“事件A,B恰有一個發(fā)生”=)(BAABS)(1)(BAABPBAABSP)()()(1BAABPBAPABP BAABBAAB)(1 )(1BAPABP)()()(1)(1ABPBPAPABP)(2)()(ABPBPAP105. 10片藥片中有5片是安慰劑. (1)從中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰劑的概率. (2)從中每次取一片，作不放回抽樣，求前三次都取到安慰劑的概率.解(1):這屬于經(jīng)典概型的組合問題令Ai=“取到的5片中有i片是安慰劑”，i

7、=0,1,2,3,4,5，它們是互不相容的。根據(jù)概率的有限可加性，所求概率為505555452551011100()1()113()1126iiCPAP APCC CACC 則555510()iiiCCP AC且50()1iiPA(2) 令Ai=“第i次取到的是安慰劑”利用條件概率的乘法定理可得123312211()() ()3451|89112()0P A A AP AP APAAAA353105 410319 812APA 或第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題511第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題6(1)6. 在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號

8、的紀念章，任選3人記錄其紀念章的號碼.(1) 求最小號碼為5的概率.解： 樣本空間的基本事件總數(shù)目為310Cn 最小號碼為5，則另外兩個號碼只能在6，7，8，9，10共5個號碼中任選，故：事件“最小號碼為5”包含的基本事件數(shù)目為25Ck P“最小號碼為5”=12131025CCnk12第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題6(2)6. 在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任選3人記錄其紀念章的號碼.(2) 求最大號碼為5的概率.P“最大號碼為5”=20131024CCnk解：分析方法同(1), 可得138. 在1500件產(chǎn)品中有400件次品，1100件正品，任取2

9、00件. (1)求恰有90件次品的概率. (2)求至少有2件次品的概率。解(1)這屬于經(jīng)典概型的組合問題1109011004002001500CCPC恰有90件次品的概率(2) 令Ai=“取出的200件產(chǎn)品中有i件次品”，則所求概率為20019911100110040001200200150015001()()1PP AP ACCCCC 第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題814第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題14（1）14. (1) 已知 求條件概率, 5 . 0)( , 4 . 0)( , 3 . 0)(BAPBPAP. )|(BABP解：ABBBBAB

10、AB)(BAABSA)()()()()(BAPAPBAAPBABP)()()()(BAPBPAPBAP)()()|(BAPBABPBABP(1)2 . 05 . 03 . 01(2)8 . 05 . 06 . 07 . 0(3)(2)(3)代入(1)可得25. 08 . 02 . 0)|( BABP15第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題14（2）14. (2) 已知P(A)=1/4, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2, 求P(AB).解：)()()()(ABPBPAPBAP1214131)()|()(APABPABP)()()|(BPABPBAP由已知條件可得于是

11、)()()()(ABPBPAPBAP3/112/16/14/1612/112/1)|()()(BAPABPBP1621. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲者. 問此人是男性的概率是多少?解：設(shè)A=“任選一人為男性”，B=“任選一人為色盲”(|)5%,(|)0.25( )50%,%PB AP B AAP則由題意知：利用全概率公式可得 ( )(|) ( )(|) ( 5% 50%0.25% 50%2.625%)P BP B A P AP BPAA第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題21再根據(jù)貝葉斯公式可得所求

12、概率為%24.952120%625. 2%50%5)()()|()|(BPAPABPBAP17第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題2222. 一學生接連參加同一課程的兩次考試. 第一次及格的概率為p, 若第一次及格則第二次及格的概率也為p; 若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2.(1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率.(2) 若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率.解：令Ai=“第i次考試及格”，i=1,2由題給條件可知2/)|( ,)|( ,)(12121pAAPpAAPpAP)1 (21)1 (2)()|()()|()(21121122p

13、ppppAPAAPAPAAPAP可得pAP1)(1211221)()|()(pAPAAPAAP，18第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題22(1)3(21)1 (21)()()()(2212121ppppppAAPAPAPAAP(2)pppppAPAAPAAP122/ )1 ()()()|(22212119第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題2424. 有兩箱同種類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品. 今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣. 求第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到

14、的也是一等品的概率.解：設(shè)A=“第一次取到的是一等品”，B=“第二次取到的是一等品”，C=“零件來自第一箱”.52213018215010)()|()()|()(CPCAPCPCAPAP根據(jù)全概率公式可得)()|()()|()(CPCABPCPCABPABP290514909212930171821495091020第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題244856. 025290514909)()()|(APABPABP)(| )|()(| )|()|(CPCABPCPCABPABP也可以這樣：注意：499)|(| )|(ACBPCABP)()|()|( |)()|(| )|(

15、CPABPABCPCPCABPCABP)|()|( |ABCPABCP)()|()()()()()()()|(APCABPAPCPABCPAPCPABPABCP2134. 試分別求以下兩個系統(tǒng)的可靠性: (1)設(shè)有4個獨立工作的元件1，2，3，4. 它們的可靠性分別為p1,p2,p3,p4, 將它們按圖1方式連接. (2)設(shè)有5個獨立工作的元件1，2，3，4，5. 它們的可靠性均為p, 將它們按圖2方式連接.解：令Ai=“元件i正常工作”圖11234圖2123451234123141231412314()()()()P AP AP AP AP AA AAA AA AA AAA A A A(1)

16、利用加法公式可得123141234AAA A A AA A A111A AA交換律及由獨立性1234123141234()A AAp pp pp pP App p123451234512345A A A A AA A A A AA A A A A12345A AAA A(2) 解法(一)列舉出系統(tǒng)正常工作的各種可能情況123451234512345A AAA A AA A A AA AA AA1234512345A A AAAAAAAA123451234512345A A AA A AA AA AAAAAA42332523425(1)8(1)2(2521)+2Pp pppppppppp1234

17、512345AA AA A A AA A A第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題3422套用多個事件的加法公式可得1213545431235124512341345123452345123451234512345122345( )()()()() ()()()()()() ()()()() AAAA AA A AA A AA A AA A AA A AA A AA A A AA A A AP AP AP AAP AP AA A A AP AP AP AP AP A AP AP AP AP AP A A A A A123452345 () 2252A A A AppP App圖2

18、12345(2)解法(二)令 A=“系統(tǒng)正常工作”1213545432AA A AA AA A AAA則第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題3423(2) 解法(三) 令A=“系統(tǒng)正常工作”。3333( )(|) ()(|) ()P AP A A P AP APAA根據(jù)全概率公式可得其中314251425(|)()()() ()AAP A AP AAAAAPPA214252525()()()()()2P AP AP APAAAP AppA243125125124445(|)()()()2AAP AP AA AAAP APApAAAAPp故22242345( )(2)(2)(21)252P Apppppppppp圖212345第第1章章 概率論的基本概念概率論的基本概念習題習題3424(2) 解法(四) 令A=“系統(tǒng)正常工作”，則141414141414( )(|) ()(|) ()(|) ()P AP A AP APAAA AA AAAPPAA AP A231