廣東省廣州市2016屆高中畢業(yè)班綜合測試(二)數(shù)學(xué)理試題(解析版)

1、 2016年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù) 學(xué)（理科）注意事項(xiàng)： 1. 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂。2. 回答第卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3. 回答第卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。（1）已知集合，Z，則(A)

2、(B) (C) (D) 答案：C解析：解一元二次不等式：2，得：，又，所以，N，所以，。（2）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位， 則(A) (B) (C) (D) 答案：B解析：因?yàn)閦，所以，1（3）已知， 則的值是(A) (B) (C) (D) 答案：A解析：（4）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 且, 則 (A) (B) (C) (D) 答案：B解析：由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又，所以，10.320.68（5）不等式組的解集記為, 若, 則的最小值是(A) (B) (C) (D) 答案：A解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當(dāng)過A（2,0）時取得最上值為4（6）使N展開式中含有常數(shù)

3、項(xiàng)的的最小值是(A) (B) (C) (D) 答案：C解析：，令0，得，所以的最小值是5（7）已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為, 則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(A) Z (B) Z (C) Z (D) Z 答案：D解析：=0，得：，所以，由，得的單調(diào)遞減區(qū)間是Z（8）已知球的半徑為，三點(diǎn)在球的球面上，球心到平面的距離為，, 則球的表面積為(A) (B) (C) (D) 答案：D解析：由余弦定理，得：BC，設(shè)三角ABC外接圓半徑為r，由正弦定理：，得r2，又，所以，表面積為：（9）已知命題：N, ，命題：N, ， 則下列命題中為真命題的是 (A) (B) (C) (D) 答案：C解析：因?yàn)椋╪為正整數(shù)）

4、是增函數(shù)，又所以，N, 成立，p正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以，q假命題，所以為真命題。（10）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為, 粗實(shí)線畫出 的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是(A) (B) (C) (D) 答案：B解析：該幾何體是一個放倒的半圓柱上面加一個四棱錐的組合體，（11）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點(diǎn)作 雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為(A) (B) (C) (D) 無法確定答案：B解析：特殊點(diǎn)法。因?yàn)槭嵌ㄖ?，M為雙曲線上任一點(diǎn)，取特殊點(diǎn)，當(dāng)M為右頂點(diǎn)時，由漸近線知三角形OMN為等腰直角三形，此時（12）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽 , , 當(dāng)時, 則函數(shù)

5、在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為(A) (B) (C) (D) 答案：A解析：考慮兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，由于兩圖象都關(guān)于1成軸對稱圖形，在共有7個交點(diǎn)，故零點(diǎn)之和為7。第卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題第21題為必考題，每個考生都必須做答。第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二. 填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）曲線在點(diǎn)處的切線方程為 . 答案：解析：（14）已知平面向量與的夾角為，則 .答案：2解析：（15）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的方程為 .答案：解析：由于兩個焦點(diǎn)為（1,0），（1,0）所以，（16）在中，分別為內(nèi)角

6、的對邊，則的面積的最大值為 . 答案：解析：三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分分） 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 已知, N. () 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：() 解: 當(dāng)時, 由, 得,1分 兩式相減, 得, 2分 . . 3分 當(dāng)時,，, 則.4分 數(shù)列是以為首項(xiàng), 公比為的等比數(shù)列. 5分 . 6分 () 解法1: 由()得. , 7分 , 8分 -得9分 10分 . 11分 .12分解法2: 由()得. , 8分 10分 . 12分（18）（本小題滿分分）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班名女同學(xué)，名男同學(xué)中隨機(jī)

7、抽取一個容量為的樣本進(jìn)行分析. ()如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必 計(jì)算出結(jié)果） ()如果隨機(jī)抽取的名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績(單位：分)對應(yīng)如下表：學(xué)生序號1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693 ()若規(guī)定分以上（包括分）為優(yōu)秀，從這名同學(xué)中抽取名同學(xué)，記名同 學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；()根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程 (系數(shù)精確到); 若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)榉?預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜? 附：線性回歸方程，其中，.解析：()解：依據(jù)分層抽樣的方

8、法，名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名， 1分 名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名， 2分 故不同的樣本的個數(shù)為. 3分() ()解: 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為名, 的取值為. , , , . 7分 的分布列為 8分 . 9分()解: ,. 10分線性回歸方程為.11分當(dāng)時, .可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)榉? 12分（19）（本小題滿分分） 如圖，在多面體中，是等邊三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. ()求證：； ()若，求直線與平面所成角的正弦值.解析：()證明：取的中點(diǎn),連接,. 是等邊三角形， . 1分 是等腰直角三角形， . 2分 平面平面，平面平面，平面， 平面. 3分 平面

9、, . ,四點(diǎn)共面. 4分 ,平面,平面, 平面. 5分 平面, . 6分()解法1: 作,垂足為,則. 是等邊三角形，, ,. 在Rt中, .7分 是等腰直角三角形， . 8分如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,. ,.設(shè)平面的法向量為,由,得 9分令,得,. 是平面的一個法向量. 10分設(shè)直線與平面所成角為,則. 11分直線與平面所成角的正弦值為. 12分解法2: 作,垂足為,則. 是等邊三角形，, ,. 在Rt中, . 7分 是等腰直角三角形， .8分 由()知， 平面,平面, 平面. 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.作,垂足為,平

10、面，平面，.平面,平面,平面,且. 9分在Rt中, 在Rt中, 的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由, 得,得. 10分設(shè)直線與平面所成的角為,則. 11分直線與平面所成角的正弦值為. 12分注:求的另法.由,得,得.（20）（本小題滿分分）已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過作直線，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).()求點(diǎn)的軌跡的方程；()若點(diǎn)是直線上兩個不同的點(diǎn), 且的內(nèi)切圓方程為，直 線的斜率為，求的取值范圍.解析： ()解:依題意,點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離, 1分 點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線. 2分 曲線的方程為. 3分()解法1：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)， 直線方程為：， 4分 化簡得，. 的

11、內(nèi)切圓方程為， 圓心到直線的距離為，即. 5分 故. 易知，上式化簡得，.6分 同理，有. 7分 是關(guān)于的方程的兩根. ， . 8分 .9分 ， . 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分解法2：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)， 直線的方程為，即，4分 直線與圓相切， . . 5分 直線的方程為. 點(diǎn)在直線上, . 易知，上式化簡得，. 6分 同理，有. 7分 是關(guān)于的方程的兩根. ， . 8分 . 9分 ， . 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分解法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，即， 令,得, .

12、 4分 直線與圓相切， . 化簡得,. 5分 同理,設(shè)直線的方程為， 則點(diǎn),且. 6分 ,是關(guān)于的方程的兩根. , . 7分 依題意,. 8分 . 9分 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分解法4：設(shè)點(diǎn)，如圖，設(shè)直線，與圓相切的切點(diǎn)分別為， 依據(jù)平面幾何性質(zhì)，得， 4分 由， 5分 得， 得. 6分得.7分故. 8分 依題意,. . 9分 直線的斜率，則. . 10分 函數(shù)在上單調(diào)遞增， . . . 11分 . 的取值范圍為. 12分（21）（本小題滿分分） 已知函數(shù)R. () 當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；() 若時,求實(shí)數(shù)的取值范圍； （

13、）求證：.解析：()解:當(dāng)時，,則. 1分 令，得. 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, . 2分 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,其值為. 3分 ()解:若時,即.(*) 令,則. 若,由()知,即,故. . 4分 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. . (*)式成立. 5分 若,令, 則. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由于,. 6分 故,使得. 7分 則當(dāng)時,即. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ,即(*)式不恒成立. 8分 綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是. 9分()證明:由()知,當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增. 則,即.10分 . 11分 ,即. 12分請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做

14、，則按所做的第一題計(jì)分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修41: 幾何證明選講如圖,四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,是圓的直徑，的延長線與的延長線交于點(diǎn),過作，垂足為點(diǎn). ()證明: 是圓的切線； ()若，求的長. 解析：()證明: 連接， ， . 1分 是圓的直徑， . . 2分 . . 3分 ， . 4分 是圓的切線. 5分()解: 是圓的直徑， ,即. ， 點(diǎn)為的中點(diǎn). . 6分 由割線定理:,且. 7分得. 8分在中，則為的中點(diǎn). . 9分在Rt中，. 10分 的長為.（23）（本小題滿分10分）選修44: 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.()將曲線和直線化為直角坐標(biāo)方程；()設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求它到直線的距離的最大值.解析：()解：由得， 曲線的直角坐標(biāo)方程為. 2分 由，得，3分 化簡得， 4分 . 直線的直角坐標(biāo)方程為. 5分()解法1：由于點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，6分 點(diǎn)到直線的距離為 7分 .8分 當(dāng)時，. 9分 點(diǎn)到直線的距離的最大值為. 10分 解法2：設(shè)與直線平行的直線的方程為， 由消去得， 6分