一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)教學(xué)案例-教育文檔

1、一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)教學(xué)案例案例一個(gè)小學(xué)六年級(jí)的學(xué)生，假期里遇到這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：解二元一次方程組3x+4y=10，x+2y=12,他自己想了一會(huì)，沒(méi)有找到解決的辦法，然后跑去問(wèn)他的父親怎么做，父親說(shuō)，做不起就耍一會(huì)再做嘛，孩子就做其他事情去了.第二天， 父親問(wèn)兒子昨天那個(gè)問(wèn)題做出來(lái)了沒(méi)有，兒子說(shuō)沒(méi)有，父親說(shuō)，今天你再想一下，可能就做出來(lái)了. 兒子就把那個(gè)問(wèn)題拿出來(lái)，大概做了半個(gè)小時(shí)，還是沒(méi)有做出來(lái)，父親說(shuō)做了這么久都沒(méi)有做出來(lái)，那就不做了，明天再想.第三天，兒子跑來(lái)給父親說(shuō)還是做不出來(lái)，父親說(shuō)，你把問(wèn)題拿來(lái)我們一起研究一下. 父親一看，心里就明白了，這個(gè)問(wèn)題屬于初一的內(nèi)容，對(duì)于兒子現(xiàn)在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來(lái)

2、說(shuō)，的確比較難，于是父親說(shuō)，二元一次方程組解不出來(lái)，這是個(gè)問(wèn)題，那你會(huì)解什么方程?。?jī)鹤酉肓讼胝f(shuō)，一元方程. 父親說(shuō)， 那能不能把這個(gè)二元的問(wèn)題弄成你會(huì)的呢？?jī)鹤佑职褑?wèn)題拿回去做.過(guò)了大概半個(gè)小時(shí)，兒子把他的草稿本拿過(guò)來(lái)，上面寫(xiě)了很多過(guò)程，后來(lái)他找到一個(gè)辦法，就是把第二個(gè)式子各項(xiàng)均乘2，得到2x+4y=24,再用第一個(gè)式子3x+4y=10來(lái)減它，這樣y就沒(méi)有了，只剩下x. 但又出現(xiàn)了一個(gè)新問(wèn)題，10 減 24 不夠減，思路就卡在這里了. 父親說(shuō)，不夠減怎么辦呢？?jī)鹤诱f(shuō)，不知道.父親說(shuō)， 我們住的樓平層以下是幾樓?。?jī)鹤诱f(shuō)負(fù)一樓，父親說(shuō)，還有負(fù)二樓、負(fù)三樓， 不夠減是不是也可以用這種方式啊？?jī)鹤?/p>

3、想了想， 是啊， 那這里是不是減了就可以得到負(fù)14 ??？父親說(shuō)，你太聰明啦. 兒子高興極了，屁顛屁顛地回去繼續(xù)做. 隔了大概十分鐘，就得到了這個(gè)問(wèn)題的解x=-14 ，y=13.父親說(shuō)， 既然你可以把y 消掉， 可不可以先把x 消掉呢？?jī)鹤佑^察了一下，說(shuō)把第二個(gè)式子的各項(xiàng)均乘3，再去減第一個(gè)式子 . 父親說(shuō)，那你又去做一下，看是不是行得通. 隔了一會(huì)，兒子就把第二種方法的過(guò)程做出來(lái)了. 父親說(shuō)， 觀察一下，這兩種方法有沒(méi)有共同的地方呢？?jī)鹤酉肓酥?，基本上說(shuō)出了加減消元法的核心. 兒子很高興，說(shuō)爸爸真厲害，父親說(shuō)，我什么厲害哦， 我又沒(méi)給你講什么. 兒子說(shuō)， 你就是給我講了我才做出來(lái)的.父親說(shuō)，

4、你說(shuō)我講了些什么？?jī)鹤酉肓讼耄孟裼譀](méi)有講什么，然后又高興地去玩了.第四天， 父親寫(xiě)了兩個(gè)系數(shù)與前一個(gè)二元一次方程組不同的方程組， 兒子解第一個(gè)的時(shí)候還有些慢，解第二個(gè)時(shí)就已經(jīng)很熟練了， 而且還找到了解二元一次方程組的另一方法代入消元法.又隔了幾天，孩子遇到一個(gè)應(yīng)用題，在他想到用x， y 設(shè)未 知數(shù)建立二元一次方程組之后，很熟練地得到了問(wèn)題的求解啟示這是一個(gè)非常經(jīng)典的教學(xué)案例，案例中的父親是我的同事，也是一名數(shù)學(xué)老師，但這個(gè)案例中父親的做法并不全是非要數(shù)學(xué)工作者才能完成，作為家長(zhǎng)、作為教育工作者，都可以參考和學(xué)習(xí).啟示一： 啟發(fā)式教育永遠(yuǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的不二法寶 . 兒子第一個(gè)思維難點(diǎn)

5、是如何想到將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元問(wèn)題， 父親設(shè)置了一個(gè)很好的提問(wèn)“你會(huì)解什么方程”， 孩子回答之后， 父親又給了一個(gè)極具提示作用的問(wèn)題“能不能把這個(gè)二元的問(wèn)題弄成你會(huì)的呢”， 這一下孩子基本上就會(huì)朝著將未知的沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自己會(huì)的、熟悉的模型. 這個(gè)環(huán)節(jié)能很好地讓孩子體會(huì)到轉(zhuǎn)化的思想. 兒子的第二個(gè)思維難點(diǎn)，是關(guān)于“不夠減”的處理.父親用了生活中孩子每天都會(huì)看見(jiàn)的模型“負(fù)樓層”來(lái)提示.小學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)是沒(méi)有概念的，用這樣一個(gè)貼近生活的實(shí)例來(lái)提示，對(duì)于負(fù)數(shù)的概念理解就比較順利了，這就是類(lèi)比的推理方式. 而類(lèi)比推理是我們生活或數(shù)學(xué)中最常用的推理方式之一. 第三個(gè)啟發(fā)在兒子用兩種方式解出方程后，

6、“觀察一下， 這兩種方法有沒(méi)有共同的地方呢”， 引導(dǎo)兒子完成歸納總結(jié) . 數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，如果不學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，找到同類(lèi)問(wèn)題的共性，永遠(yuǎn)都是“見(jiàn)子打子”，那就太笨了，不僅耗費(fèi)時(shí)間，思維也不會(huì)得到升華.啟示二： 尊重學(xué)生的思維方式. 大多數(shù)教師在初次講二元一次方程組時(shí)，一般都會(huì)先講解代入消元法（這也是教材的編寫(xiě)順序），案例中的方程組較簡(jiǎn)單的方式也是將第二個(gè)方程變形為x=12-2y ，然后代入第一個(gè)式子得到求解，但孩子并沒(méi)有想到這種方式 . 我分析是孩子更習(xí)慣解用x 表示未知數(shù)的方程，所以先想到消去變量y,進(jìn)而想到了加減消元法解方程組.父親并沒(méi)有刻意地將兒子的思維往代入消元法上引，而是因勢(shì)利導(dǎo)，讓

7、孩子先學(xué)會(huì)用加減消元法解二元一次方程組（其實(shí)熟練了之后兩種方法的運(yùn)算量差不多）. 這里最重要的是明白消元的思想. 接著，在第四天的時(shí)候通過(guò)習(xí)題讓孩子找到代入消元法. 這樣的處理方式， 尊重了孩子的思維方式，讓孩子在思維的過(guò)程中始終有主動(dòng)感、成就感，在思維的過(guò)程中體會(huì)到了不斷深入，以及被肯定感， 而這種體驗(yàn)會(huì)積極地影響到他今后遇到問(wèn)題的自信程度. 試想， 如果當(dāng)孩子把草稿本拿給父親看，父親立馬給他講了代入消元法，那么孩子得到的心理反饋會(huì)是什么？啊，我想了這么久，竟然全白費(fèi)了，還沒(méi)有爸爸的這種方法簡(jiǎn)單，我真笨 . 由此帶來(lái)的挫敗感，可能會(huì)讓他在下一次遇到問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生懷疑和不自信，還容易產(chǎn)生依賴(lài)思想，

8、因?yàn)榘职种栏?jiǎn)單的方法，自己不用想，可以直接去問(wèn)他. 失去獨(dú)立思考的想法，養(yǎng)成依賴(lài)別人的習(xí)慣，這是最可怕的事情.啟示三： 為搞清楚原理多花時(shí)間，遠(yuǎn)比為熟練操作多花時(shí)間 更重要 . 讀者可以看到，孩子思維的核心工作是在第三天完成的，據(jù)其父親說(shuō)，第三天把原理搞清楚差不多花了兩個(gè)多小時(shí)，而第四天的練習(xí)大概在半個(gè)小時(shí)內(nèi)就完成了，最后應(yīng)用題中的解方程組僅僅只用了兩三分鐘. 在學(xué)校教育中，同樣的內(nèi)容可能是這樣安排的，一節(jié)課四十分鐘，可能花 15 到 20 分鐘講清楚代入消元法的原理，然后開(kāi)始大量練習(xí)，系數(shù)同為正數(shù)的，有正有負(fù)的， 系數(shù)有分?jǐn)?shù)的，解是整數(shù)的，解為分?jǐn)?shù)的等，有的在課堂上，有的出現(xiàn)在作業(yè)中，有

9、的在習(xí)題評(píng)講中. 練習(xí)鞏固的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)比探尋原理所花的時(shí)間多. 這種方式與案例中的教學(xué)方式最大的不同在哪里呢？遇到二元一次方程組不會(huì)解一一將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題找到二元一次方程組的一般解法， 這是有創(chuàng)造性的思維過(guò)程，而練習(xí)不同類(lèi)型的二元一次方程組解法，是熟練操作的過(guò)程，創(chuàng)造性的活動(dòng)相對(duì)減少. 其實(shí)，道理很簡(jiǎn)單，真正搞清楚原理后，熟練過(guò)程會(huì)水到渠成，可以減少很多不必要的重復(fù)機(jī)械工作. 數(shù)學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生什么？是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)理性地思考，學(xué)會(huì)理性地分析，而不單是簡(jiǎn)單的計(jì)算. 當(dāng)然，學(xué)校的集體教育不能和這種單個(gè)對(duì)象的教育完全一樣. 課堂集體教育有教學(xué)任務(wù)，有教學(xué)進(jìn)度的安排，不可能像單獨(dú)對(duì)象教育這樣隨意，

10、更不用說(shuō)還有考試壓力. 實(shí)際教學(xué)中，用前面談到的課堂教育方式， 在階段性考試中可能效果會(huì)好一些，但在教學(xué)設(shè)計(jì)上我們可以考慮讓創(chuàng)造性思維多一些的環(huán)節(jié)，多留一些時(shí)間. 從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看， 讓學(xué)生體驗(yàn)更多的創(chuàng)造性思維過(guò)程，會(huì)更有利于他們的學(xué)習(xí).啟示四： 培養(yǎng)學(xué)生遇到問(wèn)題相信自己可以獨(dú)立處理的自信心，這是教育者應(yīng)該一直堅(jiān)持的工作. 讀者可以看到，案例中的孩子第一天就碰到問(wèn)題，并向他父親求助了，但是他的父親沒(méi)有馬上回答他 . 第二天，父親仍然沒(méi)有回答他，而是讓他思考，直到第三天才和他展開(kāi)討論. 我們有些家長(zhǎng)在輔導(dǎo)孩子時(shí)，內(nèi)心比較焦慮， 恨不得馬上告訴孩子所有的內(nèi)容，然后立馬收到很好的效果，但這并不是一件好事.

11、 人的認(rèn)知有一個(gè)時(shí)間過(guò)程，同樣的東西認(rèn)知時(shí)，需要從陌生到熟悉，從不同的角度去觀察，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程. 陳重穆教授提倡的螺旋式教學(xué)法就尊重了人的這一認(rèn)知特點(diǎn). 一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，第一次教學(xué)過(guò)程中可能只能掌握一部分內(nèi)容，隨著時(shí)間的推移、新知識(shí)的增加，他會(huì)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)有更深的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上會(huì)有新的認(rèn)識(shí)和升華. 經(jīng)常聽(tīng)到有的老師抱怨學(xué)生，才講了的都不會(huì)，其實(shí)這種現(xiàn)象很正常，有可能是學(xué)生當(dāng)時(shí)的認(rèn)知還沒(méi)有到位，隨著時(shí)間的推移，我們?cè)诤线m的時(shí)候安排復(fù)習(xí)鞏固，從另外的角度去講解，說(shuō)不定學(xué)生就能掌握了.你可能覺(jué)得案例中的第一天、第二天是浪費(fèi)了，其實(shí)第一天就可以做第三天的工作，但是，第一天和第二天的工作不是白費(fèi)的

12、，前兩天，父親的做法很明顯，讓兒子知道遇到問(wèn)題要自己思考，思考是自己的事情，也沒(méi)有強(qiáng)求他一定要思考出來(lái)，但一定要去思考，且深入地思考. 在思考中，孩子會(huì)對(duì)問(wèn)題更熟悉，盡管沒(méi)有進(jìn)行到最核心的地方，但對(duì)于問(wèn)題本身更熟悉了，這有利于今后對(duì)同類(lèi)問(wèn)題模型的提煉. 而第三天，父親也沒(méi)有代替他思考，只是拋出了幾個(gè)富有啟發(fā)性的問(wèn)題，孩子通過(guò)思考和演算，找到了將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元問(wèn)題，通過(guò)思考找到克服負(fù)數(shù)的辦法，通過(guò)觀察和思考，歸納并總結(jié)加減消元法的一般步驟，整個(gè)思維過(guò)程孩子都是主體. 尤為有趣的是，找到方法后父子的那段對(duì)話一一“兒子很高興，說(shuō)爸爸真厲害，父親說(shuō)，我什么厲害哦，我又沒(méi)給你講什么. 兒子說(shuō)，你就是給我講了我才做出來(lái)的. 父親說(shuō)，你說(shuō)我講了些什么？?jī)鹤酉肓讼耄孟裼譀](méi)有講什么”.這段對(duì)話，充分顯示了這位父親的睿智. 他讓兒子真實(shí)地感受到， 問(wèn)題是通過(guò)自己的思考解決的. 當(dāng)然， 兒子對(duì)于父親的引導(dǎo)肯定是知道的，但他清晰地看到了自己的思考在解決問(wèn)題中的重要作用， 這是極其珍貴的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，它可以很好地培養(yǎng)孩子的自信心， 讓他有勇氣去面對(duì)新的數(shù)學(xué)難題，相信自己通過(guò)努力