初中幾何添加輔助線的99條規(guī)律

1、01-規(guī)律1如果平面上有n(n2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出n(n1)條。規(guī)律2平面上的n條直線最多可把平面分成n(n+1)/2+1個(gè)部分。規(guī)律3如果一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為n(n1)條。規(guī)律4線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的一半。規(guī)律5有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的角的個(gè)數(shù)一共有n(n1)個(gè)。規(guī)律6如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n（n1）個(gè)。規(guī)律7如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n（n1）對(duì)對(duì)頂角。規(guī)律8平面上若有n（n3）個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在

2、同一直線上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形一共可作出n(n1)(n2）個(gè)。規(guī)律9互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90°。規(guī)律10平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n(n1)個(gè)。規(guī)律11互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。規(guī)律12當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。規(guī)律13在證明直線和圓相切時(shí)，常有以下兩種引輔助線方法：（1）當(dāng)已知直線經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可。（2）如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長(zhǎng)度等于半徑的

3、長(zhǎng)即可。-02-規(guī)律14成“8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半。規(guī)律15在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題。規(guī)律16三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律17三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律18三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的

4、銳角等于90o減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律19從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半。注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過(guò)解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。規(guī)律20在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。規(guī)律21有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律22有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形。規(guī)律23

5、在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形。規(guī)律24截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等。這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法。當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：ab    a±b=c    a±b=c±d規(guī)律25證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。若圖中沒(méi)有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。如果沒(méi)有相等的線段代換，可設(shè)法

6、作輔助線構(gòu)造全等三角形。規(guī)律26在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來(lái)證明兩個(gè)角相等。規(guī)律27三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等。規(guī)律28條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。規(guī)律29連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題。規(guī)律30有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”。規(guī)律31當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形。規(guī)律32當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件。規(guī)律33有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。規(guī)

7、律34有等腰三角形時(shí)常用的輔助線（1）作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線（2）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線（3）將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題（4）常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線（5）常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線（6）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形規(guī)律35有二倍角時(shí)常用的輔助線（1）構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角（2）平分二倍角（3）加倍小角規(guī)律36有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。規(guī)律37有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律38有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律39當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。規(guī)律4

8、0條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。-03-規(guī)律41平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半。規(guī)律42平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差。規(guī)律43有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律44有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段。規(guī)律45平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。規(guī)律46平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。規(guī)律47平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。規(guī)律48任

9、意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。規(guī)律49平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。規(guī)律50有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線。規(guī)律51直角三角形常用輔助線方法：（1）作斜邊上的高（2）作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：有斜邊中點(diǎn)時(shí)有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)規(guī)律52正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線上的兩端距離相等。規(guī)律53有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)。規(guī)律54利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證題

10、創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。規(guī)律55有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律56從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。規(guī)律57從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形。規(guī)律58從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形。規(guī)律59延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。規(guī)律60有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。規(guī)律61有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯

11、形轉(zhuǎn)換成三角形。規(guī)律62梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線。規(guī)律63任意四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對(duì)角線乘積的一半。規(guī)律64有線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。規(guī)律65有下列情況時(shí)常作三角形中位線。（1）有一邊中點(diǎn)；（2）有線段倍分關(guān)系；（3）有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn)。規(guī)律66有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線（1）有一腰中點(diǎn)（2）有兩腰中點(diǎn)（3）涉及梯形上、下底和規(guī)律67連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。規(guī)律68連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。規(guī)律69連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。規(guī)律70連結(jié)對(duì)

12、角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形。規(guī)律71連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。規(guī)律72等腰梯形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長(zhǎng)）。規(guī)律73等腰梯形的對(duì)角線與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形。規(guī)律74如果矩形對(duì)角線相交所成的鈍角為120o，則矩形較短邊是對(duì)角線長(zhǎng)的一半。規(guī)律75梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積。規(guī)律76若菱形有一內(nèi)角為120°，則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線長(zhǎng)的4倍。-04-規(guī)律77當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線。規(guī)律78有中

13、線時(shí)延長(zhǎng)中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律79當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形。（1）有特殊角時(shí)，如有30°、45°、60°、120°、135°角時(shí)。（2）涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí)。構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線來(lái)實(shí)現(xiàn)。-05-規(guī)律80當(dāng)已知條件中有切線時(shí)，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題。規(guī)律81兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦。規(guī)律82任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。規(guī)律83任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。規(guī)律84

14、三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。規(guī)律85等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)等于直角邊的2倍。規(guī)律86在含有30°角的直角三角形中，60°角所對(duì)的直角邊是30°角所對(duì)的直角邊的3倍。規(guī)律87直角三角形中，如果較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的5倍。規(guī)律88圓中解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。規(guī)律89有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角。規(guī)律90有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距。規(guī)律91證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距。規(guī)律92有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：（1）連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑（2）連結(jié)等弧所對(duì)的弦（3）