材料力學(xué)：第四章 彎曲 （1）

1、2 I. 彎曲的概念彎曲的概念 梁梁： 以彎曲變形為主的桿件。以彎曲變形為主的桿件。彎曲變形彎曲變形 外力是作用線(xiàn)垂直于桿軸線(xiàn)的平衡力系外力是作用線(xiàn)垂直于桿軸線(xiàn)的平衡力系（有時(shí)還包括力偶）。（有時(shí)還包括力偶）。受力特征受力特征：變形特征變形特征：梁變形前為直線(xiàn)的軸線(xiàn)：梁變形前為直線(xiàn)的軸線(xiàn) ，變形后成為曲線(xiàn)。，變形后成為曲線(xiàn)。彎曲彎曲桿件受到垂直于桿的軸桿件受到垂直于桿的軸線(xiàn)的外力即橫向力或受到位于線(xiàn)的外力即橫向力或受到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶作用時(shí)，桿軸平面內(nèi)的外力偶作用時(shí)，桿的軸線(xiàn)由直線(xiàn)彎成曲線(xiàn)。桿的軸線(xiàn)由直線(xiàn)彎成曲線(xiàn)。梁是一類(lèi)常用的構(gòu)件，幾乎在各類(lèi)梁是一類(lèi)常用的構(gòu)件，幾乎在各類(lèi)工程中都占有重

2、要地位。工程中都占有重要地位。4-1 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例虎門(mén)大橋虎門(mén)大橋，位于廣，位于廣東省珠江三角洲中東省珠江三角洲中部，跨越珠江干流部，跨越珠江干流獅子洋出海航道，獅子洋出海航道，全長(zhǎng)全長(zhǎng)4600米，主侉米，主侉888米，單跨雙鉸米，單跨雙鉸簡(jiǎn)支懸索橋，矢跨簡(jiǎn)支懸索橋，矢跨比比1/10.5,扁平閉合扁平閉合流線(xiàn)型鋼箱梁，流線(xiàn)型鋼箱梁，35.6米，雙向六車(chē)米，雙向六車(chē)道，中央設(shè)道，中央設(shè)1.5米米的分車(chē)帶，橋下通的分車(chē)帶，橋下通航凈空航凈空60米，米，1997年五月建成通年五月建成通車(chē)。車(chē)。工程實(shí)例工程實(shí)例杭州灣跨海大杭州灣跨海大橋橋是國(guó)道主干是國(guó)道主干線(xiàn)同三線(xiàn)

3、跨線(xiàn)同三線(xiàn)跨越杭州灣的便越杭州灣的便捷通道。大橋捷通道。大橋北起嘉興市海北起嘉興市海鹽鄭家埭，跨鹽鄭家埭，跨越寬闊的杭州越寬闊的杭州灣海域后止于灣海域后止于寧波市慈溪水寧波市慈溪水路灣，全長(zhǎng)路灣，全長(zhǎng)36Km。大橋。大橋建成后將縮短建成后將縮短寧波至上海間寧波至上海間的陸路距離的陸路距離 120余公里。余公里。工程實(shí)例工程實(shí)例6中國(guó)古典建筑中國(guó)古典建筑7工程實(shí)例工程實(shí)例奧奧運(yùn)運(yùn)場(chǎng)場(chǎng)館館效效果果圖圖工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例11梁體特點(diǎn)梁體特點(diǎn) 梁的橫截面有縱向?qū)ΨQ(chēng)軸，梁有縱向?qū)ΨQ(chēng)面。梁的橫截面有縱向?qū)ΨQ(chēng)軸，梁有縱向?qū)ΨQ(chēng)面。MP2P1q縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面平面彎曲：平面彎曲

4、：12 對(duì)稱(chēng)彎曲對(duì)稱(chēng)彎曲外力作用外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，因于梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(xiàn)而變形后梁的軸線(xiàn)(撓曲線(xiàn)撓曲線(xiàn))是在該縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的平面是在該縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的平面曲線(xiàn)。曲線(xiàn)。 非對(duì)稱(chēng)彎曲非對(duì)稱(chēng)彎曲梁不具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，或具有縱向?qū)ΨQ(chēng)梁不具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，或具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面，面， 但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)這種彎曲稱(chēng)為但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)這種彎曲稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)非對(duì)稱(chēng)彎曲彎曲。一一 . 支座的幾種基本形式支座的幾種基本形式 在梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中用梁的在梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中用梁的軸線(xiàn)代表梁，軸線(xiàn)代表梁，關(guān)鍵是支座的簡(jiǎn)化。關(guān)鍵是支座的簡(jiǎn)化。RHm（1）固定端）固定端RHR（2）固定鉸支座）固定鉸支

5、座(3) 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座4-2 受彎桿件的簡(jiǎn)化受彎桿件的簡(jiǎn)化梁在兩支座之間的部分稱(chēng)為梁在兩支座之間的部分稱(chēng)為跨跨，其長(zhǎng)度稱(chēng)為梁的，其長(zhǎng)度稱(chēng)為梁的跨長(zhǎng)跨長(zhǎng)。(a)懸臂梁懸臂梁(b)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(c)外伸梁外伸梁工程中常用到的靜定梁工程中常用到的靜定梁(d) 連續(xù)梁連續(xù)梁中間鉸中間鉸超靜定梁超靜定梁支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。(d)(f)幾種超靜定梁幾種超靜定梁(g)超靜定梁超靜定梁支座反力不能由靜力平衡方程完全支座反力不能由靜力平衡方程完全 確定的梁。確定的梁。二二 . 載荷的簡(jiǎn)化載荷的簡(jiǎn)化 分布力、集中力分布力、集中力16 試求圖試求圖

6、a所示有中間鉸所示有中間鉸C的梁在的梁在A、B處的約束力。處的約束力。例題例題 4-1171. 帶中間鉸的梁可用平衡方程求此反力。該梁左端帶中間鉸的梁可用平衡方程求此反力。該梁左端A為固為固定端，有定端，有3個(gè)未知約束力個(gè)未知約束力FAx，F(xiàn)Ay和和MA；右端；右端B處為可動(dòng)處為可動(dòng)鉸支座，有鉸支座，有1個(gè)未知約束力個(gè)未知約束力FBy。此梁總共有。此梁總共有4個(gè)未知的約個(gè)未知的約束力。束力。(b)例題例題 4-1解解:18 對(duì)于平面力系，雖然僅可列出對(duì)于平面力系，雖然僅可列出3個(gè)獨(dú)立的平衡方程，個(gè)獨(dú)立的平衡方程，但此梁具有中間鉸但此梁具有中間鉸C，根據(jù)，根據(jù)鉸不能傳遞力矩的特點(diǎn)鉸不能傳遞力矩的

7、特點(diǎn)，作用，作用在中間鉸一側(cè)在中間鉸一側(cè)( (梁的梁的AC或梁或梁CB段段) )梁上的外力梁上的外力( (荷載和約荷載和約束力束力) )對(duì)于中間鉸對(duì)于中間鉸C的力矩應(yīng)等于零，還可列出的力矩應(yīng)等于零，還可列出1個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的平衡方程。這樣就可利用平衡方程。這樣就可利用4個(gè)平衡方程求解個(gè)平衡方程求解4個(gè)未知的約束個(gè)未知的約束力。故該梁是靜定梁。力。故該梁是靜定梁。例題例題 4-1(b)192. 以以CB段（圖段（圖c）為分離體，求）為分離體，求FBy。 0m5mN105m2.5m3mN1020033 ByCFMkN29 ByF(c)例題例題 4-120 0, 0AxxFF 0kN29m3mkN2

8、0kN50, 0 AyyFF kN81AyF3. 以整體（以整體（AB梁）（圖梁）（圖b）為分離體，求）為分離體，求FAx ，F(xiàn)Ay ， MA 。(b)例題例題 4-121mkN5 .96 AM 0m5 . 61029mN105m4m3mN1020m1N105003333 AAMM(b)例題例題 4-122 該梁的約束力亦可將梁在中間鉸該梁的約束力亦可將梁在中間鉸C處拆開(kāi)，先利用處拆開(kāi)，先利用CB梁梁作為分離體求約束力作為分離體求約束力FBy ，F(xiàn)Cx和和FCy，其中，其中FCx，F(xiàn)Cy為為AC梁梁對(duì)對(duì)CB梁的作用力，將梁的作用力，將FCx，F(xiàn)Cy等值反向后加在等值反向后加在AC梁的梁的C截面

9、截面處，然后利用處，然后利用AC梁作為分離體求約束反力梁作為分離體求約束反力FAx，F(xiàn)Ay和和MA。這種先求副梁的支反力，再求主梁支反力的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為這種先求副梁的支反力，再求主梁支反力的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“先副后主先副后主”，這是求，這是求多跨靜定梁多跨靜定梁支反力常用的方法。支反力常用的方法。(d)(c)例題例題 4-14-3梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩aPABmmx 1、FS 和和 M 的定義與計(jì)算的定義與計(jì)算 如圖如圖所示受集中力所示受集中力 P 作作用的簡(jiǎn)支梁為例，來(lái)分用的簡(jiǎn)支梁為例，來(lái)分析梁析梁橫截面上的內(nèi)力。橫截面上的內(nèi)力。用截面法假想地在橫用截面法假想地在橫截面截面mm處把梁分為兩段

10、，處把梁分為兩段，先分析梁左段。先分析梁左段。因?yàn)樵谶@段梁上有向上因?yàn)樵谶@段梁上有向上的外力的外力RA所以在橫截面所以在橫截面 mm上必有一個(gè)與上必有一個(gè)與RA平平行而指向相反的內(nèi)力行而指向相反的內(nèi)力 FS 。FSxxmAmyRAC0F-0SRAy由平衡方程得由平衡方程得可得可得 FS = RAFS 稱(chēng)為稱(chēng)為 aPABmmxM由于外力由于外力RA與剪力與剪力FS組組成了一個(gè)力偶，因而在成了一個(gè)力偶，因而在此橫截面上必頂還有一此橫截面上必頂還有一個(gè)與其平衡的內(nèi)力偶，個(gè)與其平衡的內(nèi)力偶，設(shè)其矩為設(shè)其矩為M ?？傻每傻?M=RAx由平衡方程由平衡方程00m0 xRMAxxmAmyRACFS此內(nèi)力偶稱(chēng)

11、為此內(nèi)力偶稱(chēng)為 取右段梁為研究對(duì)象。取右段梁為研究對(duì)象。其上剪力的指向和彎矩其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對(duì)象所示相反。研究對(duì)象所示相反。FSMmmRBBP2、FS和和 的正負(fù)號(hào)的規(guī)定的正負(fù)號(hào)的規(guī)定dxmmFSFS+剪力剪力FS符號(hào)符號(hào)使使dx 微段有微段有 的相對(duì)的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面 m-m 上的剪力為上的剪力為正正 ?；颉；蚴故筪x微段有微段有順時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正正。使使dx 微段有微段有 左端向下而右端向左端向下而右端向上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面 m-m 上的剪力為上的剪力為負(fù)負(fù) ?；蚴??；蚴筪x

12、微段有微段有逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為負(fù)負(fù)。dxmmFSFSmm+_當(dāng)當(dāng)dx 微段的微段的彎曲下凸彎曲下凸（即該段（即該段的的下半部受拉下半部受拉 ）時(shí)）時(shí)，橫截面橫截面m-m 上的彎矩為上的彎矩為；彎矩彎矩M符號(hào)符號(hào)（受拉）（受拉）MMmm（受壓）（受壓）MM當(dāng)當(dāng)dx 微段的微段的彎曲上凸彎曲上凸（即該段的（即該段的下半部受拉壓下半部受拉壓）時(shí)）時(shí)，橫截面橫截面m-m 上的彎矩為為上的彎矩為為。習(xí)題習(xí)題 求指定截面上的內(nèi)力求指定截面上的內(nèi)力 FSA左左 ， FSA右右， FSD左左 ， FSD右右 ，MD左左, MD右右 ， FSB左左 ， FSB右右 。RARB解：解：

13、RA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN mKNq 3 m=3KN.m2m2m4mCADBKNqsFA62左KNqRFASA5 . 82 右KNRFFFBSDSDSD5 . 3右左看左側(cè)看左側(cè)看右側(cè)看右側(cè)mKNmRMBD.42左mKNqRMAD.4364左mKNmqRMAD.7364 右mKNRMBD.72 右看右側(cè)看右側(cè)看左側(cè)看左側(cè)看右側(cè)看右側(cè)看左側(cè)看左側(cè)KNRFBSB5 .3左0FSB 右看右側(cè)看右側(cè)橫截面上的橫截面上的 在數(shù)值上等于此橫截面的在數(shù)值上等于此橫截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 梁段上梁段上 外力的代數(shù)和外力的代數(shù)和 。左側(cè)左側(cè) 梁段：向上的外力引起正值的剪力梁段

14、：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力右側(cè)右側(cè) 梁段：向下的外力引起正值的剪力梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力求剪力和彎矩的簡(jiǎn)便方法求剪力和彎矩的簡(jiǎn)便方法 橫截面上的橫截面上的 在數(shù)值上等于此橫截面的在數(shù)值上等于此橫截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)梁右側(cè)梁段上的段上的 外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和 。 不論在截面的不論在截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 向上的外力均將引起向上的外力均將引起正值正值 的彎矩，而向下的彎矩，而向下 的外力則引起的外力則引起 負(fù)值負(fù)值 的彎矩。的彎矩。左側(cè)梁

15、段：順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩左側(cè)梁段：順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩右側(cè)梁段：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩右側(cè)梁段：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩44 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程：用函數(shù)表達(dá)式表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面：用函數(shù)表達(dá)式表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程 。即即 FS = FS (x )

16、M = M（x）剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力圖剪力圖為為正值正值畫(huà)在畫(huà)在 x 軸軸上側(cè)上側(cè)，負(fù)值畫(huà)在，負(fù)值畫(huà)在x 軸下側(cè)軸下側(cè)彎矩圖彎矩圖為為正值正值畫(huà)在畫(huà)在 梁的手拉，負(fù)值畫(huà)在梁的手拉，負(fù)值畫(huà)在x 軸下側(cè)軸下側(cè)繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫(xiě)出梁繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫(xiě)出梁 的剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們作圖。的剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們作圖。30 簡(jiǎn)支梁受力如圖簡(jiǎn)支梁受力如圖a所示。試寫(xiě)出梁的剪力方程和彎所示。試寫(xiě)出梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題311. 求支座

17、的約束力求支座的約束力得得和和由由 00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程可利用平衡方程 對(duì)所求約束力進(jìn)行校核。對(duì)所求約束力進(jìn)行校核。 0yF例題例題 解解:(a) xBAl/2l/2CqFAFB322. 分段建立剪力方程和彎矩方程分段建立剪力方程和彎矩方程 AC段段： 22183)(qxqlxxM )20(lx qxqlxF 83)(S)20(lx (a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 33CB段：段：（以（以x截面右邊截面右邊為分離）為分離） qlxF81)(S )2(lxl )(81)(xlqlxM )2(lxl (a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題

18、 343求控制截面的內(nèi)力，繪求控制截面的內(nèi)力，繪FS 、M圖圖 FS圖圖：AC段內(nèi)段內(nèi) 剪力方程是剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)，故只的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)，故只需求出需求出A和和C端截面的剪力值端截面的剪力值qlFA83S 右右qlFC81S 左左(a) xBAl/2l/2CqFAFB例題例題 35 CB段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，剪力圖為水平線(xiàn)。由段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，剪力圖為水平線(xiàn)。由FSC可可畫(huà)出畫(huà)出該段剪力圖。梁的剪力圖如圖該段剪力圖。梁的剪力圖如圖b所示所示 (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl/2l/2Cq例題例題 qlxF81)(S)2(lxl 36M圖：圖：AC段內(nèi)彎矩方程是段內(nèi)彎矩方程是x的的二次函數(shù)，彎矩圖為二二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線(xiàn)，需求出三個(gè)次拋物線(xiàn)，需求出三個(gè)截面的彎矩。截面的彎矩。0 AM2161qlMC (b) FSx38 l18 ql38 ql(a) xBAl