雙曲線及其標準方程教案

1、優(yōu)秀教案歡迎下載雙曲線及其標準方程（第一課時）教學(xué)目標：1掌握雙曲線的定義，能說出其焦點、焦距的意義；2 能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導(dǎo)出雙曲線的標準方程，熟練掌握兩類標準方程；3 能解決較簡單的求雙曲線標準方程的問題；4 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。教學(xué)重點： 雙曲線的定義和標準方程。教學(xué)難點： 雙曲線標準方程的推導(dǎo)過程。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課：師：我們先來思考這樣一個問題：（打開幾何畫板） 已知定點 F1 ( 1,0) 和 F2 (1,0) ，定圓 C1 的圓心為 F1 ，且半徑為 r ，動圓 C 2 過定點 F2 ，且與定圓相切。（ 1）若 r 4 ，試求動圓

2、圓心的軌跡；（ 2）若 r 1，試求動圓圓心的軌跡。（教師結(jié)合幾何畫板演示分析） ：師：當(dāng) r4 時，我們得到的軌跡是什么？生：是橢圓。師：為什么？生：因為當(dāng) r4 時動圓 C 2 內(nèi)切于定圓 C1 ，所以兩個圓的圓心距MF1 滿足 MF14以得到： MF1MF 24 滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個以F1 、 F2 為定點，師：很好。那么，當(dāng)r1呢，此時動圓 C2 與定圓 C1 相切有幾種情況？MF 2 ，移項后可4 為定長的橢圓。生：有兩種情況：內(nèi)切和外切。師：我們先來考察兩圓外切時的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件？生（同時教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個圓的圓心距MF1

3、滿足MF11MF 2 ，移項后可以得到：MF1MF 21 。( 教師演示軌跡 )師：我們再來考察兩圓內(nèi)切時的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件？生（同時教師板書）：由于兩圓內(nèi)切，所以兩個圓的圓心距MF1 滿足MF1MF 21 ，移項后可以得到： MF1 MF21 。 ( 教師演示軌跡 )師（同時演示兩種情況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過定點的動圓的圓心滿足MF1MF 21即 MFMF21 ，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。1二、新課講解：1、定義給出師：今天我們來學(xué)習(xí)雙曲線。同學(xué)們能否結(jié)合剛才的問題給雙曲線下個一般定義？生：雙曲線是到平面上兩個定點 F1 、 F2 的距離的差的絕對

4、值等于常數(shù)的點的軌跡。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。師：由橢圓的定義，一般情況下，我們設(shè)該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支？生：當(dāng) MF1MF 22a 時，表示的是雙曲線的右支，當(dāng)MF1MF22a 時，表示的是雙曲線的左支。2 、定義探究（教師引導(dǎo)學(xué)生分情況討論） ：師：這個常數(shù) 2a 有沒有限制條件？生：有。這個常數(shù)2a 要比焦距 F1F 2小。師：很好。為什么要有這個限制條件呢？其他情況會是怎樣的呢？我們一起來分析一下：（1）若 a=0，則有 MF1MF20即 MF1MF 2 ，此時軌跡為線段 F1 F2 的中垂線；

5、（2）若 2a= F1 F2 , 則有MF1MF 2F1F2，此時軌跡為直線 F1 F2 上除去線段 F1 F2 中間部分，以 F1 、F2 為端點的兩條射線；（3）若 2a> F1 F2 , 則根據(jù)三角形的性質(zhì)，軌跡不存在。3、雙曲線標準方程的推導(dǎo)過程：優(yōu)秀教案歡迎下載師：我們學(xué)過求曲線的方程的一般步驟， 現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標準方程。 （師生互動，共同推導(dǎo)之）第一步：建立直角坐標系；第二步：設(shè)點：設(shè) M(x，y) ，焦點分別為 F1 ( c,0) 和 F2 (c,0) ，M到焦點的距離差的絕對值等于 2a；第三步：啟發(fā)學(xué)生根據(jù)定義寫出 M點的軌跡構(gòu)成的點集：P MMF1MF

6、22a ；第四步：建立方程：( xc) 2y 2(xc) 2y22a ；第五步：化簡，得到 x2y21(a0, b0)a 2b 2教 師強 調(diào)： 我們 得到 了焦 點在x 軸 上， 且焦 點是 F1 ( c,0) 和 F 2 (c,0) 的 雙曲 線標 準方 程為x 2y2a 2b 2a 21( a 0, b 0) ，這里 c2b2師：那么如果焦點在y 軸上呢？（學(xué)生練習(xí)）生（練習(xí)后）：此時的標準方程應(yīng)該是4 雙曲線標準方程的探討：y2x2a 0,b 0)。ab1(22師：剛才我們共同推導(dǎo)了雙曲線的標準方程。請同學(xué)想一下，雙曲線標準方程中字母a、b、c 的關(guān)系如何？是不是 a b ？生： a、

7、b、c 滿足等式 c 2a 2b 2 ，所以有 a 2c 2b2，可以得到 a, bc ，但不能判斷 a b 。師：很好。我們在求雙曲線標準方程過程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點對求雙曲線方程很重要。那么如何根據(jù)方程判定焦點在哪個坐標軸上呢？2222生：由于焦點在 x 軸和 y 軸上標準方程分別為 x2y2 1 和 y2x21 ，我們發(fā)現(xiàn)焦點所在軸相關(guān)abab的未知數(shù)的分母總是 a，所以可以由 a 來判定。師：很好。如果我們知道的方程是x2y 2，那么你如何尋找 a？312生：因為 a 所在的這一項未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。師：如果方程是 x2y 21 呢？32生：先化成標準方程。師

8、：請同學(xué)總結(jié)一下。生：化標準，找正號。5運用新知：【練習(xí)】已知方程 x2y21表示雙曲線，則 m 的取值范圍是 _，此時雙曲線的焦點坐9m 1標是 _，焦距是 _；【變式】若將 9 改成 2m ，則 m的取值范圍是 _?！纠?1】已知雙曲線兩個焦點的坐標為 F1 ( 5,0) 、 F2 (5,0) ，雙曲線上一點 P 到 F1 、 F2的距離的差的絕對值等于 6，求雙曲線的標準方程。解：因為雙曲線的焦點再x 軸上，所以設(shè)它的標準方程為x2y20, b0) ，a 21(ab 2因為 2a=6， 2c=10，所以 a=3， c=5。所以 b2 5 23216 ，所以所求雙曲線的標準方程為x2y 2

9、91 。16【變式】已知兩個定點的坐標為 F1 ( 5,0) 、 F2 (5,0) ，動點 P 到 F1 、 F 2 的距離的差等于6，求 P 點的軌跡方程。優(yōu)秀教案歡迎下載解：因為 PF1PF26 ，所以 P 的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)雙曲線標準方程為x 2y21( a0, b0) ，a 2b2因為 2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5。所以 b 2523216 ，2所以所求 P 點的軌跡方程為 x2y1( x 3) 。916【例 2】已知雙曲線的焦點在 y 軸上，并且雙曲線上兩點 P、 P 的坐標分別為 (3, 42)、(9 ,5) ，求雙124曲線的標準方程。解：因為雙曲線的焦點在y

10、 軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為y 2x21(a0, b0)，a 2b 2因為點 P1 、 P2 在雙曲線上，所以點P1 、 P2 的坐標適合方程，代入得：( 42 ) 2321a 2b 2可解得： a29 2254b 21a 2b 2所以所求雙曲線得標準方程為：16 。9y2x2161 。9【變式】已知雙曲線的焦點在坐標軸上，并且雙曲線上兩點P1 、 P2 的坐標分別為 (3,4 2)、(9 ,5) ，求4雙曲線的標準方程。（分情況討論）【練習(xí)】（1） ABC 一邊兩個端點是 B (0,6) 和 C (0, 6) ，頂點 A 滿足 AB AC 8 ，求 A 的軌跡方程。（ 2） ABC 一邊的兩個端點是 B(0,6) 和 C (0, 6) ，另兩邊所在直線的斜率之積是4 ，求頂點 A9的軌跡。三、本課小結(jié)：師：我們總結(jié)一下本節(jié)課我們學(xué)了