PDE課件——數(shù)學(xué)物理方程1

1、偏微分方程2010-2011第二學(xué)期理科班李亞純第一章第一章 緒緒論論偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations）指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)以及其他自然科指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)以及其他自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、甚至社會科學(xué)等的學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、甚至社會科學(xué)等的研究中歸納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)研究中歸納出來的一些含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程數(shù)的方程悠久的歷史悠久的歷史 廣泛的應(yīng)用廣泛的應(yīng)用 數(shù)學(xué)的發(fā)展數(shù)學(xué)的發(fā)展 悠久的歷史：悠久的歷史：著名的弦振動方程著名的弦振動方程 20ttxxua u1727: 1727: John Bernou

2、lliJohn Bernoulli, ,離散質(zhì)量情形離散質(zhì)量情形 dAlembertdAlembert( (研究弦振動方程的先驅(qū)研究弦振動方程的先驅(qū)) )17461746：張緊的弦振動時形成的曲線的研究張緊的弦振動時形成的曲線的研究特殊的偏微分方程最早出現(xiàn)在特殊的偏微分方程最早出現(xiàn)在17341734年年EulerEuler的著作中，并的著作中，并于于17431743年出現(xiàn)在年出現(xiàn)在dAlembertdAlembert的的論動力學(xué)論動力學(xué)中。中。 22112(2)kkkkd unauuudtl廣泛的應(yīng)用：廣泛的應(yīng)用：傳統(tǒng)學(xué)科傳統(tǒng)學(xué)科流體力學(xué)：流體力學(xué)：Navier-StokesNavier-St

3、okes方程組方程組( (粘性流體粘性流體) ) EulerEuler方程組方程組( (無粘流體無粘流體) )彈性力學(xué)：彈性力學(xué)：Saint-VenantSaint-Venant方程組方程組電動力學(xué)：電動力學(xué)：MaxwellMaxwell方程組方程組( (電磁場電磁場) )量子力學(xué)：量子力學(xué)：SchrdingerSchrdinger方程方程 DiracDirac方程方程( (微觀粒子微觀粒子) )廣義相對論：廣義相對論：EinsteinEinstein方程方程( (引力場引力場) )規(guī)范場：規(guī)范場：Yang-MillsYang-Mills方程方程磁流體力學(xué)、反應(yīng)流體力學(xué)、熱彈性力學(xué)磁流體力學(xué)、

4、反應(yīng)流體力學(xué)、熱彈性力學(xué)交叉學(xué)科交叉學(xué)科生物數(shù)學(xué)：生物種群動力學(xué)生物數(shù)學(xué)：生物種群動力學(xué) 傳染病動力學(xué)傳染病動力學(xué) DNADNA分子動力學(xué)分子動力學(xué)金融數(shù)學(xué)：隨機微分方程金融數(shù)學(xué)：隨機微分方程經(jīng)濟學(xué)經(jīng)濟學(xué)社會科學(xué)社會科學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展：數(shù)學(xué)的發(fā)展：偏微分方程推動數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展：偏微分方程推動數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展：函數(shù)論函數(shù)論變分法變分法級數(shù)展開級數(shù)展開常微分方程常微分方程代數(shù)代數(shù)微分幾何微分幾何參考書參考書Courant-Hilbert: Method of Mathematical PhysicsFritz John: Partial Differential EquationsWalter

5、Strauss: Partial Differential Equations, An IntroductionLawrence C. Evans:Partial Differential Equations李大潛，秦鐵虎：李大潛，秦鐵虎：物理學(xué)與偏微分方程物理學(xué)與偏微分方程1 偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容2 典型方程的數(shù)學(xué)模型典型方程的數(shù)學(xué)模型3 二階線性偏微分方程簡介二階線性偏微分方程簡介1. 1. 什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？ 物理量物理量( (如位移、溫度等如位移、溫度等)-)-時間、空間位置時間、空間位置 u),(,321xxxxt-),(),

6、(321xxxtuxtuu物理量的變化規(guī)律物理量的變化規(guī)律)(等式系式的各階偏導(dǎo)數(shù)滿足的關(guān)及關(guān)于函數(shù)xtu( (偏微分方程偏微分方程) )1 1 偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容偏微分方程的基本概念與研究內(nèi)容 一般形式：一般形式：112121112(,) (,),(,)nnnnkknkknx xxuu x xxuuDuxxuD ukkkxxkN：120(, ,)(*)NnF x xx u DuD u 自變量自變量未知函數(shù)未知函數(shù) 一般形式：一般形式：120(, ,)(*)NnF x xx u DuD u 例子：例子：0: ),() 1 (yuyxuu0: ),()2(xyuyxuu)(),(:

7、),()3(為已知函數(shù)wyxwuyxuuxy)()(為任意函數(shù)fxfu ),)()(為任意連續(xù)可微函數(shù)gfygxfu),()()(),(00為任意連續(xù)可微函數(shù)gfygxfdsdttswuxxyy )(),()()(0,yxfyxufsfuuuutusuuuutusuuyxtyxsttsytysytsxtxsx為任意函數(shù)作變量代換)(),(0aybxfubabuauyx為常數(shù)一般地，yxuuyxuu: ),()4()(0)(0熱傳導(dǎo)方程弦振動方程xxtxxttuuuu: ),()6(yxuu : ),()5(xtuu )(0 調(diào)和方程yyxxuu可驗證可驗證: : () ,() , sin()c

8、os()nnxtxtxtxt均滿足弦振動方程均滿足弦振動方程 212xt滿足熱傳導(dǎo)方程滿足熱傳導(dǎo)方程 均為解均為解可驗證可驗證: : 3232330, sinsinh()yx y xxynxnyn0: ),()7(xxyyuyxuu0: ),()8(zuzyxuu方程組)(00)9(Riemann-Cauchyxyyxvuvu)()()()(11xygygyxfxfu)(,(為任意函數(shù)fyxfu 010uuyxuuxx: ),()( )cos( )sinuf yxg yx2. 2. 相關(guān)基本概念相關(guān)基本概念階數(shù)階數(shù)( (OrderOrder) )：未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)；未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高

9、階數(shù)；維數(shù)維數(shù)( (DimensionDimension) )：空間變量的個數(shù)；空間變量的個數(shù)； （對發(fā)展型方程：維數(shù)（對發(fā)展型方程：維數(shù)= =自變量個數(shù)自變量個數(shù)1 1； 對非發(fā)展型方程：維數(shù)對非發(fā)展型方程：維數(shù)= =自變量個數(shù)）自變量個數(shù)）1(,)nuu xx解解( (SolutionSolution) )：1(,)nxx（求解區(qū)域）（求解區(qū)域）在在 內(nèi)足夠光滑，且處處滿足偏微分方程（內(nèi)足夠光滑，且處處滿足偏微分方程（* *）稱為偏微分方程（稱為偏微分方程（* *）的）的經(jīng)典解經(jīng)典解：自由項：自由項：方程中與未知函數(shù)無關(guān)的項方程中與未知函數(shù)無關(guān)的項齊次方程齊次方程( (Homogeneou

10、sHomogeneous) )：不含非零自由項不含非零自由項項即為自由項，也稱右端),(),(),(nnNnxxgxxguDDuuxxG111非齊次方程非齊次方程( (NonhomogeneousNonhomogeneous) )：含有非零自由項含有非零自由項線性線性 ( (LinearLinear) )方程：方程：vGbuGabvauGxxguGn)(),(1方程改寫為否則稱為否則稱為非線性非線性( (NonlinearNonlinear) )方程方程半線性半線性( (Semi-LinearSemi-Linear) )：主部主部( (含最高階導(dǎo)數(shù)的部分含最高階導(dǎo)數(shù)的部分) )線性線性Nxgu

11、DxA),()(.),(nn11),(nxxx1NNxguDDuuxAuDxA),(),()(10擬線性擬線性( (Quasi-LinearQuasi-Linear) )：最高階導(dǎo)數(shù)本身是線性的最高階導(dǎo)數(shù)本身是線性的),(),(),(xguDDuuxAuDuDDuuxANNN101完全非線性完全非線性( (Fully NonlinearFully Nonlinear) )：最高階導(dǎo)數(shù)是非線性的最高階導(dǎo)數(shù)是非線性的線性線性(Linear)(Linear)：多重指標(biāo)（多重指標(biāo)（Multi-indexMulti-index） 例子：例子：)()(波動方程02zzyyxxttuuuau)()(熱傳導(dǎo)方

12、程02zzyyxxtuuuau)(調(diào)和方程0zzyyxxuuu二階線性齊次二階線性齊次23xuxuxt223uuxuxt一階線性非齊次一階線性非齊次一階半線性非齊次一階半線性非齊次)(sBurgeruuuxt0),()(xtgufuxt一階擬線性齊次一階擬線性齊次一階完全非線性非齊次一階完全非線性非齊次)Mechamics Quantum(0 xxtiuu二階線性齊次二階線性齊次Bar) (Vibrating 0 xxxxttuu四階線性齊次四階線性齊次n)interactio with(Wave xxttuuu3二階半線性齊次二階半線性齊次)(KdVuuuuxxxxt0三階半線性齊次三階半線

13、性齊次xxttuu)(二階擬線性齊次二階擬線性齊次3. 3. 研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：一般規(guī)律一般規(guī)律+ + 定解條件定解條件( (初始條件、邊界條件初始條件、邊界條件) ) 定解問題定解問題 定解問題的適定性：定解問題的適定性：存在性（存在性（ExistenceExistence） 唯一性（唯一性（UniquenessUniqueness） 穩(wěn)定性（穩(wěn)定性（StabilityStability）+ + 附加條件附加條件方程方程2 典型方程的數(shù)學(xué)模型典型方程的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 波動方程的定解問題波動方程的定解問題2.2 2.2 熱傳導(dǎo)方程的定解問題熱傳導(dǎo)方程的定解問題2.3 2.3 調(diào)和方程

14、的定解問題調(diào)和方程的定解問題2.4 2.4 一階方程（組）的例子一階方程（組）的例子2.5 2.5 其他方程的例子其他方程的例子 2.12.1 波動方程的定解問題波動方程的定解問題波動方程是波動方程是描述振動與波的傳播現(xiàn)象的一種描述振動與波的傳播現(xiàn)象的一種發(fā)展方程發(fā)展方程弦的橫振動（弦振動方程）桿的縱振動一維非線性彈性振動電報方程膜的橫振動聲波方程電磁波方程1. 1. 弦振動方程的導(dǎo)出弦振動方程的導(dǎo)出考慮一根張緊的考慮一根張緊的均勻柔軟均勻柔軟的細弦，受垂直于弦的的細弦，受垂直于弦的外力外力作用，在作用，在平衡位置平衡位置附近作附近作微小微小的的橫振動橫振動平衡位置：平衡位置：弦靜止時的位置，

15、通常設(shè)為弦靜止時的位置，通常設(shè)為 X X 軸；軸；均勻：均勻：弦的線密度弦的線密度( (單位長度的質(zhì)量單位長度的質(zhì)量) ) 為常數(shù)；為常數(shù)；柔軟：柔軟：張緊的弦在離開平衡位置時，其上的每一點均不抗拒彎張緊的弦在離開平衡位置時，其上的每一點均不抗拒彎 曲，從而弦的張力方向沿著其切線方向；弦的形變伸長曲，從而弦的張力方向沿著其切線方向；弦的形變伸長 與張力滿足與張力滿足HookeHooke定理定理橫振動：橫振動：振動發(fā)生在同一平面內(nèi)，且弦上各點的位移與平衡位置振動發(fā)生在同一平面內(nèi)，且弦上各點的位移與平衡位置 垂直；垂直；外力：外力：外力密度外力密度( (單位長度受到的外力單位長度受到的外力) )為

16、為F F ；軸的位移時刻的垂直于點在：弦上Xtxtxu),(微?。何⑿。赫穹鄬τ谙议L很小振幅相對于弦長很小1xu傾角很小長保持不變即振動過程中任一段弦不計，故弦的長度變化可忽略弧長為一段弧的一段弦，振動后變?yōu)樵L為dxdxudsdxx21,微元分析法：微元分析法：在物體中任取一個微小的立方體在物體中任取一個微小的立方體( (微元微元) )，在其上建立相應(yīng)，在其上建立相應(yīng)的物理量的平衡關(guān)系式，再令微元的直徑趨向于零的物理量的平衡關(guān)系式，再令微元的直徑趨向于零xxx)(xTxu2)(xxT1gF上力的平衡：考慮微元,xxx受力情況：受力情況：;),(),(;),(),();(),(xtxudxt

17、xuxgxtxFdxtxFxxTxTttxxxttxxx慣性力：重力：外力：張力：水平方向：水平方向：02222212121011111111110TxxTxTxxTxTtxxutxuxxTxTxx)()()()(),(tancos),(tancoscos)(cos)(垂直方向：垂直方向：),(),(),(),(),(),(),(),(),(tansin),(tansin),(),(sinsintxFxtxutxxuTgtxuxtxFtxutxxuTxgxtxutxxutxuxtxuxtxFxgTTxxttxxttxxtt0022111020),(),(),(txftxuatxuxxtt2（強

18、迫弦振動方程）（強迫弦振動方程） 沒有外力作用時：沒有外力作用時：有外力作用時：有外力作用時：02),(),(txuatxuxxtt（自由弦振動方程）（自由弦振動方程）),(),(,),().(),(txftxFaTxxxxggtxutt200記此時令可忽略2. 2. 定解條件的導(dǎo)出定解條件的導(dǎo)出)(),(),(),(xxuxxut00或記為);(),(xuxuttt00或記為)()()()(:初始速度初始位移xuxutt 0A. A. 初始條件初始條件B. B. 邊界條件邊界條件A. A. 初始條件初始條件例例1 1 在在d d 處將弦拉升至處將弦拉升至h h后靜止后靜止, ,然后放手讓其自

19、由振動然后放手讓其自由振動00)(,),(,)(xlxdxldlhdxxdhx0 0ldh例例2 2 弦靜止于平衡位置，經(jīng)敲擊后開始振動弦靜止于平衡位置，經(jīng)敲擊后開始振動 始速度為由初始沖量決定的初)(,)(xx0例例1 10000),(),(tlutuuulxx或記為，例例2 2 弦的端點自由滑動：即弦的端點不受垂直方向力的弦的端點自由滑動：即弦的端點不受垂直方向力的作用，也即張力在垂直方向的分量為零作用，也即張力在垂直方向的分量為零 0000),(),(,tlutuuuxxlxxxx或記為 00 xuT的弦兩端固定長為lB. B. 邊界條件邊界條件例例3 3 弦的端點固定在彈性支承上弦的端

20、點固定在彈性支承上 ),(21kk彈性系數(shù)分別為00000022011220110TkTkuuukuTlxuuukuTxxxxx,:00201lxxxxuuuu,)(:);(:tgulxtgux210)(:);(:tgulxtguxxx21000212211,)(:);(:tguulxtguuxxx注：注：兩端點可以取不同類型的邊界條件兩端點可以取不同類型的邊界條件邊界條件一般可分為三類：邊界條件一般可分為三類：第一類邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet)(Dirichlet)：第二類邊界條件第二類邊界條件(Neumann)(Neumann)：第三類邊界條件第三類邊界條件(Robin)(

21、Robin)：3. 3. 其他模型的例子其他模型的例子xxx ( , )u x t ：桿上桿上 點在點在 時刻的縱向位移時刻的縱向位移xtttxxxxxSuxSEuSEu0:x0ttxxuEu2/:aE20ttxxua u均勻桿的縱振動均勻桿的縱振動一維非線性彈性振動一維非線性彈性振動0ttxxuu對彈性弦的橫振動或彈性桿的縱振動，若作用力對彈性弦的橫振動或彈性桿的縱振動，若作用力與形變不滿足與形變不滿足HookeHooke定律時，即有定律時，即有( ):非線性函數(shù)非線性函數(shù)0()ttxxtLCjjLGRC jRGj, , , , :R G C L j電阻，線間電漏，電容，電感，電流密度電阻，

22、線間電漏，電容，電感，電流密度1,:R G 21/,/aLC bG CR L20ttxxja j20ttxxtja jbj電報方程電報方程張緊的柔軟均勻膜在垂直于平衡位置張緊的柔軟均勻膜在垂直于平衡位置 平面方向的微小橫振動平面方向的微小橫振動xy( , , )u x y t ：膜在膜在 點點 時刻離開平衡位置的橫向位移時刻離開平衡位置的橫向位移, x yt0()ttxxyyuT uu:面密度面密度:T張力張力2/:aT20()ttxxyyua uu膜的橫振動膜的橫振動2222xy （LaplaceLaplace算子）算子）20ttuau聲波方程聲波方程230tta氣體的振動是微小的：略去高階

23、無窮小量氣體的振動是微小的：略去高階無窮小量設(shè)空氣處于平衡狀態(tài)時的密度和壓強為設(shè)空氣處于平衡狀態(tài)時的密度和壓強為00, p000() ppp 0() :ap理想氣體動力學(xué)方程組理想氣體動力學(xué)方程組聲學(xué)方程組聲學(xué)方程組設(shè)空氣是無旋的：設(shè)空氣是無旋的： 即即, 存在標(biāo)量函數(shù)存在標(biāo)量函數(shù) 使使0rot ,v ,u,vu 聲速聲速230ttuau 速度速度, 速度勢速度勢 :u:v電磁波方程電磁波方程2230022301rotttttcctcc jEEBBj真空中電磁場的真空中電磁場的Maxwell方程組方程組 電場強度電場強度, 磁感應(yīng)強度磁感應(yīng)強度, 介電常數(shù)介電常數(shù), 磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率EB00自由電

24、磁波：自由電磁波： 電荷密度電荷密度, 電流密度電流密度, 光速光速j001/c 00,j232300ttttccEEBB4. 4. 波動方程的一般形式及其定解問題波動方程的一般形式及其定解問題模型模型: :) 1(VV中的慣性力中的慣性力 + + 通過通過 作用在作用在 上的力上的力 = 0= 0VVVttdxu(Contact Force)(Contact Force)VVdxFdSFdiv彈性體彈性體: :uauFF2)(小形變小形變( )( )1u02uauttFuttdiv),(),(),(),(tzyxfuuuautyxfuuautxfuauxuxuutxxfuaunzzyyxxt

25、tyyxxttxxttnntt2222221212321維：維：維：維：DAlembert DAlembert 算子算子2tta 定解問題：定解問題：1.1.初值問題初值問題( (CauchyCauchy問題問題) )長弦的振動注：一維時，即為無限)(),(:,),(),(xuxuttxxxtxfuautnntt0012R2.2.混合初邊值問題混合初邊值問題的邊界為上的邊界條件)(),(:,),(),(xuxuttxxxtxfuautnntt0012R邊界條件分三類：邊界條件分三類： 0gunungnugu：第三類邊界條件的單位外法線方向為：第二類邊界條件：第一類邊界條件)Robin()Neu

26、mann(;)Dirichlet(熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程描述物體內(nèi)的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，即由于溫度分布描述物體內(nèi)的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，即由于溫度分布不均勻而引起的熱量從溫度高的地方向溫度低的地方流不均勻而引起的熱量從溫度高的地方向溫度低的地方流動的現(xiàn)象動的現(xiàn)象. . 擴散方程擴散方程擴散方程描述物體內(nèi)的擴散現(xiàn)象，即由于濃度分布不均描述物體內(nèi)的擴散現(xiàn)象，即由于濃度分布不均勻而引起的物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移的勻而引起的物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象現(xiàn)象. .2.2 2.2 熱傳導(dǎo)方程的定解問題熱傳導(dǎo)方程的定解問題1. 1. 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出FourierFourie

27、r實驗定律實驗定律 tSnuukQtSnuuQtQnSuuuu21122121或則時間內(nèi)流過板的熱量；板的厚度；板的面積；薄板兩側(cè)的溫度分別為:,2u1u熱流方向熱流方向nnS.) ,(:),(),(),(),(),(的熱傳導(dǎo)系數(shù)物體在點流過的熱量為的外法線方向內(nèi)沿薄片無窮小時段的薄片，的一個無窮小面積取過點記溫度分布函數(shù)為zyxzyxkdSdtnuzyxkdQdSdtdSzyxzyxtzyxu0n密度；為單位時間內(nèi)熱源的體為密度為比熱，),(,),(),(tzyxFzyxzyxc00qk u dQqdSdtn)()()(),(),(,內(nèi)部熱源釋放的熱量外部流入的熱量需要吸收的熱量溫度升高考慮

28、任意時段；，任取對物體1221tzyxutzyxuttSGG 2112ttGGdtdxdydztuzyxzyxcdxdydztzyxutzyxuzyxzyxc),(),(),(),(),(),( 21ttGdtdxdydztzyxF),(21212121( , , )cos( , )cos( , )cos( , )divttStxyztStxyztGttGuk x y zdSdtnkukukudSdtkukukudxdydzdtxyzk u dxdydzdt n xn yn z為常數(shù)對均勻各向同性物體：kc,2211divttttGtGcu dxdydzdtk uF dxdydzdt divt

29、cuk uFfuaut2cFfcka,2其中當(dāng)物體內(nèi)部無熱源時，當(dāng)物體內(nèi)部無熱源時， 02uaut當(dāng)物體內(nèi)部有熱源時，當(dāng)物體內(nèi)部有熱源時， 考慮均勻薄板考慮均勻薄板( (上下底絕熱上下底絕熱) )：二維二維熱傳導(dǎo)方程；熱傳導(dǎo)方程；均勻細桿均勻細桿( (側(cè)面絕熱，同一截面上溫度相同側(cè)面絕熱，同一截面上溫度相同) )：一維一維熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程一般地一般地, ,),(txfuaut2),(nxxxx21擴散方程的導(dǎo)出擴散方程的導(dǎo)出FickFick實驗定律實驗定律 qD u 擴散流強度，即單位時間內(nèi)通過單位面積的粒子數(shù)（或質(zhì)量）擴散流強度，即單位時間內(nèi)通過單位面積的粒子數(shù)（或質(zhì)量）( , , ,

30、):uu x y z t 濃度，即單位體積中的粒子數(shù)（或質(zhì)量）濃度，即單位體積中的粒子數(shù)（或質(zhì)量）擴散系數(shù)擴散系數(shù):q:D粒子數(shù)（或質(zhì)量）守恒：粒子數(shù)（或質(zhì)量）守恒：divtuD uF特例：擴散源強度與濃度成正比，特例：擴散源強度與濃度成正比，220tuaub u特例：放射性衰變現(xiàn)象：特例：放射性衰變現(xiàn)象：220ln,tuauu均勻：均勻：2tuauF擴散源強度擴散源強度:F半衰期半衰期:2. 2. 定解條件的導(dǎo)出定解條件的導(dǎo)出)(),(:已知物體的初始溫度zyxut 0；已知物體表面溫度第一類邊界條件gu: )Dirichlet()(1絕熱特別地，的熱量流過物體表面單位面積單位時間內(nèi)沿法線方

31、向已知物體表面熱流量：第二類邊界條件02nunukdSdtdQgnu: )Neumann()(A. A. 初始條件初始條件B. B. 邊界條件邊界條件A. A. 初始條件初始條件B. B. 邊界條件邊界條件111111003uuknukdSdtnukdQukdSdtuukdQgunu實驗定律為介質(zhì)的溫度為熱交換系數(shù)，實驗定律：物體表面的熱交換情況已知物體與周圍介質(zhì)在第三類邊界條件FourierNewton: )Robin()(3. 3. 定解問題定解問題A.A.初值問題初值問題( (CauchyCauchy問題問題) ),(:,),(),(xuttxxxtxfuaunnt0012RB.B.混合

32、初邊值問題混合初邊值問題.),(:,),(),(的邊界為上的邊界條件xuttxxxtxfuaunnt0012R復(fù)分析：解析函數(shù)平衡態(tài)問題：膜、濃度、溫度等位勢理論：引力場，靜電場流體力學(xué)：無旋定常流隨機場：布朗運動2.3 2.3 調(diào)和方程的定解問題調(diào)和方程的定解問題1. 1. 方程的導(dǎo)出方程的導(dǎo)出解析函數(shù)解析函數(shù)2( , ),ttuauf x t00,uv平衡態(tài)問題平衡態(tài)問題),(txfuaut2彈性膜平衡態(tài)：外力不隨時間變化彈性膜平衡態(tài)：外力不隨時間變化穩(wěn)定濃度分布：擴散源不隨時間變化穩(wěn)定濃度分布：擴散源不隨時間變化穩(wěn)定溫度分布：熱源不隨時間變化穩(wěn)定溫度分布：熱源不隨時間變化1( )uf x

33、（PoissonPoisson方程）方程）無源：無源：0u（LaplaceLaplace方程方程/ /調(diào)和方程）調(diào)和方程）位勢理論（引力場、靜電場）位勢理論（引力場、靜電場）引力場引力場萬有引力定律：萬有引力定律：3( , , )Mx y zr Fr000(,),xx yy zzrrr引力位勢引力位勢( , , ):Mx y zr F 上連續(xù)分布（密度上連續(xù)分布（密度 ）的質(zhì)量產(chǎn)生的引力場的位勢）的質(zhì)量產(chǎn)生的引力場的位勢()( )dPP PPPVr在在 外：外：0在在 內(nèi)：內(nèi)： （ 滿足一定的正則性條件）滿足一定的正則性條件）4靜電場靜電場CoulombCoulomb定律：定律：03014(

34、, , ),qqx y zkkrFr000(,),xx yy zzrrr( , , ):,:x y z E0/ GaussGauss定理：定理：01ddSVE n0div/, E無旋：無旋： 電勢電勢無源：無源：0不可壓縮流體的無旋定常運動不可壓縮流體的無旋定常運動質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒方程 div( , , , )vF x y z tt:v不可壓縮：不可壓縮：const無旋流體：無旋流體：密度密度 速度速度, s.t., ,v 速度勢速度勢:定常：定常： 均與時間均與時間 無關(guān)無關(guān)( , , , )div( , , , )F x y z tvf x y z t, ,f vt( , , )f x

35、 y z無源：無源：0布朗運動布朗運動12010,CCuuu2C1C假設(shè)：質(zhì)點運動到邊界上即終止假設(shè)：質(zhì)點運動到邊界上即終止( , , ):u x y z以以 為起點運動為起點運動, ,終止在終止在 上的概率上的概率( , , )x y z1C2.2.定解問題：邊值問題定解問題：邊值問題邊界條件：邊界條件：nR, ,有界有界, ,in. . on ufBC第一類第一類( (DirichletDirichlet):):|ug第二類第二類( (NeumannNeumann):):|ugn第三類第三類( (RobinRobin):):)(|0gunu:n的單位外法線方向的單位外法線方向. .A. A

36、. 內(nèi)問題內(nèi)問題A. A. 內(nèi)問題內(nèi)問題B. B. 外問題外問題in R . . on nufBCB. B. 外問題外問題11,uur10,lnuur2221010()|rurxyu22231011()rurxyzu021與外問題類似與外問題類似C. C. 無界區(qū)域的邊值問題無界區(qū)域的邊值問題D. D. 等值面邊值問題等值面邊值問題人口模型追趕問題交通流模型流體力學(xué)方程組與聲學(xué)方程組電動力學(xué)Maxwell方程組2.42.4 一階方程（組）的例子一階方程（組）的例子1.1.人口模型人口模型 : ),( xtp人口在時刻人口在時刻 按年齡按年齡 的分布密度的分布密度, 即即tx時刻時刻 年齡在年齡

37、在 的人口數(shù)的人口數(shù)=t,dxxxdxxtp),(時刻時刻 的人口總數(shù)的人口總數(shù)=t0dxxtp),(不考慮死亡因素不考慮死亡因素:dxdtxtpdxxdttp),(),(, )( , )( ,)( , )p tdt xp t xp t xdtp t xdtdt0:dt pptx 0pptx考慮死亡因素考慮死亡因素:死亡率死亡率, : )(xd即年齡在即年齡在 中的人口在中的人口在,dxxx,dttt時段中的死亡數(shù)為時段中的死亡數(shù)為dxdtxtpxd),()(dxdtdtxtpdtxddxdtxtpdxxdttp),()(),(),(),()(),(),(),(),(dtxtpdtxddtxt

38、pdtxtpdtxtpxdttp:0dt),()(xtpxdxptp),()(xtpxdxptp定解條件定解條件初始條件初始條件)(:xppt00初始人口分布密度初始人口分布密度邊界條件邊界條件00dyytpybpx),()(:出生的嬰兒數(shù)出生的嬰兒數(shù)出生率出生率, : )(xb即年齡在即年齡在 中的人口在中的人口在,dxxx,dttt時段中出生的嬰兒數(shù)為時段中出生的嬰兒數(shù)為 , 因此因此 dxdtxtpxb),()(,dttt時段中出生的嬰兒總數(shù)時段中出生的嬰兒總數(shù)=, dt0=年齡在年齡在 中的人數(shù)中的人數(shù)dtdyytpyb0),()(dttp),( 02.2.追趕問題追趕問題 各種不同身

39、高的人在一直線各種不同身高的人在一直線(設(shè)為設(shè)為 軸軸)上前進上前進假設(shè)人的數(shù)目較多假設(shè)人的數(shù)目較多,從而可以采用連續(xù)模型從而可以采用連續(xù)模型 時刻時刻 處的人的身高處的人的身高所有人以同一常速度所有人以同一常速度 沿沿 軸正方向運動軸正方向運動:ax在任意直線在任意直線 上上, 取常數(shù)值取常數(shù)值(對應(yīng)于同一人對應(yīng)于同一人), 即即: ),( xthtxconstatxhconsttxth)(,(0dtdxxhthdtdh0 xhath)(),(atxfxthx速度速度 : ),( xtaa )(),(0 xxtadtdx每個人的運動規(guī)律每個人的運動規(guī)律: )(txx 同樣有同樣有constt

40、xth)(,(0 xhxtath),(速度速度 與身高有關(guān)與身高有關(guān) : a如如),( xtha 0 xhhth(Burgers方程方程)一階擬線性方程一階擬線性方程更一般地：更一般地： ( ( , )aa h t x0( )hha htx3.3.交通流模型交通流模型 高速公路上行使的交通車輛的流動問題高速公路上行使的交通車輛的流動問題 軸正方向表示車輛前進的方向軸正方向表示車輛前進的方向x: ),( xtu時刻時刻 車輛按車輛按 方向分布的密度方向分布的密度(單位長度的車輛數(shù)目單位長度的車輛數(shù)目)xt: ),( xtq車輛通過車輛通過 點的流通率點的流通率(單位時間流過的車輛數(shù)目單位時間流過

41、的車輛數(shù)目)x即即, 時刻時刻 在在 中的車輛數(shù)中的車輛數(shù)=,dxxxtdxxtu),( 中在中在 內(nèi)增加的車輛數(shù)內(nèi)增加的車輛數(shù) = x,dtttdtxtq),(車輛數(shù)守恒車輛數(shù)守恒:,dttt,dxxx即即, 在時段在時段 中通過中通過 點的車輛數(shù)目點的車輛數(shù)目=x,dttt 中通過中通過 點的車輛數(shù)點的車輛數(shù) -dxx 通過通過 點的車輛數(shù)點的車輛數(shù)dtdxxtqdtxtqdxxtudxxdttu),(),(),(),(:,0dtdx0 xqtu)(uqq 結(jié)構(gòu)方程結(jié)構(gòu)方程, 如如)()/(jjfuuuuuaq1(Greenshield模型模型)(守恒律方程守恒律方程)4.4.流體力學(xué)方程

42、組與聲學(xué)方程組流體力學(xué)方程組與聲學(xué)方程組 220011022divdivdivtttpeueupuuuuIu：密度：內(nèi)能：壓強：速度upeu u一維：2220011022txtxtxuupeueup uu可壓流體Euler方程組（無粘性、熱傳導(dǎo)）一階擬線性方程組聲學(xué)方程組：氣體的微小振動000ppp在等熵方程組中忽略速度、速度梯度、密度梯度的高階項00000divttpuu20tta20ttvav,:vv u0ap聲速速度勢一階線性方程組不可壓粘性流體的Navier-Stokes方程組310divkkkuptx uuufu粘性流體力學(xué)方程組2201122divdivdivttteueuuk T

43、uuuuPfuPdivf u23divdivjiijijijijjiuuppxx uu不可壓：1二階擬線性方程組5.5.電動力學(xué)電動力學(xué)MaxwellMaxwell方程組方程組 真空中的Maxwell方程組0000div/rotdivrottt EBEBEBj0divtj各向同性媒質(zhì)中的Maxwell方程組0divrotdivrotfftt DBEBDHj0divfftj電荷守恒律方程2.52.5 其他方程的例子其他方程的例子3 二階線性偏微分方程簡介二階線性偏微分方程簡介3.13.1 兩個自變量情形的分類與化簡兩個自變量情形的分類與化簡3.23.2 進一步化簡進一步化簡3.33.3 詳細分類

44、詳細分類3.43.4 多個自變量情形的分類多個自變量情形的分類3.3.5 5 特征理論特征理論3.1 兩個自變量情形的分類與化簡兩個自變量情形的分類與化簡021222212211aaafcjibajij均為連續(xù)可微函數(shù)其中,),(,)(:)(:)(:EllipticParabolicHyperbolicaaa橢圓型拋物型雙曲型判別式0002211212: ),(yxuu fcuububuauauaLuyxyyxyxx212212112例如：例如：雙曲型,)(01110橢圓型, 01110)(熱傳導(dǎo)方程0 xxtuu)(弦振動方程0 xxttuu: ),( xtuu 拋物型,)(0100)(調(diào)和

45、方程0yyxxuu: ),(yxuu 化簡化簡-各類方程的標(biāo)準型各類方程的標(biāo)準型 目標(biāo)目標(biāo): : 通過自變量變換通過自變量變換, ,使方程的形式簡化使方程的形式簡化, ,有時甚至可以求出其通解有時甚至可以求出其通解自變量變換自變量變換),(),(yxyx可逆可逆: :0yxyxyxJ),(),(至少在某個至少在某個),(00yx的某個鄰域內(nèi)可逆變換在),(00yx),(),(yyxx),(),(),(),(),(),(yxyxuuyxuyxu在不引起誤解的情況下仍然用在不引起誤解的情況下仍然用 , , 而不用而不用uuyyyyyyyyyyxyxyyxxyyxyxxyxxxxxxxxxxyyyx

46、xxuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu222222)(:221211212aaabbcfucububuauaua212212112222122112222121112222122111122yyxxyyxyyxxxyyxxaaaaaaaaaaaa)(ffccbbaaabbbaaabyxyyxyxxyxyyxyxx21221211221221211122方程類型不變方程類型不變: :2J注意注意: : 零，需求解方程形式相同，要使它們?yōu)榕c2211aa)(0222212211yyxxaaa或或或或022212211aaayxyx022221211xyxyaaa0202222121

47、12212211dydxadydxaaadxdyadxdya或或分曲線：是下面常微分方程的積則的特解，且是方程若引理：Cyxyxyx),(,)(),(022)(0222212211dxadxdyadya反之亦然。反之亦然。（稱（稱（* * *）為）為特征方程特征方程，其積分曲線為，其積分曲線為特征線特征線）下面以常系數(shù)情形為例下面以常系數(shù)情形為例),(為常數(shù)cbaiij根特征方程有兩個相異實雙曲 : )()(01時：011a,2111211112aadxdyaadxdy特征線為直線：特征線為直線：,2211CxyCxyxyxy2102211aa時：011a特征線為直線：特征線為直線：,2221

48、212CyaaxCx02211aayaaxx22122這樣可以得到雙曲型方程的第一標(biāo)準型：這樣可以得到雙曲型方程的第一標(biāo)準型：1111DuCuBuAu若再令若再令sr則有則有ssrrsrsruuuuuuuuu這樣可以得到雙曲型方程的第二標(biāo)準型：這樣可以得到雙曲型方程的第二標(biāo)準型：1111DuCuBuAuusrssrr例例1特征方程只有一個實根拋物 : )()(02時：011a時：011a012 a,111221aa特征線為直線：特征線為直線：Cxy1xy1011a)(02211212aaa),(yxxy101211aa這樣可以得到拋物型方程的標(biāo)準型：這樣可以得到拋物型方程的標(biāo)準型：2222Du

49、CuBuAu012 a例例2特征方程沒有實根橢圓 : )()(03)(02211212aaa02211aa ,ibaaiaa11111221,xibayxibay)()(引入實變量：引入實變量：bxisaxyr2200122211aaa,這樣可以得到橢圓型方程的標(biāo)準型：這樣可以得到橢圓型方程的標(biāo)準型：3333DuCuBuAuusrssrr例例3例例1 1254yxyyxyxxuuuuu04252雙曲：05422dxdxdydy04)(dxdydxdy特征線特征線214CxyCxy,xyxy4uuuuuuyx4,uuuuuuuuuuuuyyxyxx816542239uu9231uu還可以求出通解

50、：還可以求出通解：uv9231vv3392eve3132efvu)()()(gefu332)()()(),(xygexyfxyyxuxy34432)(13332feve例例2 2yyyxyxxeuuu440422拋物：04422dxdxdydy特征線特征線Cxy 2022)(dxdyyxy2eu41)()(gfeu41)()(),(xygyxyfeyxuy2241例例3 30 xyyxyxxuuuu01221橢圓：022dxdxdydyxxy232uuuu3232232121i,幾個變系數(shù)的例子幾個變系數(shù)的例子例例4 4022yyxxuxuy022yx除坐標(biāo)軸外雙曲：02222dxxdyy0)

51、(xdxydyxdxydy特征線特征線22212221212121CxyCxy,222222xyxyyuyuuxuxuuyx,uuuyuyuyuuuuxuxuxuyyxx22222222)()()(uuu222222例例5 502222yxyyxyxxuyxyuuyxyuux0222yxxy)(拋物：022222dxyxydxdydyx02)(ydxxdy特征線特征線Cxyyxyuuydxxdy xdxydyCxylnlnCxy )()(),(xygxyfeyxuy例例6 602yyxxuxu02xy軸外橢圓：除0222dxxdy22xy)(021uuu22xdxdyixdxdy221222C

52、xiyCxiy,221222CixyCixy,例例7 7)(Tricomiuyuyyxx0022dxydy)()(uuu61:0y0dyyidxCyix23322332yxuuu31:0y0dyydxCyx2332)(23233232)()(yxyxy 上半平面橢圓上半平面橢圓下半平面雙曲下半平面雙曲橫軸上拋物橫軸上拋物3.2 3.2 進一步化簡進一步化簡三類標(biāo)準型：三類標(biāo)準型：3333DuCuBuAuusrssrr2222DuCuBuAusrss1111DuCuBuAuusrssrr1111DuCuBuAusrrs雙曲雙曲拋物拋物橢圓橢圓（1）（1*）（2）（3）目標(biāo)：引入未知函數(shù)變換來消去

53、一階項（以常系數(shù)情形為例）目標(biāo)：引入未知函數(shù)變換來消去一階項（以常系數(shù)情形為例）),()(為待定常數(shù)bauevbsarbsarveubsarssbsarrrebvvueavvu)(,)(bsarsssssbsarrsrsrsbsarrrrrrevbbvvueabvbvavvuevaavvu)(,)(,)(22221111DuCuBuAusrrs以以（1 1）為例為例)()()()(bsarsrrseDvCabbBaAvaBvbAv11111111BaAb,)(sArBuev11111111FvEeDvCBAvbsarrs)()(11FvEvrs雙曲型和橢圓型方程可進一步化簡為標(biāo)準型：雙曲型和橢

54、圓型方程可進一步化簡為標(biāo)準型：11FvEvvssrr33FvEvvssrr雙曲雙曲橢圓橢圓3.3 3.3 詳細分類詳細分類（考察整個求解區(qū)域（考察整個求解區(qū)域 ）1. 1. 雙曲型：雙曲型：2. 2. 拋物型：拋物型：3. 3. 橢圓型：橢圓型：4. 4. 混合型：混合型：5. 5. 退化雙曲型：退化雙曲型：6. 6. 退化橢圓型：退化橢圓型：),(,yx0),(,yx0),(,yx00yyxxuu0yyxuu0yyxxuu)0(,),0(),(分界線上拋物由連續(xù)性一部分區(qū)域橢圓一部分區(qū)域雙曲00yyxxuyu)0(),(其余部分拋物一部分區(qū)域雙曲00yyxxuuy2)0(),(其余部分拋物一

55、部分區(qū)域橢圓00yyxxuuy23.4 3.4 多個自變量的二階線性偏微分方程的分類多個自變量的二階線性偏微分方程的分類Recall: Recall: 兩個自變量的情形兩個自變量的情形22121211aaaaA特征值特征值21,212221121aaaA異號與雙曲2:100:2中有一個為與拋物10同號與橢圓2:10多個自變量的情形多個自變量的情形fcuubuaLunjxjnjixxijjji11, nnnijaA，的特征值為21jiijnjiijaaa,012幾種類型（不包含所有）：幾種類型（不包含所有）：),(處考慮在某點00201nxxx1. 1. 雙曲型：雙曲型：2. 2. 拋物型：拋物

56、型：3. 3. 橢圓型：橢圓型：4. 4. 超雙曲型超雙曲型 ：5. 5. 超拋物型：超拋物型：同號，另一個異號，其中均不為11nn0,2，且同號均不為0,2n1，其余同號中有一個為0,2n1不少于兩個負號，且不少于兩個正號，均不為0,2n1)(4n，其余同號中有一個不止為0,2n1 注：對矩陣注：對矩陣 或二次型或二次型 而言：而言：AnjijiijaQ1,)(雙曲：雙曲：拋物：拋物：橢圓：橢圓：)(另一個必異號個特征值同號非退化，且1n，其余同號且特征值只有一個為退化0,正定或負定例例1 1022222212nxuxuxuu,11A121n22221nQ)(橢圓橢圓例例2 22222221

57、22222nxuxuxuauatu,221aaA012210an,)()(22221220naQ雙曲雙曲例例3 32222221222nxuxuxuauatu,220aaA002210an,)()(222212naQ拋物拋物例例4 4242232222212xuxuxuxu,1111A114321,24232221)(Q超雙曲超雙曲例例5 5)(122212222mnxuxuxuatunmm,2200aaA0021110anmmm,)()(22122nmmaQ超拋物超拋物3.5 3.5 特征理論特征理論2220110010,() ,:,ttxxtua uxxutxu一個例子：一個例子：初值連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)初值連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)在二階導(dǎo)數(shù)在 間斷間斷1x 221101() ,( , ),xatxatu x txat連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，連續(xù)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，二階導(dǎo)數(shù)在二階導(dǎo)數(shù)在 間斷（間斷（弱間斷弱間斷）1xat 11xt特征線特征線constxat弱間斷解的概念弱間斷解的概念0( , ,.,)( )NF x u