不動點(diǎn)法求數(shù)列的通項(講座)

1、不動點(diǎn)法求數(shù)列的通項惠來縣第一中學(xué) 方文湃自從實施新課程標(biāo)準(zhǔn)，使用新教材以來，高考題中出現(xiàn)了數(shù)列的解答題的次數(shù)好象不少。如2007年普通高考廣東數(shù)學(xué)理科卷壓軸題第21題 、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題 ，這兩道題都是已知數(shù)列的遞推式，求它的的通項公式，并且求法都與“不動點(diǎn)”有關(guān)。記函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在D，使f()成立，則稱（，）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f(x)圖象上的不動點(diǎn)。以此類推，在數(shù)列an中，an+1=f(an)(nN+)，若存在滿足方程f()，稱為不動點(diǎn)方程f()的根。下面介紹的一些數(shù)列，可先求生成函數(shù)（遞推式）的不動點(diǎn)，通過換元后，化為等差、等比數(shù)

2、列，再求這些數(shù)列的通項，這一方法，我們不妨稱為不動點(diǎn)法。一、遞推式為an+1=aan+b(a 0,a 1,a,b均為常數(shù))型的數(shù)列由遞推式an+1=aan+b總可變形為an+1=a（an）（）（） 式中的與系數(shù)a,b 存在怎樣的關(guān)系呢？由（）得an+1=aanab=a即a+b（）關(guān)于的方程（）剛好是遞推式an+1=aan+b中的an，an+1都換成得到的不動點(diǎn)方程。令bn=an代入（）得bn+1=abn一般來說，可先求等比數(shù)列bn的通項，再求數(shù)列an的通項。例：在數(shù)列an中，已知a1=1,an+1=1an (nN+),求a。解：令x=1x得x=an+1=1an= (an)令bn=an，則bn+

3、1=bn數(shù)列bn成首項為b1=a1=1=，公比為q的等比數(shù)列，于是有推薦精選bn=()n1即an()n1an=1()na=限于篇幅，求這種類型的數(shù)列的通項，其它的解法就不說了。二、遞推式為an+1=（c 0,a,b,c,d為常數(shù)）型的數(shù)列an+1=令可化得（）關(guān)于的方程（）剛好是遞推式an+1=中的an，an+1都換成后的不動點(diǎn)方程。當(dāng)方程（）有兩個不同根，時，有an+1an+1令bn=有bnbn一般來說，可先求等比數(shù)列bn的通項，后求數(shù)列an的通項。例：數(shù)列an由a=2，an+1=（n1）給出，求a。推薦精選解：令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有an+1- 1 =an+1+1 =&#

4、183;設(shè)bn=,則bn+1 =bn這樣數(shù)列bn成首項為b1 =,公比為的等比數(shù)列, 于是bn =·,由bn=得an=a=1當(dāng)方程（）出現(xiàn)重根同為時，由an+1得設(shè)cn=得cncn即數(shù)列cn的遞推式總可化為“cnacn+b（a，b為常數(shù)）型”，又一次運(yùn)用不動點(diǎn)法求得數(shù)列cn的通項，從而求數(shù)列an的通項。例:在數(shù)列an中，an=1, a= (n=1,2)。求a。解：令x=,得x1=x2=0推薦精選設(shè)bn=,則由a=可得b=bn+bn成為首項為1,公差為的等差數(shù)列,于是 b=1+a=需要指出的是，上述方法同樣適用于方程（）兩根不同的情形。對例，可設(shè)cn=（或cn=），我們運(yùn)用上述方法來求

5、數(shù)列an的通項。例另解：令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有an+1- 1 =+令bn=，則b1=1，bn+1=2bn+ 令2+得bn+1+=2bn+ +=2(bn+ )bn + 成首項為b1+= ，公比為的等比數(shù)列，于是有bn+ =×2n-1bn=×2n-1-= (3×2n-1-1)代入bn=得an=1+=1+=1+a=1小結(jié)解法：推薦精選一般地，設(shè)，是關(guān)于的方程的兩個根，對遞推式為（為常數(shù)）型的數(shù)列，可以有以下兩種方法來求其通項：解法一：設(shè)cn=（或）得cncn，即 的遞推式為（為常數(shù)）型的數(shù)列；求的通項，再求的通項。解法二: 設(shè)，證數(shù)列bn成首項為b1

6、 =的等比數(shù)列；求的通項，再求的通項。當(dāng)方程有重根時，解法二無法進(jìn)行。以下是2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)廣東卷理科第20題第（1）小題的不同解法：20.（本小題共14分）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項公式；解法一：（1）由設(shè)，則有當(dāng)時，當(dāng)時，有推薦精選數(shù)列為首項為 ，公比為的等比數(shù)列 即 綜上得 解法二: 由設(shè)，則有令，得由得得是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是 解得推薦精選即 *關(guān)于周期數(shù)列：1.已知數(shù)列中，則= 2.已知數(shù)列中，則= 3.已知數(shù)列中，則= 4.數(shù)列中，求這個數(shù)列的通項公式，并計算的值。因為以上數(shù)列的遞推式其對應(yīng)的函數(shù)f(x)都是周期函數(shù)（

7、，為常數(shù)）：(1)，則的周期T=2a；(2)，則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4) ，則的周期T=4a；故以上數(shù)列數(shù)列均為周期數(shù)列，這幾道題目的按周期數(shù)列去做更方便。三、遞推式為an+1=(b,d為常數(shù))型的數(shù)列先看2007年普通高考廣東數(shù)學(xué)理科卷壓軸題第21題：已知函數(shù)f (x)=x2+x1, ,是方程f(x)的兩個根（>）,f/推薦精選（x）是f (x)的導(dǎo)數(shù)，a1 =1,an+1=an (n=1,2)(1) 求,的值;(2) 證明:對任意的正整數(shù)n,都有an >(3) 記b n =ln(n=1,2), 求數(shù)列bn的前n項和sn 。這道題第(3)小題可以按如下來求

8、b n:an+1= = ()同理an+1 = ()()÷()得: = 于是得ln=2 ln設(shè)bn= ln,則bn+1=2bn，故數(shù)列bn成首項為b1=ln=4ln，公比為2的等比數(shù)列,故b n=2n+1 ln。當(dāng)然由bn=2ln 可求a n 。方程f (x)=x2+x1=0的兩根,與遞推式an+1=an =有何關(guān)系呢?仔細(xì)推敲,方程x2+x1=0正好是不動點(diǎn)方程x=的變形，,也是不動點(diǎn)方程x=推薦精選的兩根。是不是所有遞推式形如“an+1 =”的數(shù)列都可用上述換元方法求an通項呢？下面舉一反例給予否定。例如：對an+1= (n=1,2)，令 x= 解得 x1=1, x2= -an+1

9、 1= 1 = 顯然 an2 3an+2( an 1)2 。當(dāng)系數(shù)a,b,c,d怎樣時，才可運(yùn)用上述換元方法求呢？an+1- =令an2 + (a c) an + (b d) = ( an )2 =由恒等式得： 把()式中改為x得: x2 + d x b =0 ()方程（）正好是當(dāng)a=0,c=2時遞推式“an+1=”的不動點(diǎn)方程x= 的變形。所以,對已知初始值a1(或數(shù)列an的某一項),遞推式為an+1=（b,d為常數(shù)，n為正整數(shù)）的數(shù)列an，設(shè),是不動點(diǎn)方程x= 的兩根,可按下列方法求數(shù)列an的通項：當(dāng)a1=或，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列，an=或；推薦精選當(dāng)a1且a1，若，設(shè)bn=ln| , 證bn為等比數(shù)列，后求an ；當(dāng)a1=時，由不動點(diǎn)方程x= 得 x2 + d x b =0 = d2+4b=0， b = 此時 an+1= ， an+1+先求等比數(shù)列bn = an + 的通項，后求an 。 例4： 設(shè)a>2,給定數(shù)列xn其中x1=a，xn+1 = ,求證：當(dāng)n充分大