二隨機(jī)變量-謝娟

1、第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù).),(,)(, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量稱之為稱之為上的單值函數(shù)上的單值函數(shù)得到一個定義在得到一個定義在這樣就這樣就與之對應(yīng)與之對應(yīng)有一個實(shí)數(shù)有一個實(shí)數(shù)中每一個元素中每一個元素如果對如果對空間為空間為是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本設(shè)設(shè)eXXeXeE 定義定義1:)(xXPxF 稱為隨機(jī)變量稱為隨

2、機(jī)變量X的分布的分布函數(shù)。函數(shù)。定義定義2:設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 ，有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是右右連連續(xù)續(xù)的的。即即對對任任意意且且是是一一個個單單調(diào)調(diào)不不減減函函數(shù)數(shù)；xxFxFxFxFxFxx)3(; 1lim, 0lim, 10)2()1( xFxF 0:分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1： 口袋里裝有口袋里裝有3個白球個白球2個紅球，從中任取三個球，個紅球，從中任取三個球，求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)解：解： 設(shè)設(shè)X表示取出的表示取出的3個球中的

3、白球數(shù)。個球中的白球數(shù)。X的可能的可能取值為取值為1，2，3。而且由古典概率可算得。而且由古典概率可算得3 . 0/1351322 CCCXP6 . 0/2352312 CCCXP1 . 0/33533 CCXP 0 xXPxF 3 . 01 XPxXPxF是是不不可可能能事事件件，因因而而時時當(dāng)當(dāng)1xXx ，因因而而時時，當(dāng)當(dāng)121 XxXx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 9 . 021 XPXPxXPxF因因而而且且時時當(dāng)當(dāng),21,21 ,32 XXXXxXx為一必然事件，因而為一必然事件，因而時，時，當(dāng)當(dāng)3xXx 1 xF于是，于是，X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： 31329 . 02

4、13 . 010 xxxxxF上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 例例2: 考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間0，1上任取一點(diǎn)，記錄它上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)的坐標(biāo)X。那么那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為X取到取到0，1上任一點(diǎn)的可能性相同。求上任一點(diǎn)的可能性相同。求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)x0時時 0 xF時時當(dāng)當(dāng)10 x xxXPxXPxF 0時時當(dāng)當(dāng)1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由幾何概率的計(jì)算不難求出由幾何概率的計(jì)算不難求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回

5、.21概概率率還還能能算算出出其其它它各各事事件件的的的的概概率率，計(jì)計(jì)算算事事件件利利用用分分布布函函數(shù)數(shù)，不不僅僅能能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個或可列無如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個或可列無限多個，則稱這種隨機(jī)變量為限多個，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量。,.2 , 1 kpxXPkk 設(shè)離

6、散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為xk (k=1,2,),事事件件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為pk ,即即稱為稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為區(qū)間區(qū)間落入落入離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量為實(shí)軸上一區(qū)間，那么為實(shí)軸上一區(qū)間，那么設(shè)設(shè)IXI IxiipIXP的的分分布布函函數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算公公式式量量由由此此可可得得離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變X xxiipxXPxF 。跳躍的高度為跳躍的高度為處的處的在在的第一類間斷點(diǎn)，而且的第一類間斷點(diǎn)，而且是是，值值的可能的可能，的分布函數(shù)是階梯函數(shù)的分布函數(shù)是階梯

7、函數(shù)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量iipxxFxFxxXX21分布律的兩條分布律的兩條基本性質(zhì)基本性質(zhì)： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回的分布律為的分布律為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量例例X:3（）確定常數(shù)（）確定常數(shù)a的值的值;（）求（）求的分布函數(shù)的分布函數(shù)因此因此61 aa 31211解：（）由分布律的性質(zhì)知解：（）由分布律的性質(zhì)知機(jī)變量的分布情況。機(jī)變量的分布情況。隨隨布函數(shù)都能描述離散型布函數(shù)都能描述離散型分布律。用分布律和分分布律。用分布律和分的的的分布函數(shù)，也能確定的分布函數(shù)，也能確定已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量XX p31a21上

8、一頁上一頁下一頁下一頁返回返回（2 2）由分布函數(shù)計(jì)算公式易得的分布函數(shù)為：）由分布函數(shù)計(jì)算公式易得的分布函數(shù)為： 0 01 0125 126 1 2xxF xxx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 若在一次試驗(yàn)中若在一次試驗(yàn)中X只可能取只可能取x1 或或x2 兩值兩值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是則稱則稱X服從兩點(diǎn)分布。服從兩點(diǎn)分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 當(dāng)規(guī)定當(dāng)規(guī)定x1=0,x2=1時兩點(diǎn)分布稱為（時兩點(diǎn)分布稱為（01）分布。）分布。簡記為簡記為X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 , 1 , 0)

9、1(nkppCkXPknkkn 若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布其中其中0p0是一常數(shù)，是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，設(shè)是任意整數(shù)，設(shè)npn=，則則對任意一固定的非負(fù)整數(shù)對任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(時時，當(dāng)當(dāng)對對于于固固定定的的 nk證明證明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回定理的條件定理的條件npn=，意味著意味著n很大時候很大時候pn必定很小。必定很小。因此

10、當(dāng)因此當(dāng)n很大，很大，p很小時有近似公式很小時有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) 時用時用 （=np）作為作為 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而當(dāng)而當(dāng) 時效果更佳。時效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim從而從而上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例5： 有同類設(shè)備有同類設(shè)備300臺，各臺工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已臺，各臺工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率為知每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺設(shè)備發(fā)生

11、故，若一臺設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，滿足上式最小的查表可知，滿足上式最小的N是是8。至少需配備至少需配備8個工人才能滿足要求。個工人才能滿足要求。 解：解： 設(shè)設(shè)X表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)，依題意知表示同一時刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)，依題意知X(300,0.01)，若配備若配備N位維修人員，所需解決的問題是位維修人員，所需解決的問題

12、是確定最小的確定最小的N，使得：使得：PXN0為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，記的泊松分布，記為為X ( )。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回應(yīng)用：應(yīng)用：一本書一頁中的印刷錯誤；一本書一頁中的印刷錯誤；某地區(qū)一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)；某地區(qū)一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)；某醫(yī)院在一天中的急診病人數(shù)；某醫(yī)院在一天中的急診病人數(shù)；某地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)。某地區(qū)一個時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)。第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)隨機(jī)變量及其分布連續(xù)隨機(jī)變量及其分布0)()1( xf 1)()2(dxxf 21)()3(21xxdxxfxXxP（4）若）若x為為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有的

13、連續(xù)點(diǎn)，則有 xfxF 概率密度概率密度f(x)具有以下具有以下性質(zhì)性質(zhì)：定義定義3: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)若存在非負(fù)函數(shù)函數(shù)f(t),使得對于任意實(shí)數(shù)使得對于任意實(shí)數(shù)x，有有 xdttfxF)(則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(t)為為X的概率密度函數(shù)，的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或分布密度。簡稱概率密度或分布密度。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回由性質(zhì)（由性質(zhì)（2）知：）知：介于曲線介于曲線y=f(x)與與Ox軸之間的面積等于軸之間的面積等于1（見圖（見圖1）。）。由性質(zhì)（由性質(zhì)（3）知：）知： X落在區(qū)間（落在區(qū)間（x1,

14、x2）的概率等于區(qū)間（的概率等于區(qū)間（x1,x2）上曲線上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積（見圖之下的曲邊梯形的面積（見圖2）。）。由性質(zhì)（由性質(zhì)（4）知：）知：若已知連續(xù)型隨機(jī)變量若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)求導(dǎo)得概率密求導(dǎo)得概率密度度f(x)。)(xfxO1圖圖)(xfxO1x2x圖圖上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(1)若若X為具有概率密度為具有概率密度f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量。的連續(xù)型隨機(jī)變量。則有則有 xxxdxxfxxxxXxP00)(100如果如果x0為為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有的連續(xù)點(diǎn)，有 )(lim0000 xfxxxXxPx f(x)在在x0處的函數(shù)值

15、處的函數(shù)值f(x0)反映了概率在反映了概率在x0點(diǎn)處的點(diǎn)處的“密密集程度集程度”，而不表示，而不表示X在在x0處的概率。設(shè)想一條極細(xì)處的概率。設(shè)想一條極細(xì)的無窮長的金屬桿，總質(zhì)量為的無窮長的金屬桿，總質(zhì)量為1，概率密度相當(dāng)于各，概率密度相當(dāng)于各點(diǎn)的質(zhì)量密度。點(diǎn)的質(zhì)量密度。 00 aFaFaXP aXP （2）若）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由定義知為連續(xù)型隨機(jī)變量，由定義知X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。為連續(xù)函數(shù)（注意：反之不然）。X取一個點(diǎn)取一個點(diǎn)a的的概率概率 為零，事實(shí)上為零，事實(shí)上 兩點(diǎn)說明兩點(diǎn)說明在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率時，

16、可落在某一區(qū)間的概率時，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間，即有間，即有 badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)(事件事件X=a 并非不可能事件并非不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為零的事件不一定是不可能事件；概率為概率為1的事件不一定是必然事件。的事件不一定是必然事件。 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回求：（求：（1）常數(shù)）常數(shù)a；（；（2） （3）X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F（x） 40P X（1）由概率密度的性質(zhì)可知）由概率密度的性質(zhì)可知 222cos)(1 axdxadxxf所以所以 a1/2 42cos21

17、)(40)2(4400 xdxdxxfXP 其其他他20cos)( xxaxf例例1：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度 解：解：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回22221)sin1(210)( xxxxxFX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是 xdttfxF)()(31cos212 xdxF(x)x22-時 當(dāng)當(dāng)0)(2 xFx時時當(dāng)當(dāng) )sin1(21cos21)(222xxdxxFxx 時時當(dāng)當(dāng)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回其他其他bxaabxf 01)(則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為上服從均勻分布，記為XU(a,b)，bxbxaaxabaxxF 10

18、)(均勻分布均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)與分布函數(shù)F(x)的圖形可用圖示的圖形可用圖示abO xfabO xF1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx為常數(shù)則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。0001)( xxexFx 指數(shù)分布指數(shù)分布X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回f(x)和和F(x)可用圖形表示可用圖形表示)

19、(xfxO )(xfxO1上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回利用利用 可以證明可以證明 ，,222 dxex 1)(dxxf正態(tài)分布正態(tài)分布 dxedxxfx 22221)( 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)為常數(shù)為常數(shù),則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分的正態(tài)分布或高斯分布布或高斯分布,記為記為XN( , 2).X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexFxt 222)(21)( 則則令令tx 122121)(22 dtedxxft上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回（1） 最大值在最大值在x=處，最大值為處，最大值為 ; 2

20、1（3）曲線）曲線y=f(x)在在 處有拐點(diǎn)；處有拐點(diǎn)； x正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的幾何特征：的幾何特征： hXPXhP （2） 曲線曲線y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x= 對稱，于是對于任對稱，于是對于任意意h0，有有x（4）當(dāng)）當(dāng) 時，曲線時，曲線y=f(x)以以x軸為漸近線軸為漸近線 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回當(dāng)當(dāng) 固定，改變固定，改變 的值，的值，y=f(x)的圖形沿的圖形沿Ox軸平移而不軸平移而不改變形狀，故改變形狀，故 又稱為位置參數(shù)。若又稱為位置參數(shù)。若 固定，改變固定，改變 的的值，值，y=f(x)的圖形的形狀隨的圖形的形狀隨 的增大而變得平坦。的增大

21、而變得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。)(xfxO )(xfxO1h h 1 5 . 0 1 2 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回參數(shù)參數(shù) =0， =1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為XN(0,1)。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的圖形如圖所示。的圖形如圖所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回由正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性易知由正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性易知 )(

22、1)(xx 一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)一般的正態(tài)分布，其分布函數(shù)F(x)可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表達(dá)。若的分布函數(shù)表達(dá)。若X , X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)為為),(2 NdtexFxt 222)(21)( 則則令令st )(21)(22 xdsexFxs因此，對于任意的實(shí)數(shù)因此，對于任意的實(shí)數(shù)a,b(ab)，有有 abaFbFbXaP)()()(x 函數(shù)函數(shù) 寫不出它的解析表達(dá)式，人們已編制了它寫不出它的解析表達(dá)式，人們已編制了它的函數(shù)表，可供查用。的函數(shù)表，可供查用。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例2： 設(shè)設(shè)X(0,1),求求P1X2,P .54.1 X 1359

23、. 08413. 09772. 0)1()2(21: XP解解 8764. 019382. 021)54. 1(2)54. 1()54. 1(54. 154. 154. 1 XPXP例例3： 某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于使用壽命不低于1000小時即可。現(xiàn)有甲乙兩廠的電子小時即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布分布N(1100,502), 乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布正態(tài)分布N(1150,802)。問應(yīng)選

24、擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？問應(yīng)選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？小時，又如何？上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回9772. 0)2()2(150110010001100011000 XPXP比較兩個概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品。比較兩個概率的大小就知應(yīng)選甲廠的產(chǎn)品。 解解 ：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和和Y，則則X N(1100,502)，Y N(1150,802).(1)依題意要比較概率依題意要比較概率 的大的大小小,10001000 YPXP和和兩個概率如下：兩個概率如下：9700. 0)875

25、. 1()875. 1(180115010001100011000 YPYP上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1050 110501050 110011( 1)50(1)0.8413P XP X 比較兩個概率的大小就知應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品。比較兩個概率的大小就知應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品。 (2)依題意要比較概率依題意要比較概率 的大小的大小,10501050P XP Y和兩個概率如下：兩個概率如下：1050 110501050 115011( 1.25)80(1.25)0.8944P YP Y 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回第四節(jié)第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，是離散型隨

26、機(jī)變量，Y是是X的函數(shù)的函數(shù)Y=g(X)。那那么么Y也是離散型隨機(jī)變量。也是離散型隨機(jī)變量。 設(shè)設(shè)y=g(x)為一個通常的連續(xù)函數(shù)，為一個通常的連續(xù)函數(shù)，X為定義在概率為定義在概率空間上的隨機(jī)變量，令空間上的隨機(jī)變量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一個定義在也是一個定義在概率空間上的隨機(jī)變量。概率空間上的隨機(jī)變量。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(2) Y=-2X2分布律為分布律為Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1例例1： 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為X -1 0 1 2 3P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-

27、1； (2) Y=-2X2的分布律。的分布律。 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18解：由解：由X的分的分布律可得布律可得由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律為的分布律為Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回對此類問題，先由對此類問題，先由X的取值的取值xk，（，（k=1，2）求出求出Y=g(X)的取值的取值yk=g（xk），（，（k=1，2）；）；本例（本例（2）中，）中，X的兩個取值的兩個取值-1和

28、和1都對應(yīng)都對應(yīng)Y的一個值的一個值-2，這樣：這樣： PY=-2=PX=-1或或X=1 =PX=-1+PX=1 =0.2+0.1=03如果諸如果諸yk各不相同，各不相同，則由則由X的分布律的分布律PX= xk =pk, k=1，2，便可得便可得y的分布律：的分布律：PY= yk =pk, k=1，2。如諸如諸yk中有些值相同，則應(yīng)把相同的值合并并將對應(yīng)中有些值相同，則應(yīng)把相同的值合并并將對應(yīng)的概率加在一起。的概率加在一起。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()()()( 設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度fX(x)。又又Y=

29、g(X)，在大部分情況下在大部分情況下Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量。為也是連續(xù)型隨機(jī)變量。為了求出了求出Y的概率密度的概率密度fY(y)，可以先求出可以先求出Y的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y) yY 由由FY(y)便可求出便可求出Y的概率密度的概率密度fY(y)=FY(y)。計(jì)算的關(guān)鍵計(jì)算的關(guān)鍵是給出上式的積分區(qū)間。即將事件是給出上式的積分區(qū)間。即將事件 轉(zhuǎn)化為用轉(zhuǎn)化為用X表表示的事件示的事件 。其中。其中 。 yIX .)(yxgxIy 這種方法稱之為這種方法稱之為分布函數(shù)法分布函數(shù)法。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例2: 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度其他其他4008)( xxxfX求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y)。 2112)(yXPyXPyYPyFY解解 : 先求出先求出Y的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y) 9911164) 1(0)(221 yyyydxxfyX從而從而Y的概率密度為的概率密度為 其他其他910321)( yyyfY上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3 : 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y)。當(dāng)當(dāng)y0時，時，F(xiàn)Y(y)= PX2y22220( )11222yXyxxyyyPyXyfx d