阿基米德螺線(xiàn)和三等分角

1、阿基米德螺線(xiàn)和三等分角數(shù)學(xué)家對(duì)螺線(xiàn)的探索最早可以追溯到古希臘時(shí)代，阿基米德就在他的著作論螺線(xiàn)中對(duì)等速螺線(xiàn)的性質(zhì)做了詳細(xì)的討論，于是后世的數(shù)學(xué)家們也把等速螺線(xiàn)稱(chēng)為阿基米德螺線(xiàn)”。（最早發(fā)現(xiàn)等角螺線(xiàn)的其實(shí)是阿基米德的老師柯農(nóng)，在他死后阿基米德繼承了他的工作。）什么是阿基米德螺線(xiàn)呢？想象有一根可以繞著一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)桿，有一只小蟲(chóng)沿著桿勻速向外爬去。當(dāng)長(zhǎng)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候小蟲(chóng)畫(huà)岀的軌跡就是阿基米德螺線(xiàn)。阿基米德螺線(xiàn)的方程寫(xiě)成極坐標(biāo)形式就是p = a。阿基米德螺線(xiàn)生活中隨處可見(jiàn)。在早期的留聲機(jī)中，電機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)上的唱片勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿著一條直線(xiàn)軌道 勻速向外圈移動(dòng)的唱頭在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺線(xiàn)。同理，由

2、勻速盤(pán)香機(jī)生產(chǎn)岀來(lái)的盤(pán)狀蚊香 也是阿基米德螺線(xiàn)的形狀。等螺距的螺釘從釘頭方向看去也是阿基米德螺線(xiàn)。就連縫紉機(jī)中也有阿基米德 螺線(xiàn)岀沒(méi)，一般的機(jī)械縫紉機(jī)中有一個(gè)凸輪，手輪旋轉(zhuǎn)的時(shí)候用來(lái)帶動(dòng)縫紉針頭直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這個(gè)凸輪的輪 廓就是把阿基米德螺線(xiàn)的一部分經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)得到的。一個(gè)很有趣的事情是，在阿基米德螺線(xiàn)的配合下，尺規(guī)就能完成三等分一個(gè)任意角9o步驟如下：1、將9角的一邊與極軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn) 0重合2、延長(zhǎng)角的另一邊與阿基米 德螺線(xiàn)交于A3尺規(guī)三等分0A得到三等分點(diǎn)B'、C 4、分別以O(shè)B、0C為 半徑，0為圓心畫(huà)圓交螺線(xiàn)于B、C5根據(jù)p =a9容易證得OB 0C三等分9當(dāng)然，只利用尺規(guī)是無(wú)法

3、畫(huà)岀阿基米德螺線(xiàn)的，所以我們大可不必?fù)?dān)心關(guān)于尺規(guī)三等分任意角不可能的證 明就此被推倒。漸開(kāi)線(xiàn)和機(jī)械齒輪另一種有名的螺線(xiàn)叫做漸開(kāi)線(xiàn)。當(dāng)一根繩沿著另一曲線(xiàn)繞上或脫下時(shí)，它描岀一條漸伸線(xiàn)。許多曲線(xiàn)都有自己的漸開(kāi)線(xiàn)，把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)定圓上，拉開(kāi)繩子的一端并拉直，使繩子與圓周始終相切,繩子端點(diǎn)的軌跡就是圓的漸開(kāi)線(xiàn)。與阿基米德螺線(xiàn)相比，漸開(kāi)線(xiàn)在日常生活中岀場(chǎng)的機(jī)會(huì)似乎要少一點(diǎn)，但仔細(xì)尋找還是能發(fā)現(xiàn)它的蹤跡， 例如棕櫚等一些植物葉尖的輪廓就是漸開(kāi)線(xiàn)。其實(shí)它還在機(jī)械設(shè)備中發(fā)揮著重要的作用，機(jī)械設(shè)備用于傳 動(dòng)的齒輪中，就活躍著漸開(kāi)線(xiàn)的身影。早在1694年，法國(guó)學(xué)者就討論了把漸開(kāi)線(xiàn)作為齒輪齒形的可能性

4、。1765年，歐拉對(duì)相嚙合的一對(duì)齒輪齒形曲線(xiàn)的曲率半徑和曲率中心位置的關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算，認(rèn)為漸開(kāi)線(xiàn)相當(dāng)適合作為齒輪的齒形。與其他齒形相比，漸開(kāi)線(xiàn)齒形具有傳動(dòng)平穩(wěn)、兩輪中心距允許有一定的安裝誤差 等等優(yōu)點(diǎn)。目前工業(yè)中漸開(kāi)線(xiàn)齒輪被廣泛應(yīng)用，占到世界齒輪市場(chǎng)的90%以上。齒頂圓伯努利和大自然都愛(ài)等角螺線(xiàn)下面岀場(chǎng)的是螺線(xiàn)家族中名氣最大的一一等角螺線(xiàn)。它的名字來(lái)源于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題：試找岀一條曲線(xiàn)，在任意點(diǎn)處的矢徑與切線(xiàn)的夾角為定值。這一問(wèn)題最終于1683年被笛卡爾解決。使用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的微積分和笛卡爾的坐標(biāo)系，我們很容易就能知道等角曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程：p = «a°。由于在方程中出現(xiàn)了指

5、數(shù)函數(shù)，這一螺線(xiàn)也被稱(chēng)為對(duì)數(shù)螺線(xiàn)。等角螺線(xiàn)還與一道著名的趣味物理題有關(guān)：三只小狗分另以一個(gè)等邊三角形的三點(diǎn)岀發(fā)，以相同的速度相 互追逐，當(dāng)它們?cè)谌切沃行南嘤鰰r(shí)，所畫(huà)岀的軌跡就是等角螺線(xiàn)。一個(gè)很少被注意的有趣現(xiàn)象是，他們 將在有限時(shí)間內(nèi)相遇，但是相遇之前已經(jīng)圍著中心繞了無(wú)數(shù)圈 ！等角螺線(xiàn)等角螺線(xiàn)具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，著名數(shù)學(xué)家雅各布伯努利就是等角螺線(xiàn)的一個(gè)狂熱粉絲。他對(duì)等角螺線(xiàn)進(jìn)行了許多研究，發(fā)現(xiàn)等角曲線(xiàn)在反演、求漸屈線(xiàn)、求垂足曲線(xiàn)、等比例放大等等變換后仍然是原先的 等角曲線(xiàn)。對(duì)于這些性質(zhì)伯努利感到十分驚訝，決定把等角曲線(xiàn)作為自己的墓志銘，還加上了一句話(huà)“Eademmutata resurg

6、o.這句話(huà)有各種不同的翻譯版本，大意是 縱然改變，仍然故我"（也有一些版本的翻譯類(lèi)似改變之后，我將原地復(fù)活”。但是滑稽的是為他雕刻墓碑的工匠也許是文化水平不高，也許就是嫌麻煩，最 后給墓碑上雕刻的圖竟是毫不相關(guān)的阿基米德螺線(xiàn)。伯努利若九泉有知，怕是要死不瞑目了。I占 .；c?AL'. IL. 卑、:GUIMlinfUJCWAJbLl.o.-KfNTt aC* rCTiMl niTGJtjh AZhc-AtLctolxrx; nwui g ia： ” f.hrsIT廠IT斤-krrur-i tim li邊HA SMEWDVQOIF；【血EH：i/rrrocTi'HiHr

7、i j/ I：-等角對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的除了伯努利還有大自然?？赡苁怯捎谒冉堑奶匦?，等角螺線(xiàn)是自然界中最常見(jiàn)的螺線(xiàn)。 向日葵的和其他一些植物的種子在花盤(pán)上排列岀的曲線(xiàn)就是等角曲線(xiàn)，這樣每顆種子受到周?chē)渌N子所 分泌生長(zhǎng)素的抑制作用可以達(dá)到最小，同時(shí)當(dāng)它們長(zhǎng)大時(shí)可以保持形狀不變。蕨類(lèi)植物和其他一些植物的 嫩葉也蜷曲成對(duì)數(shù)曲線(xiàn)的形狀。向日葵的花盤(pán)，能看出等角螺線(xiàn)嗎對(duì)數(shù)曲線(xiàn)形狀的嫩芽除了植物界，動(dòng)物界也有不少等角螺線(xiàn)。鸚鵡螺的螺殼曲線(xiàn)就是等角螺線(xiàn)，這是由于鸚鵡螺在生長(zhǎng)時(shí)內(nèi)圈 與外圈分泌石灰質(zhì)的量總為一定值造成的，同理鷹嘴和鯊魚(yú)的背鰭也是對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的形狀。法國(guó)博物學(xué)家，昆蟲(chóng)記作者 讓-亨利？法布爾曾經(jīng)注意到，

8、蜘蛛結(jié)岀的網(wǎng)上也有對(duì)數(shù)螺線(xiàn)岀沒(méi)， 對(duì)此他興趣大發(fā)，在蜘 蛛的一生中增加了專(zhuān)門(mén)的一篇，討論對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和它對(duì)自然界的影響。甚至對(duì)數(shù)螺線(xiàn)”這個(gè)名字就是法布爾叫響的。另外人們發(fā)現(xiàn)，飛蛾撲火與老鷹盤(pán)旋也都是沿著對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的軌跡移動(dòng)。但是和接下來(lái)的銀河系相比，以上的例子都弱爆了 ”。天文學(xué)家觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，渦旋狀星云的旋臂形狀與等角螺線(xiàn)十分相似，銀河系的四大旋臂就是傾斜度為12。的等角螺線(xiàn)。其他的螺線(xiàn)除此之外，數(shù)學(xué)家們還找岀了各種奇形怪狀的非主流螺線(xiàn)，例如極坐標(biāo)方程r 2= B描述的連鎖螺線(xiàn)，它不是常見(jiàn)的一支，而是對(duì)稱(chēng)的兩支。更為怪異的是歐拉螺線(xiàn)，它有兩個(gè)中心，埃舍爾的一副作品就是以此為 主題的。歐拉曲線(xiàn)

9、數(shù)學(xué)界是如此地?zé)釔?ài)螺線(xiàn)，以至于衡量一個(gè)數(shù)學(xué)家是否足夠牛逼的簡(jiǎn)單的方法就是看看是否存在以他命名的螺線(xiàn)。那死理性派又為什么對(duì)螺線(xiàn)情有獨(dú)鐘呢？這就正像法布爾總結(jié)的那樣：幾何，以及面積的和諧支配著一切?！甭菥€(xiàn)背后精準(zhǔn)優(yōu)雅的規(guī)律，無(wú)疑讓一代又一代的人為之癡迷。參考資料1】馬丁 ?加德納，意料之外的絞刑和其他數(shù)學(xué)娛樂(lè)2】 用數(shù)學(xué)注釋的花園3】趙文敏， 等角螺線(xiàn)及其他4】職業(yè)農(nóng)夫， 生物中的數(shù)學(xué) -是生物因?yàn)閿?shù)學(xué)而有趣？還是數(shù)學(xué)因?yàn)樯锒腥ぃ?】維基百科， 螺線(xiàn) 等相關(guān)詞條十二水燈 系列作品之秋水迥波作品名稱(chēng)：秋水迥波 作品編號(hào)：GS-01-01創(chuàng)作時(shí)間：2012-02材質(zhì)：3D打印尼龍 秋水迥波是 十二

10、 水燈系列燈具產(chǎn)品中的第一款。我們也付岀了最多的心血來(lái)創(chuàng)作它，從最初的單層次變化到最終的三級(jí)遞歸曲線(xiàn)變化，從普通的曲面表現(xiàn)到獨(dú)特的極小曲面表現(xiàn)，從結(jié)構(gòu)的多層嵌套到最終形態(tài)的一體成型，前后經(jīng)歷了11次程序的推敲與完善。所有這些對(duì)燈具不斷的完善的動(dòng)力都來(lái)自對(duì)馬遠(yuǎn)水圖的新的認(rèn)知此圖為馬遠(yuǎn)的原作秋水迥波當(dāng)我們將秋水迥波分為近中遠(yuǎn)景時(shí)便會(huì)發(fā)現(xiàn)：畫(huà)面中近景和中景虛實(shí)相映，產(chǎn)生了一種空間上的起伏感。水紋由左下方向右上方延伸，特別是兩只空中飛鳥(niǎo)的連線(xiàn)，更是加強(qiáng)了這種趨勢(shì)感。 而沿著光影，圈岀的弧線(xiàn)，又將向右上方延伸的動(dòng)勢(shì)往回拉，從而平衡了畫(huà)面。畫(huà)面中的元素有點(diǎn)，有曲線(xiàn)，有大面，有小面，交織在一起便是波光粼粼的湖水，徐徐瑟瑟的秋風(fēng)，還有灑在 湖面上斑駁的陽(yáng)光353433323130 LL黃色：連續(xù)的披紅色：從左側(cè)或右側(cè)插入的波綠色：中間插入的波藍(lán)色：一段新波的三角分叉處我們似乎找到了馬遠(yuǎn)讓畫(huà)面變得如此生動(dòng)的奧秘， 但是我們卻又陷入了他的另一個(gè)視覺(jué)游戲 一 水波向右上方流動(dòng)趨勢(shì)的背后， 是一串串幾乎反向流動(dòng)的曲線(xiàn)所造就的， 而且兩個(gè)方向的曲線(xiàn)營(yíng) 造岀了第三方向的視覺(jué)感受。 作