概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第一章jiang3

1、3 3 條條 件件 概概 率率一一 條條 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式目目 錄錄 索索 引引第一章 概率論的基本概念（第三講）（第三講）3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄一、條一、條 件件 概概 率率 條件概率是概率論中一個(gè)重要而實(shí)用的概念。條件概率是概率論中一個(gè)重要而實(shí)用的概念。它所考慮的是事件它所考慮的是事件 B 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且0)( BP則稱事件則稱事件A在在“事件事件

2、B已發(fā)生已發(fā)生”這一附加條件下的這一附加條件下的概率為概率為在事件在事件B已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件A的的條件概率條件概率，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為A在在B之下的之下的條件概率條件概率，記為，記為 BAP1）條件概率的定義：）條件概率的定義：退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 1 兩臺(tái)車床加工同一種零件共兩臺(tái)車床加工同一種零件共100個(gè)，結(jié)果如下個(gè)，結(jié)果如下 合格品數(shù)合格品數(shù) 次品數(shù)次品數(shù) 總計(jì)總計(jì)第一臺(tái)車床加工數(shù)第一臺(tái)車床加工數(shù) 30 5 35第二臺(tái)車床加工數(shù)第二臺(tái)車床加工數(shù) 50 15 65總總 計(jì)計(jì) 80 20 100第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè)A= 從從100個(gè)零件中任取一個(gè)是合格品

3、個(gè)零件中任取一個(gè)是合格品 B=從從100個(gè)零件中任取一個(gè)是第一臺(tái)車床加工的個(gè)零件中任取一個(gè)是第一臺(tái)車床加工的 解：解： 3530 BAP ,10080 AP ,10080 AP ,10030 ABP . )|(,),(,BAPABPBPAP求：求： ,10035 BP退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄注：注：由例由例1可以看出，事件可以看出，事件A在在“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生” 這附這附 加條件的概率與不附加這個(gè)條件的概率是不同的加條件的概率與不附加這個(gè)條件的概率是不同的 第一章 概率論的基本概念 BPABPBAP 但有但有稱為稱為在事件在事件B已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件A的的條件概率條件概率

4、，簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為A在在B之下的之下的條件概率條件概率。 0 BP設(shè)設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且 BPABPBAP 則則因此，有下面的因此，有下面的定義：定義：退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄2）條件概率的性質(zhì)：）條件概率的性質(zhì)： 0)1( BAPA，有有非非負(fù)負(fù)性性：對(duì)對(duì)任任意意事事件件 ；規(guī)規(guī)范范性性：1)2( BSP則則兩兩互不相容，兩兩互不相容，事件事件可列可加性：如果隨機(jī)可列可加性：如果隨機(jī)nAAA21)3(第一章 概率論的基本概念3條件概率 11nnnnBAPBAP退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 2 已知某家庭有已知某家庭有3個(gè)小孩，且至少有一個(gè)是女個(gè)小孩，且

5、至少有一個(gè)是女 孩，求該家庭至少有一個(gè)男孩的概率孩，求該家庭至少有一個(gè)男孩的概率 而而 AP 86 ABP ABP 所求概率為所求概率為解：解：設(shè)設(shè) A= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩個(gè)小孩至少有一個(gè)女孩 B= 3個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩個(gè)小孩至少有一個(gè)男孩 第一章 概率論的基本概念 768786 ABP所以所以 878111 AP APABP 退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄二、乘法公式二、乘法公式由條件概率的定義由條件概率的定義 APABPABP 我們得我們得 ABPAPABP 這就是兩個(gè)事件的這就是兩個(gè)事件的乘法公式乘法公式第一章 概率論的基本概念3條件概率1）兩個(gè)事件的乘法公式：）兩個(gè)事件的乘法公式：退

6、 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄2）多個(gè)事件的乘法公式）多個(gè)事件的乘法公式個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件，且且為為，設(shè)設(shè)nAAAn21 0121 nAAAP 則有則有 nAAAP21這就是這就是n個(gè)事件的個(gè)事件的乘法公式乘法公式 第一章 概率論的基本概念3條件概率 1AP 12AAP 213AAAP 121 nnAAAAP退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例3 袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×艘粋€(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×薾 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的

7、概率解：解： 次都未取出黑球次都未取出黑球取了取了設(shè)設(shè)nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 則則nAAAB21 由乘法公式，我們有由乘法公式，我們有第一章 概率論的基本概念退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄 例例 4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為打破的概率為 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為次落下打破的概率為 7/107/10

8、 , ,若前兩次落下未打破，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為第三次落下打破的概率為 9/109/10 。求透鏡落下三次。求透鏡落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透鏡第透鏡第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”，有：有：)()(321AAAPBP 第一章 概率論的基本概念)|()|()(213121AAAPAAPAP .2003)1091)(1071)(211 ( 退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式SA1A2An

9、.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;, 2 , 1,=njijiAAji .21SAAAn 定義定義 設(shè)設(shè) S 為試驗(yàn)為試驗(yàn) E 的樣本空間，的樣本空間， 為為 E 的一組事件。若滿足的一組事件。若滿足 (1) (2) 則稱則稱 為樣本為樣本空間空間 S 的一個(gè)有限劃分的一個(gè)有限劃分 nAAA,21nAAA,21第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄1 1）全）全 概概 率率 公公 式：式：設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件的的是是樣樣本本空空間間 SAAAn,21 兩兩兩兩互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk .1 nkkkA

10、BPAPBP則有則有第一章 概率論的基本概念3條件概率一一個(gè)個(gè)有有限限劃劃分分，即即退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄全概率公式的證明：全概率公式的證明：由條件：由條件：nkkASB1 得得 nkkBAB1 而且由而且由兩兩互不相容，兩兩互不相容，nAAA,21也也兩兩兩兩互互不不相相容容；得得BABABAn,21A1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABABS第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄全概率公式的證明（續(xù)）全概率公式的證明（續(xù)）所以由概率的可加性，得所以由概率的可加性，得 nkkBAPBP1得得 得得，再由條件再由條件nkAPk, 2, 10 kkkABPA

11、PBAP nkkknkkABPAPBAPBP11第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄全概率公式的使用：全概率公式的使用：我們把事件我們把事件B 看作某一過(guò)程的結(jié)果，看作某一過(guò)程的結(jié)果，因，因，看作該過(guò)程的若干個(gè)原看作該過(guò)程的若干個(gè)原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知， 已知已知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率則我們可用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率 BP即即求求第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)

12、目 錄 例例5 某小組有某小組有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四 級(jí)射手分別為級(jí)射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、名又若選一、二、 三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo)三、四級(jí)射手參加比賽，則在比賽中射中目標(biāo) 的概率分別為的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機(jī)，今隨機(jī) 選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目 標(biāo)的概率標(biāo)的概率 解：解： 標(biāo)標(biāo)該該小小組組在在比比賽賽中中射射中中目目設(shè)設(shè) B 4321 ，級(jí)級(jí)射射手手參參加加比比賽賽選選 iiiA由全概率公式，有由全概率公式，有第一章 概率論的基本概念

13、41iiABPiAPBP32. 020345. 020964. 020685. 0202 5275. 0 退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄2 2）貝葉斯（）貝葉斯（BayesBayes）公式公式 )|(BkAP第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件的的是是樣樣本本空空間間 SAAAn,21 兩兩兩兩互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk 一一個(gè)個(gè)有有限限劃劃分分，即即則有：則有：)()(BPBkAPnknjjABPjAPkABPkAP, 2 , 1,1)|()()|()( 退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄BayesBayes公式的使用公式的使用我們

14、把事件我們把事件B 看作某一過(guò)程的結(jié)果，看作某一過(guò)程的結(jié)果，因因，看看作作該該過(guò)過(guò)程程的的若若干干個(gè)個(gè)原原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知， 已知已知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知， 如果已知事件如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第 i 個(gè)個(gè)原因引起的概率，則用原因引起的概率，則用Bayes公式公式 BAPi即即求求第一章 概率論的基本概念3條件概率退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 6 用某種方法普查肝癌，設(shè)：用某種方法普查肝癌，設(shè)： A= 用此

15、方法判斷被檢查者患有肝癌用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實(shí)患有肝癌被檢查者確實(shí)患有肝癌 ， 已知已知 90. 0,95. 0 DAPDAP 0004. 0 DP而而且且已已知知：現(xiàn)有一人用此法檢驗(yàn)患有肝癌，求此人真正患有現(xiàn)有一人用此法檢驗(yàn)患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率肝癌的概率第一章 概率論的基本概念3條件概率說(shuō)明：說(shuō)明：全概率公式，全概率公式， BayesBayes公式中公式中 可以是可以是. n退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 6（續(xù)）（續(xù)）解：解： 由已知，得由已知，得0004. 0)( DP 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得 ADP10. 09996. 09

16、5. 00004. 095. 00004. 0 0038. 0 第一章 概率論的基本概念 90. 0,95. 0 DAPDAP APDAP DAPDPDAPDPDAPDP 退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄例例 7 袋中有袋中有10個(gè)黑球，個(gè)黑球，5個(gè)白球現(xiàn)擲一枚均勻的個(gè)白球現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球若已知取骰子，擲出幾點(diǎn)就從袋中取出幾個(gè)球若已知取出的球全是白球，求擲出出的球全是白球，求擲出3點(diǎn)的概率點(diǎn)的概率解：解： 621，點(diǎn)點(diǎn)擲出擲出 iiAi則由則由Bayes公式，得公式，得 BAP3第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè)B= 取出的球全是白球取出的球全是白球 06161615115531535 iiiCCCC04835. 0 6133iiiABPAPABPAP退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄第一章 概率論的基本概念3條件概率說(shuō)明：說(shuō)明：乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式非常重乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式非常重要，在運(yùn)用時(shí)要，在運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵關(guān)鍵是找到樣本空間的劃分。是找到樣本空間的劃分。退 出前一頁(yè)后一頁(yè)目 錄第一章 概率論的基本概念3條件概率ABC思考題：思考題： 在一著名的電視節(jié)目里，臺(tái)上有三扇門，在一著名的電視節(jié)目里，臺(tái)上有三扇門，記為記為A，B，C，其中只有一扇門后有大獎(jiǎng)。其中只有一扇門后有大獎(jiǎng)。請(qǐng)你猜哪扇門后有大獎(jiǎng)，如果