生命年金的精算現(xiàn)值PPT課件

1、2021-11-161 生命年金的種類 離散型與連續(xù)型；期初支付與期末支付；即期與延期； 終身與定期以及變額生命年金與生命年金。 精算現(xiàn)值的計(jì)算方法 保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年生存保險(xiǎn) , 其給付保險(xiǎn)金現(xiàn)值的期望 ，稱為躉繳純保費(fèi) ( 這是與保險(xiǎn)相聯(lián)的緣故）。 而在生命年金中 ,n 年期生存保險(xiǎn)的期望現(xiàn)值 E(Z)( 即建繳純保費(fèi) ) 稱為精算現(xiàn)值， 精算 一詞意味著除含利率外 , 還含有死亡率等 其他因素 第1頁/共80頁2021-11-162 在生命年金中 , 保險(xiǎn)金額為 1 個(gè)單位的 n 年生存保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值 E(Z) 用符號(hào)nEx 表示, 即 精算現(xiàn)值的計(jì)算方法 對于生命年金的精

2、算現(xiàn)值 , 其計(jì)算方法有兩種 : 其一是現(xiàn)時(shí)支付法 , 其二是總額支付法 現(xiàn)時(shí)支付法的計(jì)算步驟是 : 求出時(shí)刻 t 時(shí)生命年金的給付數(shù)額 ;確定時(shí)刻 t 時(shí)給付數(shù)額的精算現(xiàn)值 ; 對給付年金的精算現(xiàn)值按所有可能的給付時(shí)間進(jìn)行相加或積分。xnnxnpvE 第2頁/共80頁2021-11-163 總額支付法的計(jì)算步驟是 : 求出從開始支付至死亡或停止支付這段時(shí)間 t 內(nèi)所有年金給付額的現(xiàn)值 , 這一現(xiàn)值僅與利率有關(guān) ;將求出的現(xiàn)值乘以相應(yīng)的死亡概率或概率密度 ;對第二步得到的結(jié)果按所有可能的死亡時(shí)間 t 進(jìn)行相加或積分. 精算現(xiàn)值的兩種計(jì)算方法是等價(jià)的。第3頁/共80頁2021-11-164 3.

3、1 連續(xù)型生命年金 連續(xù)型生命年金是指每時(shí)每刻連續(xù)不斷地進(jìn)行支付的生命年金。這類生命年金一般地 分為定期生命年金、終身生命年金、延期定期生命年金和延期終身生命年金等 以終身生命年金為例 , 考察定額終身生命年金的精算現(xiàn)值。假設(shè) (x) 按連續(xù)方式 支付年金額為 1 元的終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示 (x) 未來壽命 T= T(x),則 T=T(x)的密度函數(shù)是xa txxtTptf第4頁/共80頁2021-11-165 上述兩式可以相互轉(zhuǎn)化現(xiàn)時(shí)支付法是等價(jià)的，利用總額支付法和利用利用現(xiàn)時(shí)支付法，則利用總額支付法，則，則其支付年金的現(xiàn)值記作dtpvadtpEaxt0txtxxt0 x0

4、TTTtTaadtvaYY第5頁/共80頁2021-11-166 為衡量支付連續(xù)型的終身生命年金的風(fēng)險(xiǎn) , 我們可以考慮支付終身生命年金現(xiàn)值的方差。 xxxxxxxxTtTtTAAAAAAAvVarvVardtvVaraVar xxx0 xttxt0ttxxt0t22220a1or,a1a1dtpv1)p(dv-dtpva111表示式得到之間的關(guān)系，可以通過與關(guān)于ttttdvededdv)()(其中，第6頁/共80頁2021-11-167 例1 設(shè)死力是常值=0.04, 利力=0.06,在此假設(shè)條件下 , 求 : (1) 終身生命年金的精算現(xiàn)值(2) 終身生命年金現(xiàn)值的標(biāo)準(zhǔn)差 ;(3)終身生命

5、年金現(xiàn)值超過其精算現(xiàn)值的概率(所收取的躉繳純保費(fèi)將小于支付實(shí)際給付年金額為 1 元的終身生命年金的概率 )。 解: 101exp1expexp000dttdtttdtpvaxttx利用現(xiàn)時(shí)支付法第7頁/共80頁2021-11-168 5429. 0texpdttexp2715.15TPrlnvln0.4TPr4 . 0vPr10v1PraaPr35aVar,25AA1aVar25. 02dtt2expt2expA4 . 01006. 01a1A227.1527.15ttxTTx2x22T0 x2xx第8頁/共80頁2021-11-169 類似地 , 對于 (x) 按連續(xù)方式領(lǐng)取的年金額為 1

6、元的 n 年定期生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào) 表示. 利用現(xiàn)時(shí)支付法 , 則n : xanTvnT0vZ,Z1nnTanT0aY ,Y,dtpvanTnTxtn0tn : x則元的現(xiàn)值為額為年期兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金記連續(xù)型則為記此項(xiàng)生存年金的現(xiàn)值第9頁/共80頁2021-11-1610 2xx222n :xn :xn :xn:xAA1Zvar1Z1varYvarAa1A11ZE11Z1EYEa ，即利用總額支付法，則第10頁/共80頁2021-11-1611第11頁/共80頁2021-11-1612第12頁/共80頁2021-11-16130nttxvp dt第13頁/共80頁2021-11-1

7、614延期生命年金 考慮(x)的延期n年的終身生命年金，這種年金在(x)活過x+n歲的情況下，從x+n歲開始，直到(x)死亡時(shí)為止一直以年率1進(jìn)行支付 第14頁/共80頁2021-11-1615 比較“延期n年的終身生命年金”、“終身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以發(fā)現(xiàn)：“終身生命年金”=“延期n年的終身生命年金”+“n年期定期生命年金” 例3-3已知死亡概率在（0.100）上均勻分布，i=4%。年齡為40歲的人購買每年給付額為3000元的連續(xù)給付型生命年金，求下列各種生命年金的精算現(xiàn)值。（1）終身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的終身生命年金（4）延期10年的10年定

8、期生命年金第15頁/共80頁2021-11-1616第16頁/共80頁2021-11-1617n年確定期生命年金 n年確定期生命年金是一種保證在前n年一定有支付的終身生命年金。該年金支付的現(xiàn)值隨機(jī)變量為：第17頁/共80頁2021-11-1618例3-5 某人x歲，購買了一份10年確定期生命年金，以連續(xù)方式給付，每年給付金額為1，已知死亡在（0，30）內(nèi)均勻分布且=x+30， 。求該年金精算現(xiàn)值。0.05第18頁/共80頁2021-11-1619變額年金考慮支付率隨時(shí)間發(fā)生變化的年金。假設(shè)連續(xù)型生命年金在t時(shí)的支付率為g(t)，年金的支付期限為時(shí)間區(qū)間a，b，那么，由支付模式，知這種年金的精算

9、現(xiàn)值為: （1）如果g(t)1，a=0，b=n時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)1，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的終身生命年金；（3）如果g(t)1，a=n，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=t+1，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了年度遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。 第19頁/共80頁2021-11-1620（5）如果g(t)t，a=0，b=時(shí)，上述一般年金就變成了連續(xù)遞增的連續(xù)支付型終身生命年金。這種年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量 第20頁/共80頁2021-11-1621（6）如果g(

10、t)=n-t，a=0，b=n時(shí)，上述一般年金就變成了年度遞減的連續(xù)支付型n年期定期生命年金。 第21頁/共80頁2021-11-1622將上述的有關(guān)連續(xù)型生命年金的討論小結(jié)如下： 第22頁/共80頁2021-11-1623第23頁/共80頁2021-11-1624 3.2 離散型生命年金 離散型生命年金是指年金的領(lǐng)取人每次領(lǐng)取年金的時(shí)間間隔是離散的 , 如按每年、每 半年、每季度、每月來進(jìn)行的。 離散型生命年金還分為 “ 期初付 ” 和 “ 期末付 ” 兩種情 形。其中 , 期初付生命年金在個(gè)人壽險(xiǎn)中得以廣泛應(yīng)用 , 大多數(shù)個(gè)人壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)就是按 期初付生命年金的方式分期繳納保險(xiǎn)費(fèi)的。 按年付

11、的定額生命年金 按年付生命年金是以年為時(shí)間間隔 , 每年支付一次 , 每次支付的金額均相等的生命年金 第24頁/共80頁2021-11-1625 以期初付的定額的終身生命年金為例 , 考慮其生命年金的精算現(xiàn)值: 設(shè)年齡為x歲的生存者在每個(gè)年度初領(lǐng)取年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金 ( 即期初付終身生命年金 ) 的精算現(xiàn)值 0kkxkxxxkxxk0kxkkxxlvalllp,pvaia 代入，整理可得將，利用現(xiàn)時(shí)支付法得表示，預(yù)定年利率為用符號(hào)第25頁/共80頁2021-11-1626 上式表明 : 年齡為 x 歲的 lx個(gè)生存者 , 若每人繳納 元建立一筆基金 ( 基金總 額為 元 ),

12、并按預(yù)定年利率 i 計(jì)息積存 , 則可使該群體中生存到x+k 歲的 lx+k個(gè)人 , 每人獲得 1 元的金額(k=0,1,2,.) 若利用總額支付法 , 則期初付年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金支付的現(xiàn)值:xa 0101, 2 , 1 , 0kjxkkxKjjkqaYEavaY 該年金的精算現(xiàn)值為；為該年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量第26頁/共80頁2021-11-1627 交換求和的順序 , 則上式可轉(zhuǎn)化為 這表明現(xiàn)時(shí)支付法與總額支付法計(jì)算精算現(xiàn)值的結(jié)果是相同的。 若在引入換算函數(shù) , 則可以得 00111kxkkkxkkxpvpva xxxDNa 第27頁/共80頁2021-11-1628 現(xiàn)在 ,

13、 我們來考察期初付年金額為 1 個(gè)單位的終身生命年金現(xiàn)值 的方差 根據(jù)方差的性質(zhì)，則 22212101111xxkkKjjKAAdvVarddvVarvVaraVar 第28頁/共80頁2021-11-1629 下面 , 我們考察精算現(xiàn)值與躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系式 xxxxxkkKxAadorAdaAdvEddvEaEa 1,1111111111第29頁/共80頁2021-11-1630 上式表明 : 年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期初付的年金額為 d 元的終身生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1 元的死亡保險(xiǎn)金.

14、若從一般的投資角度來解釋 , 即(x)現(xiàn)在投資資金 1元 , 在年利率 i 的條件下 , 可在 (x) 生存時(shí) , 其每年的年初均可獲得回報(bào) d 元 , 而 (x) 一旦死亡 , 則在其死亡的年度末償 還其投資的本金 1 元 第30頁/共80頁2021-11-1631 例 1 一份金額為 1 元的期初付終生生命年金從 90 歲開始給付 , 其生存模型為 x90919293lx100 72390 YVarYE, 6 . 0i0.785525A902和方差求該年金的精算現(xiàn)值和且已知第31頁/共80頁2021-11-1632 026344. 21003906. 1111007206. 1111001

15、0006. 1111121009090kkkpva 解： 551188. 0001766. 06106AAd1YVar0.8853012.02634410661ad1AAad12229090229090 xx 可知由式第32頁/共80頁2021-11-1633期初付生命年金第33頁/共80頁2021-11-16342. 期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為第34頁/共80頁2021-11-1635第35頁/共80頁2021-11-16363. 期初付延期終身生命年金期初付n年延期終身生命年金為：在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，從x+n歲開始，每年初支付1的年金

16、。 第36頁/共80頁2021-11-16374. 期初付確定期生命年金n年期期初付確定期生命年金是一種保證至少有n年支付的生命年金。 其現(xiàn)值隨機(jī)變量為第37頁/共80頁2021-11-1638期末付生命年金1. 期末付終身生命年金這種年金在年金受領(lǐng)人(x)活著的情況下，每年末支付1 該年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為其精算現(xiàn)值為 表明年齡為x歲的生存者 , 在預(yù)定年利率為 i 的條件下 , 只要繳納金額 1元 , 便可享受期末付的年金額為 i元的終身生命年金; 而一旦死亡 , 還可在死亡的年度 末獲得 1+i元的死亡保險(xiǎn)金第38頁/共80頁2021-11-1639期末付生命年金第39頁/共80頁2021

17、-11-1640第40頁/共80頁2021-11-16412. 期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為111,knjjKKnjjnaKnYavavaKn其精算現(xiàn)值為第41頁/共80頁2021-11-1642101KKnnvaKniYvaKni11100Ki vKnZKn()()事實(shí)上，因?yàn)閷τ趎年期末付定期生命年金，其現(xiàn)值隨機(jī)變量為 200nKnZvKn第42頁/共80頁2021-11-1643第43頁/共80頁2021-11-1644 例2 一份于 60 歲簽發(fā)的年給付額為 1 元并且延期 10 年給付的生命年金 , 已 知死亡率服從 de moivre 分布

18、且 =100 、 i =0, 試計(jì)算該年金給付總額超過該年金精算現(xiàn)值 的概率。第44頁/共80頁2021-11-1645 解 : 由于死亡率服從 de moivre 分布且 =100, 得到lx= -x=100-x475. 04019ll21TPr21Pr63.20Pr63.119Pr,9-K10),0K6063.1140129304040140406081391016010606060KKKkpvpvatllpkxhkxtkhkxtktt所以需要求的是）后實(shí)際生存的年數(shù)年（延期歲始（于從其年金給付總額應(yīng)該等 第45頁/共80頁2021-11-1646第46頁/共80頁2021-11-1647

19、變額生命年金一般地，假設(shè)年金的支付期間為c，d，在k時(shí)年金的支付金額為h(k)，k=c，c+1，d，相應(yīng)年金的現(xiàn)值隨機(jī)變量為Y，則（1）如果h(k)1，c=0，d=n時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年期定期生命年金；（2）如果h(k)1，c=0，d=時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的終身生命年金；（3）如果h(k)1，c=n，d=時(shí)，上述一般年金就變成了離散型等額支付的n年延期生命年金；（4）如果h(k)k，c=0，d=時(shí)，上述一般年金就變成了離散型期末付年度遞增終身生命年金。第47頁/共80頁2021-11-1648第48頁/共80頁2021-11-1649第49頁/共80頁

20、2021-11-1650第50頁/共80頁2021-11-1651t支付px+t020.80130.75240.5假設(shè)v=0.9，求該生命年金現(xiàn)值隨機(jī)變量的均值和方差。第51頁/共80頁2021-11-1652第52頁/共80頁2021-11-16533.3 每年 m 次支付的生命年金 每年分 m 次支付的生命年金 在實(shí)際上，大多數(shù)個(gè)人生命年金通常是按月或按季或按每半年等方式來支付的。因此 , 討論每年分 m 次支付的定額生命年金有重要的現(xiàn)實(shí)意義 下面 , 我們以每年分 m 次支付 , 每次支付額為 1/m 元的期初付終身生命年金為例 , 求其精算現(xiàn)值，且根據(jù)現(xiàn)時(shí)支付法 , 則 01kxmkm

21、kmxpvma 第53頁/共80頁2021-11-1654 將按上述方式給付年金的現(xiàn)值記作 mxxmmmmmxmmSKxAd1dmd1d1dA1d1dv-1EE, 2 , 1 , 0;1,2,1,mmSKmmSKaaaKmmmmSaY 故是年貼現(xiàn)率，滿足關(guān)系式其中，根據(jù)總額支付法，則第54頁/共80頁2021-11-1655 mm1xmm1mxm1xmmmm1mmxmmmmxmxmxxmmxxmd1saasdad1s-1dad,d1saAaadAdAd1Ad11111 mxxxxxxmmxxxxmaAaAaAadaaAadAada，得出和由式子第55頁/共80頁2021-11-1656 mDN

22、mdii -id1sm,diidasm,mamxxxmmmmm1mmmm1xx1mmaa 或其中件下，有在死亡均勻分布假設(shè)條從而，式xmmxAiiA則若尾齡服從均勻分布，第56頁/共80頁2021-11-1657 上式在高利率與低死亡率的特殊情況下常被采用 ,而在一般情況下 , 通常采用精算現(xiàn)值的傳統(tǒng)近似計(jì)算公式： mmaaxmx21 下面 , 我們介紹一下式 (*) 的來歷 第57頁/共80頁2021-11-16582m1mm1m21m1-mm2m1m1m1a1m, 2 , 1k,mka, 1, 020mxx10m1 -mm2m1mkxxxxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaa

23、a 故算式，即引入線形插值的近似計(jì)第58頁/共80頁2021-11-1659 例3 試根據(jù)附錄 I(C) 的生命表和預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計(jì)算到 60 歲時(shí)起退休者每月領(lǐng)取1000元的期初付終身生命年金的精算現(xiàn)值。解，由于年利率 i =6%, 則年貼現(xiàn)率d=i/(1+i)=0.0566從而 , 月利率和月貼現(xiàn)率分別可以得到 468119. 012,00028. 112,0581. 0,0584. 011,111212則didmdimimmm第59頁/共80頁2021-11-1660 .,(28.1323832411-11.4902712000a100012

24、p(44.132304a100012p11.025370.46819-11.4902700028. 112a12a12601260601260值非常近似所求生存年金的精算現(xiàn)得出的結(jié)論和利用傳統(tǒng)近似計(jì)算方法此例表明元）算公式，則如果采用傳統(tǒng)的近似計(jì)元）現(xiàn)值是故所求生存年金的精算故 第60頁/共80頁2021-11-1661 對于每年分m次支付，每次支付金額相等的年金額為1元的期末付終身生命年金，其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為 2m1ma1mm1x mxmxxmxmxmxaamaamaa的傳統(tǒng)近似計(jì)算公式是件下，上式轉(zhuǎn)化為在死亡均勻分布假設(shè)條 mxa第61頁/共80頁2021-11-1662 對于每年分

25、m 次支付、每次等額支付金額為 1 元的延期h年的期初付終身生命年金 , 其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為 , 則 xhxhmxhmxhxhxhmhxxhmxhmhxxhmxhEaaaEaaEaaEa2m1mmmmm 的傳統(tǒng)近似計(jì)算公式是條件下，上式轉(zhuǎn)化為在死亡均勻分布的假設(shè) mxha 第62頁/共80頁2021-11-1663 對于每年分 m 次支付 , 每次等額支付的年金額為 1 元的期初付n年定期生命年金 ,其精算現(xiàn)值用符號(hào)表示為 , 根據(jù)現(xiàn)時(shí)支付法， 則有 mnxa: )1 (2m1m1mm:xnnxmnxmnxxnnxmnxmnxxnmxmxnmxmnxEaaaEaaaEaaaa 的傳統(tǒng)近似計(jì)

26、算公式是條件下，上式轉(zhuǎn)化為在死亡均勻分布的假設(shè)第63頁/共80頁2021-11-1664 例4試根據(jù)附錄 I(C) 生命表與預(yù)定年利率 i =6%, 并在死亡均勻分布的假設(shè)條件下 , 計(jì)算生存者在 45 歲時(shí)每月領(lǐng)取 800 元的期初付 25 年定期生命年金的精算現(xiàn)值. 解 : 依題意 , 知 482765.121121217806. 0,482765.1246812. 012,00028. 112,0581. 0,0584. 0,0566. 0452525:451225:4545254524025:451212EaaEpvadidkkk 第64頁/共80頁2021-11-1665229.11

27、9877124119600p54.11983480012p452525:451225:45Eaa 公式，則若采用傳統(tǒng)的近似計(jì)算現(xiàn)值是所求的生存年金的精算第65頁/共80頁2021-11-1666 根據(jù)現(xiàn)時(shí)支付法 , 則 xxkxkxxkxkxxkxxkkxxxkxxxkxxkxkkkxDSDNDDklvlvvkaIlvlvllppvkaI000011,1 第66頁/共80頁2021-11-1667每年分 m 次支付的變額定期生命年金 考慮每年分 m 次支付 , 年金額按年變動(dòng)的期初付的 n 年定期生命年金的估值問題。 設(shè)生存者自x歲開始 , 終止于x+n 歲 , 領(lǐng)取的年金順序列為bx,bx+

28、1, , by+n-1. 每年分 m 次等額期初支付 , 則在 y 歲與 y +1 歲之間的 m 次支付在 y 歲的精算現(xiàn)值是而該項(xiàng)生命年金在x歲時(shí)的精算現(xiàn)值記作(apv)x, 則 myyab1 : xxymynxxyyxEabapv1 :1 第67頁/共80頁2021-11-1668 又設(shè)生存者在每一個(gè)年齡中死亡是均勻分布的 , 則 1yyymym1ymymyyymy1yyy1x11DDDDNND,DDNDDDD11mmmmmmbapvEEmmbapvnxxyyxxxyynxxyyx記轉(zhuǎn)化為引入換算函數(shù)，則上式第68頁/共80頁2021-11-1669 若該項(xiàng)變額年金改為期末支付 , 并假設(shè)

29、生存者在每個(gè)年齡中死亡是均勻分布的 , 記 mnxmxxxymy1nxxyyxx1yyymyNNDbapvbb,DbD1apv)apv)xDD1DD時(shí)，特別地，當(dāng)（歲時(shí)的精算現(xiàn)值為（則其在mmm第69頁/共80頁2021-11-1670 3.4 完全期末年金與比例期初年金 在連續(xù)生存年金場合 , 連續(xù)直至死亡 , 不存在調(diào)整最后支付問題。 對于離散型生存 年金 , 尤其是按年支付的生存年金 , 會(huì)提出根據(jù)死亡日期按比例調(diào)整的問題。譬如期末按 年提供支付額為 5000 元的生存年金 , 當(dāng)年金的領(lǐng)取者在支付日前 1 個(gè)月死亡時(shí) , 可從上 次領(lǐng)取日算起 , 對其活著的 11 個(gè)月按比例加付最后一

30、次不滿 5000 元的零頭數(shù)額.又譬 如 , 按生存年金方式支付保費(fèi) 1000 元來購買人壽保險(xiǎn) , 當(dāng)被保險(xiǎn)人在周年繳費(fèi)日 1 個(gè)月后死亡時(shí) , 可退還該年度剩下 11 個(gè)月的已繳保費(fèi)。那么 , 前者屬于完全期末年金類型 , 后者屬于比例期初年金類型。第70頁/共80頁2021-11-1671 完全期末年金每年 1 單位按 1/m 年期末支付 , 再加上根據(jù)從上個(gè) 1/m 年期末到死亡日這段時(shí)間調(diào) 整的零數(shù)支付 , 這種完全生存年金的精算現(xiàn)值記為 因 1/m 年期末 1/m 等價(jià)于按年 支付額它可以作為死亡發(fā)生在時(shí)刻 t 情況下的調(diào)整支付額 mxa0mtssm11第71頁/共80頁2021-

31、11-1672根據(jù)這一調(diào)整支付定義 , 完全期末生存年金恰好等價(jià)于年支付額為的連續(xù)型生存年金換句話說 , 在任何一個(gè) 1/m年中 , 如果 (x) 始終活著 , 那么連續(xù)生存年金提供的支付在該 1/m 年末的值為mmmiimsm1111111mssmmm1111tmssm11如果(x)在該 l/m 年內(nèi)死亡 , 那么連續(xù)生存年金所提供的支付在死亡時(shí)的值等價(jià)于它與完全期末生存年金的調(diào)整支付相當(dāng). 第72頁/共80頁2021-11-1673 因此我們有 包含利息因素的上式導(dǎo)致更為簡單的結(jié)論 xmmxaia0 xmxmxxmxmAaiAaai即00111第73頁/共80頁2021-11-1674單位投資基金。再加上死亡時(shí)償還的 1 111ttmtm