大學物理電磁學總結

1、點點電荷電荷rerdqkEd2特別注意特別注意： 、 、 的的起起點均在點均在場場點點rerqkE22rqkE 大?。捍笮。弘婋妼W學磁磁學學一、電一、電場強度場強度 計算計算E一、磁一、磁感強度感強度 計算計算Bq24relIdBdr電荷電荷元元dq2rdqkdE 大?。捍笮。悍较颍悍较颍簉E/rEd/電電流元流元lId大小：大?。?sin4rIdldB方向：方向：rBd/lIdBdrlIdBd/EEdBd特別注意特別注意： 寫寫出每一場強出每一場強大小大小 判斷每一場強判斷每一場強方向方向 在場點將所有在場點將所有場強畫出場強畫出 建建立立直角坐標直角坐標 對場強求和對場強求和riiinie

2、rqkE21電電學學解題類型：解題類型： 點點電荷電荷系系lIdBd特別注意特別注意： 、 的的起起點均在點均在場場點點電電學學磁磁學學電荷電荷元元dq2rdqkdE 大?。捍笮。弘婋娏髟髟猯Id2sin4rIdldB方向：方向：rE/rEd/方向：方向：rBdlIdBdrlIdBd/EdBd解題類型：解題類型： 直線、圓環(huán)軸線上、圓弧直線、圓環(huán)軸線上、圓弧解題方法：取元、寫大小解題方法：取元、寫大小 或或 、畫方向畫方向、建、建 坐標、坐標、分解分解 或或 、正確積分、正確積分dEdBEdBd總總 復復 習習 習習 題題 課課例1（50905090）一半徑為）一半徑為 的細圓弧，對圓心的張

3、角為的細圓弧，對圓心的張角為 ， 其上均勻分布有正電荷其上均勻分布有正電荷 ，如圖所示。，如圖所示。 試以試以 、 、 表示出圓心處的電場強度表示出圓心處的電場強度 如果是電流強度為如果是電流強度為I I的載流細圓弧，圓心處的載流細圓弧，圓心處 的磁感應強度的磁感應強度 等于多少？等于多少？a0qa0q0E0BaqaI00方向方向的分析是關鍵的分析是關鍵rdqdl241rdqdErEd/EdrIdl2sin4rIdldBrBd）（rlIdBd/lIdBdBd由于由于方向方向與與電荷元位置電荷元位置有有關關，因此需建立坐標，因此需建立坐標，分分解解 后，再積分后，再積分Ed由于由于方向方向與與電

4、流元位置電流元位置無無關關，因此可直接積分，因此可直接積分2sin4rIdlB220aI2sin200200aqE 電電學學磁磁學學必須記住的結論：必須記住的結論： 有限有限長長直直線（線（場場點與直線點與直線垂直垂直距離距離 ）a)cos(cos421aIB電流電流起起點點方方向向與與起起點點矢矢徑徑的夾角的夾角電流電流終終點點方方向向與與終終點點矢矢徑徑的夾角的夾角 中垂面上中垂面上22)2(4LaLaE22)2(4LaLaIB無限長無限長aE2aIB2 半半無限長無限長aIB4aEEyx4 延長線上延長線上0E0B方向：方向： ，與電流方向，與電流方向成右手螺旋。成右手螺旋。aB 中垂面

5、上中垂面上 （與（與 直線垂直）直線垂直）半半無限長無限長 與直線成與直線成 角角045延長線上延長線上直線/E 無限長無限長aE /電電學學磁磁學學 圓環(huán)圓環(huán)軸軸線上（線上（場場點到點到圓心圓心距離距離 ）x2/322)(21RxxRE2/3222)(2RxRIB圓心圓心0oERIBo2頂角頂角 圓圓弧弧22RIB頂角處方向：沿方向：沿軸向軸向方向：沿方向：沿軸向軸向， 與電流與電流 成成右右手螺旋手螺旋B電電學學磁磁學學解題類型：解題類型： 分段分段直直線、線、分段分段直線直線+ +圓弧圓弧的的線線狀體狀體解題方法：寫大小解題方法：寫大小 畫方向畫方向 建坐標建坐標 分解分解 正確求和正確

6、求和 nEE .1nEE.1解題方法：寫大小解題方法：寫大小 畫方向畫方向 建坐標建坐標 分解分解 正確求和正確求和 nBB .1nBB.1解題方法解題方法：取：取寬寬 的的無限長無限長直線、寫大小直線、寫大小 或或 、畫方向、建坐標、分解、畫方向、建坐標、分解 或或 、正確積分、正確積分dEdBEdBddladldE2方向：方向：aEd/ajdldB2方向：方向： 與電流成右手與電流成右手螺旋螺旋 aBd場場點到點到所取直線所取直線的的垂垂直距離，此時是直距離，此時是變變量。量。 電電學學磁磁學學解題類型：解題類型： 無限無限長的長的半半圓筒；圓筒；無限無限長平板長平板 （注意此時的作圖技巧

7、）（注意此時的作圖技巧）Bd例2 （1013）一無限長均勻帶電的一無限長均勻帶電的半半圓柱面。半徑為圓柱面。半徑為R R， 設設半半圓柱面上沿軸線單位長度上的電量為圓柱面上沿軸線單位長度上的電量為 ，試求，試求 軸線軸線上上一點的電場強度一點的電場強度 。 如果是電流強度為如果是電流強度為 的載流的載流半半圓柱面，圓柱面，軸線軸線上上一點一點 的磁感應強度的磁感應強度 等于多少？等于多少？ 如果是如果是圓柱面圓柱面，情況會怎樣？，情況會怎樣？EBIoo取取寬寬為為 的的無限長無限長直線直線dldlRdlRIIdlaIdB2aaBd與電流成右手螺旋與電流成右手螺旋Bd由于由于方向方向均均與無限長

8、直線位置與無限長直線位置有有關關，因此需建立坐標，因此需建立坐標，分解分解 、 后，再積分后，再積分EdBddladE2aaEd/EdRE02RIB2 如果是如果是圓柱面圓柱面，情況會怎樣？，情況會怎樣？帶電帶電圓柱面圓柱面載流載流圓柱面圓柱面SiqSdDSDlrSdD2EEDr0LiIrdHSHrrdH2HHBr0類似情況：類似情況： 寬度寬度 的無限長帶電、載流平板的無限長帶電、載流平板d電電學學磁磁學學解題類型：解題類型： 帶電帶電的有寬度圓環(huán)、圓盤、有圓的有寬度圓環(huán)、圓盤、有圓 孔的無限大平板孔的無限大平板軸線軸線上的場上的場解題方法：取半徑解題方法：取半徑 寬寬 的窄圓環(huán)、寫大小的窄

9、圓環(huán)、寫大小 或或 、沿、沿半徑半徑積分積分drrdEdB帶電體帶電體靜止靜止帶電體帶電體繞繞軸軸轉動轉動322)(42rxrdrxdEdEE22drrdI 3222)(2rxdIrdB周期總電量I22RdBB 無限大平板無限大平板2EjB2方向：方向：nqdxdx :dx所取薄層的厚度沿寬度（垂直電流沿寬度（垂直電流方向）單位寬度的方向）單位寬度的電流強度電流強度: j面電流密度面電流密度解題類型：解題類型：1 1、求有厚度的無限大平板的、求有厚度的無限大平板的電場強度電場強度 2dxdE 特別注意上、下限特別注意上、下限 見作業(yè)題見作業(yè)題 P P42421.201.20 nE/nBjB方向

10、：方向：與電流成右手螺旋與電流成右手螺旋 求無限大求無限大導體導體平板的各種問題平板的各種問題 見書中例題見書中例題 P P9898例例4.1 4.1 及上課例題及上課例題 高斯定理高斯定理安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理dVqSdDSiLiIrdH面面內電荷，內電荷，面面上場；上場；通量與電荷分布無關，通量與電荷分布無關，但場有關。但場有關。線線內電流、內電流、線線上場；上場；環(huán)流與電流分布無關，環(huán)流與電流分布無關，但場有關。但場有關。EEDr0HHBr0電電學學磁磁學學高斯定理高斯定理0SSdB環(huán)路定理環(huán)路定理LrdE0靜1 1、無限無限長長柱柱狀體（圓柱、狀體（圓柱、 圓筒、圓柱外套圓筒）圓筒、

11、圓柱外套圓筒） 高斯面高斯面：與柱同軸半徑：與柱同軸半徑 高高 、上、下有、上、下有 底的底的圓筒面圓筒面。 rh安培環(huán)路安培環(huán)路：與柱軸垂直、：與柱軸垂直、 半徑半徑 的的 圓周圓周。 r2 2、球球狀體（球體、球殼、狀體（球體、球殼、 球體外套球殼）球體外套球殼） 2 2、螺繞環(huán)、螺繞環(huán)高斯面高斯面：與球同心、半徑：與球同心、半徑 的球面。的球面。 r安培環(huán)路安培環(huán)路：與：與環(huán)軸環(huán)軸垂直、半垂直、半 徑徑 的圓周。的圓周。 r高斯高斯定理求定理求 安培安培環(huán)路定理求環(huán)路定理求 DH1 1、無限無限長長柱柱狀體（圓柱、狀體（圓柱、 圓筒、圓柱外套圓筒）圓筒、圓柱外套圓筒） rhDSdDS2L

12、rHrdH224rDSdDSLrHrdH23 3、無限大帶電平板、無限大帶電平板3 3、無限大載流平板、無限大載流平板高斯高斯定理求定理求 安培安培環(huán)路定理求環(huán)路定理求 DH4 4、無限長密繞螺線管、無限長密繞螺線管0外BnIB內 沿沿管長方管長方向向單位單位長度電長度電 流強度流強度:nILqnI2第三種求第三種求電場強度電場強度方法方法xExyEyzEz電電學學磁磁學學電偶電偶極矩極矩l qp磁磁矩矩SNIm通量通量：通過任一曲面的：通過任一曲面的通量等于通量等于通過同一曲面的通過同一曲面的力線根數力線根數閉合面內電荷閉合面內電荷代數和代數和為為零零時時0SSdE0SSdB任何情況任何情況

13、SedSEcosSmdSBcos電電學學磁磁學學例例4 4 (1286) (1286)真空中有一高為真空中有一高為h = 20cmh = 20cm，底面，底面 半徑半徑R = 10cmR = 10cm的圓錐體。在其頂點與的圓錐體。在其頂點與 底面中心連線的中點上置一底面中心連線的中點上置一q = 10q = 10-6-6C C的的 點電荷，求通過該圓錐體側面的電場點電荷，求通過該圓錐體側面的電場 強度通量。強度通量。q）（）（側24244222200hhRRhRqqe通量通量：通過任一曲面的：通過任一曲面的通量等于通量等于通過同一曲面的通過同一曲面的力線根數力線根數閉合面內電荷閉合面內電荷代數

14、和代數和為為零零時時0SSdE0SSdB任何情況任何情況SedSEcosSmdSBcos電電學學磁磁學學電容器電容器自感線圈自感線圈電容電容 QCUQQCUQIL自自感系數感系數dtdIL/與與介質、線圈形狀、介質、線圈形狀、大小均大小均有有關；關；但但與與電流強度電流強度無無關。關。與與兩導體形狀、尺寸、相對位兩導體形狀、尺寸、相對位置及兩導體間電介質置及兩導體間電介質有關有關。但但與與導體所導體所帶電量無關帶電量無關，電電學學磁磁學學平行板平行板電容電容 無限長密繞無限長密繞螺線管螺線管球球形電容形電容 柱柱形電容形電容 dSCr0)/ln(2120RRLCr122104RRRRCrnCC

15、CC111121 總nCCCC 21總串串聯聯 并并聯聯 SlnL2自感線圈串、并聯自感線圈串、并聯 互互感系數感系數121212IIMdtdI212dtdI121 互互感感M的計算的計算方法一方法一1B（1 1）設任一回路中電流強度為設任一回路中電流強度為I I1 1（2 2）求出該電流求出該電流I I1 1在另一回路（設為在另一回路（設為2 2）所圍面上）所圍面上 任一點的任一點的 的大小，判斷的大小，判斷方向方向，畫在圖上畫在圖上（3）求出通過回路求出通過回路2 2所圍面積的磁通量，所圍面積的磁通量，乘以該回乘以該回 路線圈匝數得全磁通路線圈匝數得全磁通21（4）用互感系數定義式求出用互

16、感系數定義式求出121IM121212IIM電電學學磁磁學學電容電容器儲存器儲存電電能能自感自感線圈儲存線圈儲存磁磁能能221LIWmCQWe221221CUQU21電容器上電容器上電量電量不變不變（充電后（充電后切斷電源，切斷電源，再改變電再改變電容值）時，容值）時，儲能與電儲能與電容值成容值成反反比比電容器上電容器上電電壓壓不變不變（充電后（充電后保保持與電源相連，持與電源相連， 再改變再改變電容值）時，電容值）時，儲能與電容儲能與電容值成值成正正比。比。電電學學磁磁學學BHBwm2122磁場能量磁場能量密度密度電場能量電場能量密度密度221EweDE21磁場磁場總總能量能量dVBWV22

17、電場電場總總能量能量dVEWV22磁場磁場所占空間的體積所占空間的體積（不是載流體不是載流體的體積）的體積）注意：注意：不同區(qū)域往往有不同不同區(qū)域往往有不同的磁感強度，不同的磁導率的磁感強度，不同的磁導率積分積分要要分段進行分段進行。電場電場所占空間的體積所占空間的體積（不是帶電體不是帶電體的體積）的體積）注意：注意：不同區(qū)域往往有不不同區(qū)域往往有不同的電場強度，不同的介同的電場強度，不同的介電常數，電常數，積分積分要要分段進行分段進行電電 勢勢 計計 算算電荷電荷元元rdqd41一、一、點點電荷電荷rq4二、疊加法二、疊加法)0()0( 點點電荷系電荷系 niiirq4 有限有限大帶電體大帶

18、電體 電荷分布范圍rdq4場源：場源：有有限大限大 零點：零點：無無窮遠窮遠)0()0(常見常見解題類型：直線、圓環(huán)解題類型：直線、圓環(huán)軸線上、圓弧等軸線上、圓弧等線線狀帶電體狀帶電體圓圓環(huán)軸環(huán)軸線上：線上：)(4122Rxq)0(圓圓面面 軸軸線上：線上：圓圓環(huán)環(huán)（無無寬度）寬度）（有有寬度）寬度）)(24122021rxrdrRRR或或)0(例6 (1424) 一底面半徑為一底面半徑為R R的圓錐體，錐面上均的圓錐體，錐面上均 勻帶電，電荷面密度為勻帶電，電荷面密度為 ，證明：錐頂，證明：錐頂O O點的點的 電勢與圓錐高度無關（設無窮遠處為電勢零電勢與圓錐高度無關（設無窮遠處為電勢零 點）

19、，其值為：點），其值為：02RUo解：解： 利用利用帶電帶電圓環(huán)的電勢圓環(huán)的電勢公式及公式及電勢電勢疊加原理解決此問題疊加原理解決此問題rdrr z 首先在距離首先在距離O O點任意位置點任意位置z z處處 取高為取高為dzdz的小圓環(huán)。的小圓環(huán)。zdzdzrdScostan2cos2面積面積oz 如圓錐高度為如圓錐高度為h h，O O點的電場強度點的電場強度 如圓錐繞軸線以勻角速度如圓錐繞軸線以勻角速度 轉動，轉動， O O點的磁點的磁 感應強度感應強度 磁矩磁矩?E?B?m)0(rq4內Rq4外（一一個）球個）球面面（多多個）球個）球面面ni1)0(三、用定義式三、用定義式電勢零點PPrd

20、Ecos（常見常見解題類型：解題類型：球球狀和狀和無限長柱無限長柱狀帶電體）狀帶電體） 球球狀帶電體：如題中無規(guī)定，取狀帶電體：如題中無規(guī)定，取0rPEdr注意注意分段分段積分積分 柱柱狀帶電體：狀帶電體：一定不能一定不能取無限遠電勢取無限遠電勢 = = 0電勢零點rPEdr注意注意分段分段積分積分 求求 、 兩點電勢兩點電勢差差 abbarrbaEdr（注意（注意分段分段積分）積分）無無需需零零點點（球球、柱柱帶電體）帶電體）例例6 6 一球面帶電一球面帶電Q，半徑為，半徑為R，球心處有一點電，球心處有一點電 荷荷q q，已知球面電勢為，已知球面電勢為 （相對無窮遠點），（相對無窮遠點），

21、則殼內任一點則殼內任一點P P的電勢的電勢 ，對否？，對否？ 試分析。試分析。aUaoPUrqU4錯錯QqR04aRqRQqQUUURRQrqUUUPQPqP0044aUrq04解一：解一：用疊加法用疊加法0U令 單獨存在時單獨存在時04PQRQQUURQ 單獨存在時單獨存在時04RqqURrqUPq04q例例6 6 一球面帶電一球面帶電Q，半徑為，半徑為R，球心處有一點電，球心處有一點電 荷荷q q，已知球面電勢為，已知球面電勢為 （相對無窮遠點），（相對無窮遠點）， 則殼內任一點則殼內任一點P P的電勢的電勢 ，對否？，對否？ 試分析。試分析。aUaoPUrqU4QqR錯0U令drEURa

22、外解二：解二：drrQqR204RQq04drEdrEURRrP外內drrQqdrrqRRr202044RQrq0044球面球面球面內球面內aUrq04零點零點零點xxyyzzzyxPPPPdzEdyEdxEbababaxxyyzzzyxbadzEdyEdxE電勢電勢電勢電勢差差（靜）（靜）電場力做功電場力做功babaabWWqA)(0（電勢能（電勢能差差） 外外力（力（克服靜電場克服靜電場力）作功力）作功= -= -（靜靜）電場力作功）電場力作功運動運動（受力受力）電荷電量）電荷電量 電電場力場力 點點電荷受力電荷受力AAEqF電流電流受力受力BlIdFdBl dIFLsinIdlBdF 寫

23、大小方向畫 Fd建坐標zyxdFdFdFFd 成分解對分量積分運動電荷運動電荷受力受力BVqF剛性剛性載流線圈載流線圈在在均勻均勻磁場中磁場中不受力不受力，但，但可能受力矩可能受力矩BmMnISmEqBVqF 磁磁場力場力qBmVRsinqBmT2TVhcos 電電磁磁場力場力電電場能量場能量電容電容器儲器儲電電能能電感電感器儲器儲磁磁能能QUCUCQWe21212122221LIWm電電場能量密度場能量密度221Ewe磁場能量密度磁場能量密度221Bwm電場能量電場能量dVEWVe221磁場能量磁場能量dVBWVm221電電通量通量 磁磁通量通量 SedSEcosSmdSBcos閉合面內電荷

24、閉合面內電荷代數和代數和為為零零時時0SSdE任何任何情況情況0SSdB磁磁場能量場能量電容電容QC平行板電容器平行板電容器球狀電容器球狀電容器柱狀電容器柱狀電容器自感系數自感系數ILnE0 靜電平衡特征靜電平衡特征 導體導體內內場強處處為零場強處處為零0內E 導體為等勢體，表面為等勢面導體為等勢體，表面為等勢面 導體表面場強導體表面場強 表面表面 導體導體內無內無電荷電荷， 電荷體密度電荷體密度0 電荷電荷只只能分布在能分布在表面表面上。上。 導體導體表面附近表面附近任一點的任一點的場強大小場強大小與與該點附近該點附近 導體表面的電荷導體表面的電荷面面密度成密度成正正比。比。 表面表面電荷分

25、布特點：電荷分布特點：總電荷總電荷與曲率半徑成與曲率半徑成正正比比 面密度面密度與曲率半徑成與曲率半徑成反反比比 導體靜電平衡時的導體靜電平衡時的帶電帶電特點：特點： 實心導體實心導體： 導體內無電荷，電荷體密度導體內無電荷，電荷體密度電荷分布在表面上。電荷分布在表面上。0 空腔導體空腔導體： 腔內腔內無無電荷：電荷：0內內表面無電荷表面無電荷電荷全部分布在電荷全部分布在外外表面上。表面上。 腔內腔內有有電荷電荷q，空腔導體帶電空腔導體帶電Q Q：0空腔導體空腔導體內表面內表面qq內表空腔導體空腔導體外表面外表面Qqq外表注意：只要是注意：只要是導體板導體板，必須，必須考慮厚度考慮厚度，每一表

26、面，每一表面 都有電荷且都有電荷且密度有可能不同密度有可能不同。*解題關鍵點解題關鍵點 當導體當導體沒有沒有與其它導體與其它導體接觸接觸時，電荷時，電荷分布分布可可變變，但，但 總電量不變總電量不變（電荷守恒）（電荷守恒） 導體內任意一點場強導體內任意一點場強 = 0= 0結論：結論： 最外側最外側的兩個表面電荷密度等值的兩個表面電荷密度等值同同號。號。 相對相對的兩個表面電荷密度等值的兩個表面電荷密度等值異異號。號。導體接地：導體接地： 無限大導體平板無限大導體平板與與地相連地相連的表面的表面不不帶電荷（面電荷密度帶電荷（面電荷密度 等于零）。等于零）。 球狀球狀導體導體0drE接地點半徑接

27、地點0接地點rdE內內球球接地接地：外外殼所帶總電量殼所帶總電量不不變，變，內內球所帶總電量球所帶總電量變變化化 但帶電，所帶電荷與外殼電荷但帶電，所帶電荷與外殼電荷異異號，電量小號，電量小 于外殼所帶電量。于外殼所帶電量。外球外球殼接地：球殼殼接地：球殼外表面不外表面不帶電帶電例例7 7 在不帶電的金屬球旁，有一點電荷在不帶電的金屬球旁，有一點電荷+q+q，距球，距球 心為心為 ，金屬球半徑為，金屬球半徑為R，求：，求：金屬球上感金屬球上感 應電荷在球心處產生的場強及此時球心處的應電荷在球心處產生的場強及此時球心處的 電勢電勢U；若金屬球接地，球上的凈電荷為若金屬球接地，球上的凈電荷為 多少

28、？多少？Rrq0qooEE感qooEE感204rqEo感解：解：金屬球上感應電荷在球心處產生的場強及金屬球上感應電荷在球心處產生的場強及 此時球心處的電勢此時球心處的電勢U；方向：方向：從球心指向從球心指向 的方向的方向qoqooUUU感rq04rRrq 若金屬球接地，球上的凈電荷為多少？若金屬球接地，球上的凈電荷為多少？設球上的凈電荷設球上的凈電荷QoqooUUU感04400rqRQqrRQ電電場變化場變化產產生生磁磁場場磁磁場變化場變化產產生生電電場場位移電流位移電流密度密度tEtDJ位移電流位移電流SdtESdtDISSddLdIrdH位移電流與其產位移電流與其產生的磁場的關系生的磁場的

29、關系SLSdtBl dE感運運動動電電荷荷產產生生磁磁場場24reVqBr七、七、霍耳效應霍耳效應(Hall Effect)bIBRnqbIBUHH 霍耳電勢差霍耳電勢差 霍耳系數霍耳系數nqRH1BIhbVmF 結論結論nUH1bUH1eFqUH1IUHBUHq導體或半導體導體或半導體板中板中單位體積單位體積中的載流子數中的載流子數（載流子濃度）（載流子濃度）導體或半導導體或半導體板沿體板沿 方方向的向的厚厚度度B霍爾效應霍爾效應霍爾電勢差霍爾電勢差nqbIBUH霍爾系數霍爾系數nqRH1 指向電勢指向電勢高高的表面時，的表面時，電流由電流由正正電荷運動形成。（電荷運動形成。（空穴型空穴型半導體）半導體）（BI 指向電勢指向電勢低低的表面時，的表面時，電流由電流由負負電荷運動形成。（電荷運動形成。（電子型電子型半導體）半導體）（BI法拉第