用MATLAB進(jìn)行拋體運(yùn)動(dòng)中的探討模擬概要

1、1)2)3)MATLAB在拋體運(yùn)動(dòng)中的探討 摘要 計(jì)算機(jī)在大學(xué)物理中的應(yīng)用已有二十多年的歷史，MATLAB語言是一種集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、可視化建模、 仿真和圖形處理等多種功能的高級(jí)語言。 使用 MATLAB模擬物理現(xiàn)象為我們解決問題提供 了一種新的方法，利用其方便的數(shù)值計(jì)算和作圖功能，可以方便的模擬一些物理過程。對(duì)于處理非線 性問題，既能進(jìn)行數(shù)值求解，又能繪制有關(guān)曲線，方便實(shí)用，基于其功能強(qiáng)大，界面友善，語言自然， 交互性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，已成為教學(xué)和科研中最基礎(chǔ)的軟件之一，利用其解決復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算問題，可以減 少工作量，節(jié)約時(shí)間，圖形繪制問題，真實(shí)直觀，可以加深理解，提高工作效率。 關(guān)鍵詞 MAT

2、LAB語言 拋體運(yùn)動(dòng) 空氣阻力 力學(xué) 圖形繪制一、 問題的提出MATLAB自推向市場以來，得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，在各高等院校中已經(jīng)成為線性 代數(shù)、自動(dòng)控制理論、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真、圖像處理等諸多課 程的基本教學(xué)工具，成為大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本技能，尤其在自動(dòng)控制 理論，是最具影響力、最有活力的軟件。 MATLAB提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè) 計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)、便捷的與其它程序和語言接口的功能。對(duì)于拋 體運(yùn)動(dòng)問題，通常需要聯(lián)立方程組，以及模擬它的路徑，運(yùn)動(dòng)過程中不同的時(shí)間對(duì)應(yīng)不同 的位置，利用數(shù)學(xué)去計(jì)算很繁瑣，手工繪圖誤差大，利用M

3、ATLAB可以很好地解決數(shù)值計(jì)算，模擬拋體運(yùn)動(dòng)的路徑。拋體運(yùn)動(dòng)的介紹拋體運(yùn)動(dòng)：將物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所作的運(yùn)動(dòng)，它 的初速度不為零，可分為平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)。物理上提出的“拋體運(yùn)動(dòng)”是一種理想化 的模型，即把物體看成質(zhì)點(diǎn)，拋出后只考慮重力作用，忽略空氣阻力。拋體運(yùn)動(dòng)加速度恒 為重力加速度，相等的時(shí)間內(nèi)速度變化量相等，并且速度變化的方向始終是豎直向下的。一般的處理方法是將其分解為水平方向和豎直方向，平拋運(yùn)動(dòng)水平方向是勻速直線 運(yùn)動(dòng)，豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng)，斜拋運(yùn)動(dòng)水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向是豎直上 拋運(yùn)動(dòng)，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解兩種情加速度及位移

4、等進(jìn)行相應(yīng)分 析。無論怎樣分解，都必須把運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和獨(dú)立作用原理結(jié)合進(jìn)行系統(tǒng)分解，即將初速 度、受力情、加速度及位移等進(jìn)行相應(yīng)分析。斜拋運(yùn)動(dòng)：水平方向速度 vx v0 cos豎直方向速度 vy v0 sin gt豎直方向位移y v0cos t112gt水平方向位移 x v0 cos t平拋運(yùn)動(dòng)：水平方向速度 vx v0豎直方向速度 vy gt(6)水平方向位移 x v0t(7)豎直方向位移 vy 1 gt 從上兩式消去 t ，便得質(zhì)點(diǎn)的軌跡運(yùn)動(dòng)方程 y xtan2gx 2 t ( 17)2v0cos2(8)合速度 vt vx vyv0 4 g t(9)合速度方向與水平夾角 ： tg vy g

5、tvx v0(10)22 合位移 s x y(11)位移方向與水平夾角 ：tg sys gt 2v(12)三、拋體運(yùn)動(dòng)的分析1 、斜拋運(yùn)動(dòng)的理論分析 忽略空氣阻力情況下的拋射體運(yùn)動(dòng)是普通物理學(xué)中的一個(gè)常見問題， 在高中物理教材 中已有涉及，解決該問題的方法較多，分析的角度也有不同，運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法也是從初等 數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)而不斷深入， 對(duì)該問題的分析往往是通過運(yùn)用各種力學(xué)原理， 推導(dǎo)出該運(yùn) 動(dòng)的射程，飛行高度，飛行時(shí)間以及飛行路徑曲線形狀等公式，但其數(shù)值求解過程比較復(fù) 雜，因此，對(duì)不具備較好高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)來說是較困難的。設(shè)某一拋射體的初速度為 v0，拋射角為 ，將其運(yùn)動(dòng)在 X,Y 軸上進(jìn)行正

6、交分解，水平方向速度 vx v0 cos( 13)豎直方向 vy v0 sin gt ( 14) 質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) (x,y)是 x(t) v 0 cos( )t( 15)12y(t) v0sin t 2gt2( 16)拋射體能達(dá)到的最大高度為22H v0 sin2g其到達(dá)最大高度所需時(shí)間為 T v0singsin 空中飛行時(shí)間為 t 2T 2v0sin g2拋射體的最大射程為 X v0sin2g(20)21)2它跟初速度 v0和拋射角 有關(guān)，在拋射角 不變的情況下， 射程 x與 v20成正比，所以射程隨初速度的增大而增大。在初速度 v0 不變的情況下，隨著拋射角 的增大，射程也增大，當(dāng) 45 度時(shí)

7、， sin2 1 ，射程達(dá)到最大值，以后隨著拋射角的增大，射程減小。 利用 MATLAB的繪圖功能，可以更直觀的體現(xiàn)上述結(jié)論。x=linspace(0,pi/2,100);g=10;v1=10;v3=20;v4=25;y1=v12*sin(2*x)/g; y2=v22*sin(2*x)/g; y3=v32*sin(2*x)/g; y4=v42*sin(2*x)/g; subplot(2,2,1);plot(x,y1);title( 'v0=10' text(pi/4,10, subplot(2,2,2); plot(x,y2););' 射程為 10' );%產(chǎn)生

8、行向量發(fā)射角 %重力加速度 %初速度取 10 %初速度取 20 %初速度取 25%初速度為%初速度為%初速度為%初速度為10 下的射程15 下的射程20 下的射程25 下的射程 號(hào)區(qū)title( 'v0=15'text(pi/4,22.5, subplot(2,2,3); plot(x,y3);title( 'v0=20' text(pi/4,40, subplot(2,2,4); plot(x,y4);title( 'v0=25' text(pi/4,62.5,);' 射程為 22.5');' 射程為 40' )

9、;);' 射程為 62.5'%選擇 2*2 個(gè)區(qū)的 %輸出初速度為 10 下的射程曲線 %加圖形標(biāo)題%在最大射程處加圖形說明 %選擇 2*2 個(gè)區(qū)的二號(hào)區(qū) %輸出初速度為 15 下的射程曲線 %加圖形標(biāo)題);%在最大射程處加圖形說明%選擇 2*2 個(gè)區(qū)的三號(hào)區(qū) %輸出初速度為 20 下的射程曲線 %加圖形標(biāo)題%在最大射程處加圖形說明 %選擇 2*2 個(gè)區(qū)的四號(hào)區(qū) %輸出初速度為 25 下的射程曲線 %加圖形標(biāo)題%在最大射程處加圖形說明);程序運(yùn)行結(jié)果如圖 1 所示。2、斜拋運(yùn)動(dòng)解決實(shí)際問題求解最大飛行路徑所對(duì)應(yīng)的拋射角問題(空氣阻力忽略不計(jì)) ，如圖 2 所示， X,Y 坐 標(biāo)

10、軸分別代表拋射體的射程與射高，在 x,y 處，設(shè)在某一微小時(shí)段內(nèi)拋射體的路徑變量圖 1 射程與拋射角、初速度的關(guān)系22)23)(24)25)26)27)為dt ，其對(duì)應(yīng)的水平及豎直方向的變量為 dx與dy，則 dLdx根據(jù)前面的推論， R v0 sin(2 ) g其中 v0為拋射的初始速度， 為拋射角 ，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，有 x (v0c o s)t12y 2gt 2 (v0sin )t 從( 24)、(25)中消除 t ，我們可得到該運(yùn)動(dòng)的拋物線方程：y12(v0cgos )2 x2xtg dy2設(shè)射程為 R，則飛行路徑長度dy)2dxdx從( 24)中可知，為求解 L,先得求出 dy ，因此

11、在( 4)式兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)，得： dx(v0cos )2 xxtg將(27)代入式( 24)，等式兩邊同時(shí)積分，便得到了飛行路徑長度與拋射角之間的關(guān)系：L( )v0 sin2cos ln1 sincos29)根 據(jù) 式 ( 28 )， 為 求 得 L 的 最 大 值 ， 將 ( 28 ) 兩 邊 同 時(shí) 對(duì) 求 導(dǎo)L'( ) 2v0 cos 1 sin ln30)令 L'( ) 0 ，可得到最大飛行路徑所對(duì)應(yīng)的拋射角的大小，但解此方程是比較困難的。為此，我們采用 MATLAB的函數(shù)運(yùn)算功能來解決這一問題。 程序如下，設(shè)其中的拋射初速度 v0 10ms， g 9.8ms2 x

12、=(0:pi/100:pi/2);%產(chǎn)生行向量 xy1=(sin(x)+(cos(x).*cos(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*100/9.8;%飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)關(guān)系 y2=cos(x).*(1-sin(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*200/9.8;%飛行路徑對(duì)拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系 m=(sin(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi/6)*log(1+sin(pi/6)/cos(pi/6)*100/9.8;%拋射角取某一特定值時(shí)飛行路徑值 n=cos(pi/3)*(1-sin(pi/3)*log(1+sin(pi/3)/co

13、s(pi/3)*200/9.8;%拋射角取某一特定值時(shí)飛行路徑一階導(dǎo)的值plot(x,y1, 'b:' );%輸出飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)表達(dá)式hold on;%設(shè)置圖形保持狀態(tài)plot(x,y2, 'k');% 輸出飛行路徑對(duì)拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表達(dá)系hold off;%關(guān)閉圖形保持text(pi/6,m,'y1' );%在指定位置添加圖例說明text(pi/3,n,'y2' );%在指定位置添加圖列說明grid;%網(wǎng)格線控制運(yùn)行結(jié)果如圖2 所示。圖 2 給出了飛行路徑隨拋射角的變化曲線 L( ) 及飛行路徑曲線的斜度

14、L'( ) ，從圖中可以得到，當(dāng) 0.9855(弧度)時(shí)，即 56.49 度時(shí)，飛行路徑最大，2此時(shí) L 1.21v0g( 31)我們知道，在不考慮空氣阻力的情況下，當(dāng)拋射角45 度時(shí)，其射程最遠(yuǎn)，但此時(shí)其飛行路徑并不是最遠(yuǎn)，而是當(dāng)拋射角 56.49 度時(shí)，其飛行路徑最遠(yuǎn)，且其長度約為L 1.21v0 實(shí)際上，由于空氣阻力的存在，拋射體在空中是沿導(dǎo)彈曲線（彈頭飛行時(shí)其 g，重心所經(jīng)過的路線）飛行的，它與拋物線不同，它的升弧與降弧不對(duì)稱，在重力與空氣阻 力的共同影響下，彈道形成不均等的圓弧，升弧較長而直伸，降弧較短而彎曲 . 斜拋射出 的炮彈的射程和射高都沒有按拋體計(jì)算得到的值那么大，路

15、線也不是理想曲線。圖 2 拋射角與飛行路徑及其一階導(dǎo)數(shù)曲線圖 物體在空氣中受到的阻力，與物體運(yùn)動(dòng)速度大小有密切聯(lián)系，速度越小，越接近理想 情況，當(dāng)物體速度低于 200 米每秒時(shí)，阻力與物體速度大小的平方成正比，速度介于 400 至 600 米每秒之間時(shí)，空氣阻力與速度大小的三次方成正比，在速度很大的情況下，阻力 與速度大小的高次方成正比。3 、拋射角為 90度的特殊拋體運(yùn)動(dòng) 一彈性小球，初始高度 h=10m,向上初速度 v0=15 米每秒，與地面碰撞的速度衰減系 數(shù) k=0.8 ，試計(jì)算任意時(shí)刻球的位置和速度。高度與時(shí)間的關(guān)系： ddt2y g， ddyt v速度與時(shí)間關(guān)系：對(duì)等式兩邊積分，d

16、v有 dvgdt ， v v0 gtdyvdt ，y y0 v0t 12 gt 232)33)34)35)由此可得數(shù)學(xué)方程： 第一次落地前：y h v01t gt 237)T1 3.62s38)第二次落地前：39)第三次落地前：第 n 次落地前：v02k(v01 gT1)v v0n gtTn 2v0n g 如用手工進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量極大，利用 MATLAB編程如下： v0=15;%初速度（40）（ 41）（ 42）（43）（44）（45）（46）（47）（48）（49）（ 50）h=10;%初始高度g=-9.8;%重力加速度k=0.8;%衰減系數(shù)T=0;%落地時(shí)間for t=0:0.05:20%

17、 產(chǎn)生時(shí)間的行向量v=v0+g*(t-T);%求速度y=h+v0*(t-T)+g*(t-T)2/2;%求高度if y<=0%循環(huán)判斷條件v0=-k*v;%衰減的速度T=t;%求球每次落地所用時(shí)間h=0;%將高度變零end%選擇結(jié)構(gòu)結(jié)束subplot(1,2,1);%選擇 1*2 中的一號(hào)區(qū)pause(0.1);%延緩plot(1,y, 'or' , 'MarkerSize',10, 'Markerface' ,1,0,0);%輸出求球的運(yùn)動(dòng)圖像title( ' 運(yùn)動(dòng)變化圖 ' );%圖形名稱axis(0,2,0,25);%坐

18、標(biāo)控制subplot(2,2,2);%選擇 2*2 中的二號(hào)區(qū)axis(0,20,-25,30);%坐標(biāo)控制grid on;%不畫網(wǎng)格線plot(t,v, '*r' , 'MarkerSize',2）;%畫球的速度曲線xlabel( ' 時(shí)間 t' );%坐標(biāo)軸說明ylabel( ' 速度 v' );%坐標(biāo)軸說明title（ ' 速度變化趨勢(shì)圖 ' ）;%圖形名稱hold on;%設(shè)置圖形保持狀態(tài)subplot(2,2,4);%選擇 2*2 中的四號(hào)區(qū)axis(0,20,0,25);%坐標(biāo)控制grid on;%不加

19、網(wǎng)格線plot(t,y, '*b' , 'MarkerSize',2）;%畫球的位置曲線xlabel( ' 時(shí)間 t' );%坐標(biāo)軸說明ylabel(' 高度 y' );%坐標(biāo)軸說明title( ' 位置變化圖 ' );%圖形名稱grid on%不加網(wǎng)格線hold on%設(shè)置圖形保持狀態(tài)end%循環(huán)結(jié)束程序運(yùn)行結(jié)果如圖 3所示。4、對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的分析 將物體用一定的初速度沿水平方向拋出， 不考慮空氣的阻力， 物體只在重力作用下所 做的運(yùn)動(dòng)，叫做平拋運(yùn)動(dòng)。豎直的重力與速度方向有夾角，做曲線運(yùn)動(dòng)；水平方向不受外力作用，是

20、勻速運(yùn)動(dòng)， 速度為 Vo；豎直方向受重力作用，沒有初速度，加速度為重力加速度 g, 是自由體運(yùn)動(dòng)。 即做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，在水平方向上由于不受力，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上的物 體的初速度為 0. 且只受到重力作用，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為 g。平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：1、拋出 t 秒末的速度： 一拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x 軸（正方向和初速度 V0 的方向相同）， 豎直方向?yàn)?y 軸，正方向向下，則： 水平分速度： Vx=Vo（51）豎直分速度：Vy=gt（ 52）53)54)合速度： Vt= Vx2 Vy2tan =Vy = gtVx Vo運(yùn)用MATLA編B程得到速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，

21、程序如下：圖3t=0:0.01:10;Vt=-sqrt(102+9.8*t.2); plot(t,Vt);title( ' 物體速度隨時(shí)間的變化 grid 運(yùn)行結(jié)果如圖 4 所示。小球落地速度及位置曲線%產(chǎn)生時(shí)間的行向量%求速度%輸出速度曲線% 圖形名稱%加網(wǎng)格線' );2、平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻 t 的位置坐標(biāo)： 水平位移： x=Vot 豎直位移：y= 1 gt2255)56)合位移：s= x2 y257)tan = y = gtx 2Vo運(yùn)用該公式， 我們可以求得物體在任意時(shí)刻的坐標(biāo)并找到物體所在位置后，58)再用平滑曲線把這些點(diǎn)連起來，就得到平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡。運(yùn)用 MAT

22、LAB編 程的到物體運(yùn)動(dòng)的曲線的程序如下：t=0:0.01:10;s=-sqrt(3*t).2+(0.5*9.8*t.2).2);plot(t,s, 'r:' );title( ' 物體平拋運(yùn)動(dòng)軌跡 ' );%產(chǎn)生時(shí)間行向量%求位移%輸出位移曲線%圖形名稱grid%加網(wǎng)格線運(yùn)行結(jié)果如圖 5所示。圖4 平拋運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化關(guān)系圖 5 物體平拋軌跡曲線四、結(jié)論從以上對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的分析可得出這些結(jié)論：1、拋射體的射程與初速度和拋射角有關(guān)，在拋射角不變的情況下，射程隨初速度的 增大而增大，在拋射角不變的情況下，射程隨拋射角的增大而增大，當(dāng)拋射角達(dá)到四十五 度時(shí)射程達(dá)到最

23、大值，之后射程隨著拋射角的增大而減小。2、拋體運(yùn)動(dòng)的分析牽扯到很多復(fù)雜的推理與計(jì)算， MATLAB可以有效的解決這一問題， MATLAB的數(shù)值計(jì)算和作圖功能來模擬物理現(xiàn)象，減少了計(jì)算工作量，并且可以準(zhǔn)確的得 到計(jì)算結(jié)果，且繪制的圖形使抽象的問題形象化。五、課程體會(huì)1、一學(xué)期的 MATLAB課程的學(xué)習(xí)即將結(jié)束，忙碌的同時(shí)也收獲了很多。在準(zhǔn)備期末 論文之前有時(shí)會(huì)抱怨自己的課后作業(yè)相比其他班級(jí)偏多， 但在寫作過程中可以明顯感覺到 平時(shí)的作業(yè)對(duì)自己的學(xué)習(xí)有很大的作用， 一些基本的函數(shù)語句不用再查閱書籍， 有困難的 地方，不確定的函數(shù)語句可以很快在課本上找見。期末2、在理論知識(shí)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的教學(xué)模式下測(cè)評(píng)以論文的形式，可以很好的檢測(cè)這學(xué) 期的學(xué)習(xí)情況，每個(gè)語句的編寫鞏固了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提高了自己的邏輯思維能力，對(duì)于有 疑問的知識(shí)點(diǎn)，編寫時(shí)不斷的翻閱書籍與請(qǐng)教他人，也