代數(shù)方法第一章 多項式

1、 多項式理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，多項式理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，雖然它在高等代數(shù)課程中是一個相對獨立而自雖然它在高等代數(shù)課程中是一個相對獨立而自成體系的部分，但卻為高等代數(shù)所講述的基本成體系的部分，但卻為高等代數(shù)所講述的基本內(nèi)容提供了理論依據(jù)。多項式理論中的一些重內(nèi)容提供了理論依據(jù)。多項式理論中的一些重要定理和方法，在進一步學習數(shù)學理論和解決要定理和方法，在進一步學習數(shù)學理論和解決實際問題時常要用到。因此，在學習這部分內(nèi)實際問題時常要用到。因此，在學習這部分內(nèi)容時，要正確地掌握概念，學會嚴謹?shù)赝茖Ш腿輹r，要正確地掌握概念，學會嚴謹?shù)赝茖Ш陀嬎?。計算。重點、難點解讀重點、難點解讀 本章

2、對多項式理論作了較深入、系統(tǒng)、全面地論述，本章對多項式理論作了較深入、系統(tǒng)、全面地論述，內(nèi)容可分為一元多項式與多元多項式兩大部分，以一元內(nèi)容可分為一元多項式與多元多項式兩大部分，以一元多項式為主。多項式為主。 一元多項式可歸納為以下四個方面：一元多項式可歸納為以下四個方面： （1）一般理論：包括一元多項式的概念、運算、導）一般理論：包括一元多項式的概念、運算、導數(shù)及基本性質(zhì)。數(shù)及基本性質(zhì)。 （2）整除理論：包括整除、最大公因式、互素的概念）整除理論：包括整除、最大公因式、互素的概念與性質(zhì)。與性質(zhì)。 （3）因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解、）因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解、重因

3、式、實系數(shù)與復系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多重因式、實系數(shù)與復系數(shù)多項式的因式分解、有理系數(shù)多項式不可約的判定等。項式不可約的判定等。 （4）根的理論：包括多項式函數(shù)、多項式的根、代）根的理論：包括多項式函數(shù)、多項式的根、代數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根求法、根與系數(shù)數(shù)基本定理、有理系數(shù)多項式的有理根求法、根與系數(shù)的關系等。的關系等。 一元多項式的內(nèi)容十分豐富，重點是整除與因式分一元多項式的內(nèi)容十分豐富，重點是整除與因式分解的理論，最基本的結(jié)論是帶余除法定理、最大公因式解的理論，最基本的結(jié)論是帶余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在學習的過程中，如存在定理、因式分解唯一性

4、定理。在學習的過程中，如能把握這兩個重點和三大基本定理，就能夠整體把握一能把握這兩個重點和三大基本定理，就能夠整體把握一元多項式的理論。元多項式的理論。 對于多元多項式，則要理解對于多元多項式，則要理解 元多項式、對稱多項元多項式、對稱多項式等有關概念，掌握對稱多項式表成初等對稱多項式的式等有關概念，掌握對稱多項式表成初等對稱多項式的多項式的方法。多項式的方法。n1.數(shù)域與一元多項式的概念數(shù)域與一元多項式的概念2.多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3.互素、不可約多項式、重因式與重根互素、不可約多項式、重因式與重根.4.多項式函數(shù)、余數(shù)定理

5、、多項式的根及性質(zhì)多項式函數(shù)、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì).5.代數(shù)基本定理、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解代數(shù)基本定理、復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解.6.本原多項式、本原多項式、Gauss引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、引理、有理系數(shù)多項式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根.7.多元多項式及對稱多項式、韋達多元多項式及對稱多項式、韋達(Vieta)定理定理.考綱要求考綱要求 1.1 一元多項式的概念一元多項式的概念1、一元多項式的概念、一元多項式的概念形式表達式形式表達式 1110nnnnf xa xaxa xa稱為數(shù)域稱為數(shù)域P

6、上文字上文字 的一元多項式，其中的一元多項式，其中x01,na aaP 是非負整數(shù)。當是非負整數(shù)。當 時，稱多項式時，稱多項式 的次數(shù)為的次數(shù)為n. n0na f x記為記為 .f xn2、多項式的相等關系、多項式的相等關系設設 1110nnnng xb xbxb xb 1110nnnnf xa xaxa xa 0,1,2,iif xg xab in則則3、次數(shù)公式、次數(shù)公式 （1） max,;f xg xf xg x （2） .f x g xf xg x 4、一元多項式環(huán)、一元多項式環(huán) 所有系數(shù)在數(shù)域所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式全體稱為數(shù)域中的一元多項式全體稱為數(shù)域P上的一元多項式環(huán)，記為

7、上的一元多項式環(huán)，記為 ，稱，稱P為為 的系數(shù)域。的系數(shù)域。 P x P x5、一元多項式環(huán)的有關結(jié)論、一元多項式環(huán)的有關結(jié)論 多項式的加、減、乘運算對多項式的加、減、乘運算對 封閉，且多項式的封閉，且多項式的加法、乘法均滿足交換律與結(jié)合律，乘法對加法滿足分加法、乘法均滿足交換律與結(jié)合律，乘法對加法滿足分配率，乘法還滿足消去律。配率，乘法還滿足消去律。 P x 例例1、（湖北大學，、（湖北大學，2000）令）令 504948475049.1.1f xxxxxxxxx求求 的奇次項系數(shù)之和。的奇次項系數(shù)之和。 f x 解解 法法1 由于由于51504911.1 xxxxx515049484711

8、.1 xxxxxxx兩式相乘得兩式相乘得 102211xxf x 由于由于 與與 無奇次項，從而無奇次項，從而 不可能有奇不可能有奇次項，故其奇次項系數(shù)之和等于零。次項，故其奇次項系數(shù)之和等于零。1021x21x f x 法法2 因為因為 ，所以，所以 是偶函數(shù)，于是偶函數(shù)，于是是 的奇次項系數(shù)全為零。故其奇次項系數(shù)之和等的奇次項系數(shù)全為零。故其奇次項系數(shù)之和等于零。于零。 f x f x fxf x例例2（河南大學）設（河南大學）設 為一多項式，若為一多項式，若fx f xyf xfy則則 或或 0f x 1.f x 證證 若若 ，則證畢。若，則證畢。若 ，由于，由于 0f x 0f x 2

9、2fxf xxf xf xfx所以所以 只能是零次多項式。只能是零次多項式。 f x令令 ，又因為，又因為 0f xA 220000AfffA所以所以 ，此即，此即 1.f x 1A 1.2 一元多項式的整除一元多項式的整除v例4(利用整除的定義）v例5v例6 v例7v例8含單位根多項式的整除含單位根多項式的整除例例9、 證明證明 （ 是是三個任意的正整數(shù)）。三個任意的正整數(shù)）。 2331321mnpxxxxx, ,m n p 分析分析 用帶余除法及待定系數(shù)法不易證明時，可以用帶余除法及待定系數(shù)法不易證明時，可以考慮采用因式定理來證明，即考慮采用因式定理來證明，即 的充分必要的充分必要條件是條

10、件是 xaf x 0.f a 證證 可求得可求得 的根為的根為21xx121313,22ii 所以所以 ，又由，又由2121xxxx 3211101,2iiiii 知知 ，從而，從而31i3331.mnpiii設設 33132,mnpf xxxx則有則有331322101,2mnpiiiiiifi 故由因式定理知故由因式定理知 且且 ，又因為，又因為 1xf x 2xf x1x2x且且 互素，從而互素，從而 12xxf x即即 21.xxf x 注注 本例證明中，本例證明中， 是指在復數(shù)是指在復數(shù)域域C上，而命題本身可理解為在一般數(shù)域上，而命題本身可理解為在一般數(shù)域P上討論整除問上討論整除問題

11、。這是因為整除的概念是在帶余除法基礎上定義的，題。這是因為整除的概念是在帶余除法基礎上定義的，而帶余除法所得的商及余式不隨系數(shù)域的擴大而改變，而帶余除法所得的商及余式不隨系數(shù)域的擴大而改變，因此，上述多項式在因此，上述多項式在P上與在上與在C上整除是一致的。上整除是一致的。 12xxf x v例11 1.3 最大公因式與互素的求法與證明最大公因式與互素的求法與證明v例4 v例5 例例7、設、設 都是都是 中的非零多項式，且中的非零多項式，且 ,f xg x P x 1,mg xsx gx這里這里 ，又若，又若1m 1,1s xgx且且 。證明：不存在。證明：不存在 ，且，且 s xf x 1,

12、fxr xP x 0,r xr xs x 使使 111mmf xr xfxg xsxsx gx 11f xr x gxfx s x 證證 用反證法。若存在用反證法。若存在 使式使式成立，則成立，則用用 乘式乘式兩端，得兩端，得 1,fxr x g x因為因為 ，由式，由式有有 1,s xf xs xfx s x 1.s x r x gx但但 ，所以，所以 ，這與，這與 1,1s xgx s x r x r xs x 矛盾。矛盾。1.4 多項式的分解與根問題多項式的分解與根問題(廣西師大廣西師大1997年）年） 例例5、設復系數(shù)非零多項式、設復系數(shù)非零多項式 沒有重因式，證明：沒有重因式，證明：

13、 f x ,1f xfxf x 證證 因為因為 無重因式，所以無重因式，所以 f x ,1.fxf x任取任取 與與 的公因式的公因式 ，則，則 f xfx f x x xf xfx且且 xf x于是于是 xf xfxf x即即 .xfx即即 是是 與與 的公因式，從而的公因式，從而 。故。故 x f x fx 1x ,1f xfxf x 例例6、當正整數(shù)、當正整數(shù) 取何值時，取何值時， 有有重因式。重因式。n 11nnf xxx 解解 ，由重因式判定定理知，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要條件是有重因式的充分必要條件是 與與 不互素，即不互素，即 與與 有公共根有公共根 ，于是，于是 111nnfxn xnx f x f x f x fx fx 110nnf 1110nnfnn即即1111,1,nnnn從而從而1111111nnnn 可得可得111,11,nn這表明這表明 與與 都是都是 次單次單11n位根。位根。令令 ，則，則abi11.abi 由由 得得11222211.abab所以所以 。于是。于是 ，即，即 是是3次單位次單位 13,22ab 1322i 根，故根，故31 .n1.5 復、實及有理數(shù)域上多項式的分解復、實及有理數(shù)域上多項式的分解2v不可約多項式的判別方法v1 反證法 ,g xh x其中其中 是整系數(shù)多項式，且是整系數(shù)多項式，且 ,.g xnh xn