基本不等式(很全面)

1、基本不等式【知識框架】1、基本不等式原始形式（1 ）若 a.b e R » 貝lj a1 +b2 > lab（2 ）若乙,be/?,則2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 w R*,則 4 +3、基本不等式兩個重要變形（1 ）若 a,b w R',則（2）若凡beR,貝IJ總結：當兩個正數(shù)積為定植時，它們和有最小值； 當兩個正數(shù)和為定植時，它們積有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當。=時取“二”4、求最值條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論（1）若x>0,則（當且僅當x = l時取 J”）（2）若<0,則（當且僅當x = T時取J”）（3）若他&

2、gt;0,則（當且僅當時取" 二 ”）（4）若a,bwR,貝IJ,公（手尸三子（5）若 a,bwR ,則_K疝I、11"" 2 "V 2一十一 a h特別說明：以上不等式中，當且僅當時取 1 / 146、柯西不等式（1） 若ahc,dwR,貝尸）（°2+，）之（4+兒廳（2）若,。2，。3,4也也eR ,則有:（"J +42 +%2）（1 始 +02 +2）之+42 +&2）2（3）設q,小，,"”與后也,也是兩組實數(shù)，則有（。 ）（斤 +b； h 卜“：）2（<他 + a2b2 + ”也【題型歸納】型一：利用

3、基本不等式證明不等式 題目1、設4,。均為正數(shù)，證明不等式：J法2題目2、已知4, ,C為兩兩不相等實數(shù)，求證：a2 +Z?2 +c2 >ab + bc + ca題目3、已知4+/?+c = l,求證:題目 4、 已矢口也ce/T, Ra+b + c = , 求證：(l-t/)(l-Z?)(l-c)>8c題目 5、已知 4 也 ce/r,且 a+b+c = l,求證:I1 |-1 II i-1 |>8題目6、(新課標H卷數(shù)學(理)設均為正數(shù)，且+"c = l,證明: (I)；(H).題型二：利用不等式求函數(shù)值域題目1、求下列函數(shù)值域(1 )( 2 ) y = x(4

4、 - x)(3)(4)題型三：利用不等式求最值(一)(湊項)1、已知x>2,求函數(shù)最小值;變式1:已知x>2,求函數(shù)最小值;變式2:已知x<2,求函數(shù)最大值;變式3:已知x<2,求函數(shù)最大值;練習：1、已知，求函數(shù)最小值;題目2、已知，求函數(shù)最大值;型四:利用不等式求最值(二)(湊系數(shù))題目1、當0門<4時,求y = x(8-2x)最大值;變式1：當時，求y = 4x(8-2x)最大值;變式2:設，求函數(shù)y = 4x(3-2x)最大值。題目2、若0<x<2,求y = Jx(6-3x)最大值;變式：若0 vxv4 ,求y = Jx(8-2x)最大值;題目

5、3、求函數(shù))，=在口+后右(；<x<|)最大值;變式：求函數(shù))，="二+尸石(上<X<U)最大值; 44題型五：巧用“1”代換求最值問題題目1、已知力>0,4 +力=1 ,求/ = L + 1最小值; a b變式1:已知a,。>0, + 2Z? = 2,求/ = + ；最小值; a b變式2：已知，求個最小值；變式3:已知x,y>0,且! + ' = 9,求x + y最小值。 x ）'變式4:已知x,y>0,且，求x+y最小值；變式5：（1）若x,y>0且2x+y = 1,求最小值;（2）若巴瓦.且,求x+y最小值

6、；變式6:已知正項等比數(shù)列仙滿足7 =% + 2%,若存在兩項金4，使得Jq“a“ =4%，求最小值；變式7：若正數(shù)x, p滿足x+3y=5,則3x+4y最小值是（）C. 5 D. 6變式8：設“>0/>0.若G是3a與3b的等比中項，貝口+工最小值為（）. a bA. -B. 1C. 4D. 84變式9:已知且 +。= 2,則最小值為變式10:已知Ovxvl, 00,。>0,求最小值.變式11:求最小值變式12：已知，求函數(shù)最小值變式設正實數(shù)滿足2,吟唱最小值為變式14：【2013天津理】設a + b=2, b>0,則當a= 時，取得最小值.變式15:設滿足a+b =

7、 2 ,則最小值為變式16:已知凡be R+且2a+b = l，則最小值是題型六：分離換元法求最值（了解） 題目1、求函數(shù)值域;X+1變式：求函數(shù)值域;題目2、求函數(shù)最大值;變式：求函數(shù)最大值;型七：基本不等式綜合應用題目1、已知log? 4 +log/*1 ,求3。+9"最小值題目2、已知4步>0,求最小值;變式1: （2010四川）如果心>0,求關于力表達式最小值；變式2：（ 2012湖北武漢診斷）已知，當4>0,4,1時,函數(shù)y = loga（X-l） + l圖像恒過定點4,若點A在直線如-y + =。上，求” + 2"最小值；變式3:【2017天津

8、】若a,帥>0,則最小值為題目3已知x,y>0, x + 2y + 2xy = 8 »求x + 2y最小值；變式1:已知a,b>0,滿足ab = a+b+3,求他范圍;9/14變式2:已知x,y。，求學最大值；（提示：通分或三角換元）變式3:已知x, y > 0 , a2 + y2 +xy = y 求取最大值;題目4、（2013年山東（理）設正實數(shù)x,y,z滿足犬-3個+ 4/-z = O,則當把取 z得最大值時,最大值為（）（）A. 0 B. 1 C. - D. 34變式：設工是正數(shù)，滿足x-2y + 3z =。，求上最小值; xz丘型八：利用基本不等式求參

9、數(shù)范圍 題目1、已知x,y。，且恒成立，求正實數(shù)最小值;14 / 142、已知x>y>z>0且恒成立，如果 eN求最大值；(參考：4 )變式：已知a/>0滿則，若4 + />c恒成立,求c取值范圍;題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式若 a,b,c,d w R(a, b. c, d e R、當且僅當色=9；即ad = Z?c時等號成立) c a(a2 +Z72)(c2 +d2)>(ac + bd)22、二維形式柯西不等式變式+ yjC2 +(12 >ac + bd(a, b. c. d e R,當且僅當色=烏；即ad = Ac時等號成立) c

10、 aJ2 S + / N依+ M (a,b,c,deR,當且僅當/ = ,；即4d=反時等號成力(3)(a + /?)(c + d) > (yfac + ybd)2（a,氏c,d20,當且僅當口 = c即nd =即時等號成立）3、二維形式柯西不等式向量形式2萬（當且僅當/=/或存在實數(shù)心使屋攵萬時，等號成立）4、三維柯西不等式若%嗎,%，4也也eR,則有：+/2 +%2）（/;+&2）之（4 +4% +%4）2 （q.也eR,當且僅當* =會=*時等號成立）A打打5、一般維柯西不等式設,生，必與瓦也，也是兩組實數(shù)，則有：（。）3； h卜bj）N （他 +%b2 Tba也）2（qM

11、eR,當且僅當察=等=在時等號成立） 4 b2 bn【題型歸納】題型一：利用柯西不等式一般形式求最值題H 1、設x,y,zeR,若入二+）+ z? =4 ,則x-2y+ 2z最小值為 時,（x,y,z）= 析：（x-2y + 2力2 （x2 +y2 + Z2）l2+ （-2）2 + 22= 4x9 = 36* x-2y + 2z最小值為-6此時UL = J.一二1 -2 2 -+（2）2+2?3題目2、設x,y,z £ R , 2x-）2z = 6 ,求x2 +/ +z?最小值加，并求此時x,y,z之值。4 2 4Ans: m = 4;(x, y,z)= wX題目 3、設 x,y,zeR ,2x-3y + z = 3 ，求 x2+(y-l)2 + z2 之最小值，此時嚴(析:2x-3y + z = 3 0 2x-3(y-l) + z = 0)(Ans: 12 )題 R 4、已知 a也ce,a + 2 +3c