微分方程部分講課件

1、 微分方程模型微分方程模型1 1 人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)2 傳染病模型傳染病模型3 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)控制人口過(guò)快增長(zhǎng)

2、1. 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時(shí)刻時(shí)刻t的人口的人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對(duì)相對(duì))增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率年增長(zhǎng)率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口

3、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率人口增長(zhǎng)率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對(duì)

4、人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長(zhǎng)率固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型

5、作人口用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)）百萬(wàn)） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)用模型計(jì)算用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較/ )1990(

6、1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實(shí)際為實(shí)際為281.4 (百萬(wàn)百萬(wàn))5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費(fèi)品的售量如耐用消費(fèi)品的售量) )阻滯增長(zhǎng)模型阻滯增長(zhǎng)模型( (Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.02. 傳染病模型傳染病模型問(wèn)題問(wèn)題 描述傳染病的傳播過(guò)程描述傳染病的傳播過(guò)程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受

7、感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidt

8、di1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為為 , 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻 (日接觸率日接觸率)

9、 tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無(wú)免疫性傳染病無(wú)免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)

10、接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長(zhǎng)按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)

11、療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時(shí)當(dāng)BKK,1/000勞動(dòng)

12、力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件dtdyyfdtdZ104. 4. 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進(jìn)入機(jī)體形成藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) ) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計(jì)給藥方案設(shè)計(jì) 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程 藥物動(dòng)力學(xué)藥物動(dòng)力學(xué) 建立建立房室模型房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟 房室房室機(jī)體的一

13、部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假設(shè)模型假設(shè) 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，藥物在房室間轉(zhuǎn)移速

14、率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()

15、()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見(jiàn)的給藥方式幾種常見(jiàn)的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時(shí)注射劑量瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室的藥物進(jìn)入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和初始條件和初始條件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkV

16、BAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n