級(jí)數(shù)求和的常用方法

1、1.7方程式法3 1.8原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和3 1.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和3 1.10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和4 1.11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)4 1.12構(gòu)造函數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)和5 1.13級(jí)數(shù)討論其子序列5 1.14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和6 1.15裂項(xiàng)+分拆組合法7 1.16夾逼法求解級(jí)數(shù)和72函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和82.1方程式法82.2積分型級(jí)數(shù)求和82.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和92.4逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和92.5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)102.6利用傅里葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和102.7三角級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和112.8利用三角公式化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)122.9針對(duì)2.7的延伸122.10添加項(xiàng)處理系數(shù)122.

2、11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)和132.12利用Beta函數(shù)求級(jí)數(shù)和14參考文獻(xiàn)15級(jí)數(shù)求和的常用方法 級(jí)數(shù)要首先考慮斂散性，但本文以級(jí)數(shù)求和為中心，故涉及的級(jí)數(shù)均收斂且不過(guò)多討論級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題. 由于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和是個(gè)無(wú)窮問(wèn)題，我們只能得到一個(gè)的極限和.加之級(jí)數(shù)能求和的本身就困難，故本文只做一些特殊情況的討論，而無(wú)級(jí)數(shù)求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給出，以期達(dá)到較高的事實(shí)性.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和1.1等差級(jí)數(shù)求和 等差級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公差，并運(yùn)用公式可求和.，其中為首項(xiàng)，為公差 證明：，+得：因?yàn)榈炔罴?jí)數(shù)所以此證明可導(dǎo)出一個(gè)方法“首尾相加法”見(jiàn)1.2.1.2首尾相加法此類

3、型級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)各項(xiàng)逆置后與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算由首尾各項(xiàng)四則運(yùn)算的結(jié)果相同，便化為一簡(jiǎn)易級(jí)數(shù)求和.例1:求.解：，兩式相加得：，即：.1.3等比級(jí)數(shù)求和等比級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公比并運(yùn)用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)1，其中為首項(xiàng)，為公比.證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)1， ， ，-得.可以導(dǎo)出一種方法“錯(cuò)位相減”見(jiàn)下1.4 1.4錯(cuò)位相減法此方法通常適用于等差與等比級(jí)數(shù)混合型，通過(guò)乘以等比級(jí)數(shù)公比，再與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算后化為等差或等比級(jí)數(shù)求和.例2：計(jì)算.解： ， ，-得： ，=3.1.5蘊(yùn)含型級(jí)數(shù)相消法此類型級(jí)數(shù)本身各項(xiàng)之間有蘊(yùn)含關(guān)系，通過(guò)觀察可知多項(xiàng)展開(kāi)會(huì)相互之間相消部分項(xiàng)，從而化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)求和.

4、例3：計(jì)算.解：將各項(xiàng)展開(kāi)可得： ，所以. 1.6有理化法求級(jí)數(shù)和對(duì)于一些級(jí)數(shù)通項(xiàng)含有分式根式的級(jí)數(shù)，我們可以仿照數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法“有理化”處理，以期達(dá)到能使得級(jí)數(shù)通項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后整個(gè)級(jí)數(shù)都較容易求和.例4：計(jì)算.解：可以看出此級(jí)數(shù)含根式較多，因此嘗試運(yùn)用有理化的方法去處理，即通項(xiàng)，對(duì)其分母有理化得：，則原級(jí)數(shù)可以采用本文中的1.5“蘊(yùn)含型級(jí)數(shù)相消法”，則可以快速求得級(jí)數(shù)和的極限為1.1.7方程式法此型級(jí)數(shù)通過(guò)一系列運(yùn)算能建立級(jí)數(shù)和的方程式，通過(guò)解方程求解級(jí)數(shù)和.準(zhǔn)確建立方程是關(guān)鍵問(wèn)題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體情況建立方程，解方程也要準(zhǔn)確，才能求出級(jí)數(shù)和.例5：計(jì)算

5、，其中.解：記= 兩邊同時(shí)乘以得即：解此方程得：.1.8原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和若下列條件成立1:（1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（2）級(jí)數(shù)各項(xiàng)沒(méi)有破壞次序的情況而得新序列收斂于原級(jí)數(shù) .例6：計(jì)算.解：，應(yīng)用歐拉公式，其中為歐拉常數(shù)，.1.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為相應(yīng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，再通過(guò)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和，并賦予函數(shù)未知數(shù)相應(yīng)未知數(shù)后記得相應(yīng)原級(jí)數(shù)的和.例7：求級(jí)數(shù)和.解：建立函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由函數(shù)斂散性知識(shí)可知其收斂域?yàn)?，將函?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：= ，由此可知滿足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令則可以求出原級(jí)數(shù)和：. 1.10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和將原級(jí)數(shù)通過(guò)化簡(jiǎn)，構(gòu)造積分極限式，

6、從而轉(zhuǎn)化為積分求原級(jí)數(shù)和也不失為一種好方法，構(gòu)造積分式子是關(guān)鍵，一般原級(jí)數(shù)中通過(guò)四則運(yùn)算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構(gòu)造分割，建立級(jí)數(shù)與積分式子的橋梁.例8：計(jì)算，其中.解：記.1.11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)將三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的級(jí)數(shù)，由于復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)進(jìn)而求原級(jí)數(shù)和.例97：設(shè)，求.解：由于，令為復(fù)數(shù)，其中，其中，得：而另一方面=+取實(shí)部對(duì)應(yīng)原級(jí)數(shù)和即得：即：當(dāng)，且時(shí). 1.12構(gòu)造函數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)和將級(jí)數(shù)各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)式子化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)并求原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于各項(xiàng)的化簡(jiǎn)函數(shù)是否基本統(tǒng)一，如何選擇函數(shù)式子才能有效化簡(jiǎn)，將級(jí)數(shù)參數(shù)化為函數(shù)式子中的未知數(shù)

7、，并無(wú)一般的通用函數(shù)，選擇函數(shù)視具體情況而定，下面我們先看一個(gè)例子感受這種方法，并從中體會(huì)這種方法.例107：請(qǐng)計(jì)算下面的級(jí)數(shù)式子：記，其中.解：構(gòu)造函數(shù)式子：,此函數(shù)在單調(diào)遞減.由于，令，滿足=0，.代入題目中的級(jí)數(shù)式子得：=.1.13級(jí)數(shù)討論其子序列引理1：數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子序列都收斂且有相同的極限.特別的：數(shù)列收斂于的充分必要條件是兩個(gè)互補(bǔ)的子列,收斂于同一極限.推廣可得：定理1：若級(jí)數(shù)通項(xiàng)滿足當(dāng)時(shí)， （收斂判別的必要條件），收斂于的充分必要條件是：部分和的一個(gè)子序列收斂于，其中滿足：是某個(gè)正整數(shù)=1，2，將級(jí)數(shù)分情況討論，化為多個(gè)子序列之和，利用原級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)任意添加括

8、號(hào)得到的級(jí)數(shù)和收斂于原級(jí)數(shù)和原理，通過(guò)求各個(gè)子序列之和求解原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于如何分解原級(jí)數(shù)為不同子序列，然而子序列相對(duì)于原級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)易求些，這樣方法才行之有效，這和1.6的“原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和”是不同的.分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個(gè)這樣討論角的幅度的例題.例116：計(jì)算：.解：記，由級(jí)數(shù)斂散性知識(shí)可知，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.按幅度角的討論將級(jí)數(shù)分解為：，.則： ，所以：. 1.14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和針對(duì)級(jí)數(shù)是分?jǐn)?shù)形式，且滿足分母為多項(xiàng)乘積形式，且各項(xiàng)之間相差一個(gè)相同的整數(shù)，裂項(xiàng)后各項(xiàng)就獨(dú)立出來(lái)，而原來(lái)各項(xiàng)之間相差整數(shù)則裂項(xiàng)后新級(jí)數(shù)等價(jià)于求解某一個(gè)級(jí)數(shù)，其余新級(jí)數(shù)照此可求

9、出，從而原級(jí)數(shù)和可以求出.裂項(xiàng)一般形式：，此處.例12：計(jì)算.解:記，針對(duì)同理采用裂項(xiàng)法記則=，所以=. 1.15裂項(xiàng)+分拆組合法將裂項(xiàng)與分拆組合法合用在一起，運(yùn)用裂項(xiàng)法分拆級(jí)數(shù)，再將分拆重新組合級(jí)數(shù)，由新級(jí)數(shù)返回求原級(jí)數(shù)和.例13：計(jì)算.解：=. 1.16夾逼法求解級(jí)數(shù)和在數(shù)學(xué)分析中運(yùn)用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運(yùn)用兩個(gè)級(jí)數(shù)逼近原級(jí)數(shù)，最后兩逼近級(jí)數(shù)和等于原級(jí)數(shù)和.例148：設(shè)為一給定的正整數(shù)，求.解：且時(shí)，且，所以，即 2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和依據(jù)未知數(shù)的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個(gè)新函數(shù)去刻畫(huà)級(jí)數(shù)和. 2.1方程式法類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)建立方程，通過(guò)

10、方程求解求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和.例15：計(jì)算函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性知識(shí)可知題中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂半徑為，逐項(xiàng)求導(dǎo)得即：解此微分方程得：. 2.2積分型級(jí)數(shù)求和積分型級(jí)數(shù)求和顯然直接求和會(huì)帶來(lái)困難，通常積分也積不出來(lái)，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡(jiǎn)是個(gè)想法，通過(guò)變量替換等積分技術(shù)化簡(jiǎn)積分式子，再求級(jí)數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面我們看個(gè)例題.例16：計(jì)算級(jí)數(shù).解：因?yàn)?，作變量替換得：再根據(jù)：得：=.所以原級(jí)數(shù)=. 2.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)收斂半徑不變?cè)恚瑢?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后化為一些易求和的冪級(jí)數(shù)，再往回求積分，從而求原級(jí)數(shù)和.易知的級(jí)數(shù)往往是通過(guò)泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。

11、泰勒定理1：若函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則= ，這里是拉格朗日余項(xiàng)即.設(shè)在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和的充要條件：對(duì)一切滿足不等式 的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開(kāi)式.由泰勒展開(kāi)式可知右邊是個(gè)級(jí)數(shù)，而在求解級(jí)數(shù)時(shí)我們可以逆向來(lái)看，已知以級(jí)數(shù)和像求的方向行進(jìn)，找準(zhǔn)各階對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式，并按泰勒級(jí)數(shù)的樣子提煉出.但在實(shí)際應(yīng)用中在處的級(jí)數(shù)應(yīng)用較多，稱為麥克勞林級(jí)數(shù).而由泰勒級(jí)數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)，再有基本初等函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的級(jí)數(shù)和形式，反過(guò)來(lái)即是求級(jí)數(shù)和.這也不失為一種求級(jí)數(shù)和的選擇.這中方式在前面函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的過(guò)程中已經(jīng)有所運(yùn)用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即

12、使是級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級(jí)數(shù)和.2.4逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和通過(guò)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分收斂半徑不變?cè)恚瑢?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后化為一些易求的冪級(jí)數(shù)，再往回求導(dǎo)，可求出原級(jí)數(shù)和.例18：計(jì)算.解：記，對(duì)其逐項(xiàng)積分得：=，其中， 所以=. 2.5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)分解為已知在數(shù)學(xué)中是一種基本的技巧，通過(guò)轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識(shí)解決原復(fù)雜問(wèn)題在很多地方都是個(gè)不錯(cuò)的想法，因此在解決級(jí)數(shù)和的問(wèn)題時(shí)我們也引入這思想.我們已知在冪級(jí)數(shù)中已知的麥克勞林展式有好幾個(gè)

13、，我們要將這幾個(gè)基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學(xué)會(huì)利用拉格朗日展式的角度逆向思考級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題.我們簡(jiǎn)單的引入一個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計(jì)算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=. 2.6利用傅立葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，并通過(guò)延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數(shù)值即可求出原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出傅立葉函數(shù).例20：計(jì)算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)= ,其中作偶延拓得: = ,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中 ，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進(jìn)而可得：.說(shuō)明：有了以上結(jié)果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，如：利用2.6結(jié)果求解級(jí)數(shù)和，2.6的

14、結(jié)果是一個(gè)很常用的級(jí)數(shù)和公式，因此我們可以直接拿來(lái)用.例21：計(jì)算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以題目中級(jí)數(shù)在（0，1）上一致收斂.，因?yàn)椋詭肷厦媸阶涌傻眉?jí)數(shù)和為. 2.7三角級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和三角函數(shù)與復(fù)數(shù)有天然的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此將其化歸到復(fù)數(shù)域上再利用復(fù)數(shù)域知識(shí)求解，從而獲得原級(jí)數(shù)的和.例227：計(jì)算.解：由復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對(duì)應(yīng)實(shí)部得，其中，. 2.8利用三角公式化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)還可以利用三角公式化簡(jiǎn)三角級(jí)數(shù)，化簡(jiǎn)后的級(jí)數(shù)可能比原級(jí)數(shù)容易求解些，通常復(fù)雜級(jí)數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例23：計(jì)算.解：由

15、三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級(jí)數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：. 2.9針對(duì)2.7的延伸在此對(duì)2.8的延伸，并不是意味著2.8是個(gè)通用的級(jí)數(shù)和式子，只是看見(jiàn)了另外的一個(gè)題可以運(yùn)用2.8，在此列出是為了表明在求級(jí)數(shù)和的過(guò)程中一些復(fù)雜級(jí)數(shù)可以由另外一些級(jí)數(shù)求和的，因此遇見(jiàn)復(fù)雜級(jí)數(shù)求和的時(shí)候要多注意平常積累的例子，想想平時(shí)有沒(méi)有遇見(jiàn)類似的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題.例24：計(jì)算.解：令，由2.8可知= 其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當(dāng)時(shí)，有，于是. 2.10添加項(xiàng)處理系數(shù)例25：計(jì)算，其中.解：令，當(dāng)時(shí)，=，其中，當(dāng):時(shí)，于是：.2.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)和 定理8：若函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）在復(fù)平面具有孤立奇點(diǎn)，

16、且這些孤立奇點(diǎn)不為整數(shù)及，除去上述奇點(diǎn)外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對(duì)（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結(jié)論的應(yīng)用：例268：求級(jí)數(shù)（不為0）的和.解：令，當(dāng)不為零時(shí)，滿足定理的兩個(gè)條件，那么.即：，當(dāng)趨近于零時(shí)，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級(jí)數(shù)和,2.12利用函數(shù)求級(jí)數(shù)和定理1 6 設(shè)為自然數(shù)，為實(shí)數(shù)，且，則.定理2 6 設(shè)為自然數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，是實(shí)數(shù)，大于，有.定理3 6 設(shè)為自

17、然數(shù)，級(jí)數(shù)在0,1上一致收斂于函數(shù) ,則.這三個(gè)定理的證明涉及函數(shù)，此處證明從略.只說(shuō)明這三個(gè)定理應(yīng)用于求解級(jí)數(shù)和的問(wèn)題.分析這三個(gè)定理可以看它們用于解決一些自然數(shù)連續(xù)性相乘且置于分母的級(jí)數(shù)和.將級(jí)數(shù)和中某些數(shù)賦予給定理中的相應(yīng)的、，再將按定理套用，可以將定理左邊的級(jí)數(shù)化為右邊的積分求解.運(yùn)用定理的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出、，只要這項(xiàng)工作完成，那么剩下的就是積分的問(wèn)題.例27：計(jì)算.解：對(duì)應(yīng)上述三個(gè)定理，此級(jí)數(shù)根據(jù)定理1，將置為-1，置為3，置為1則可以將級(jí)數(shù)化為積分式子，求解具體過(guò)程從略.參考文獻(xiàn)1 數(shù)學(xué)分析下冊(cè)，第三版，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社20092 數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解華東師大版，華騰教育教學(xué)與研究中心，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社3 李永樂(lè)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)（理工類數(shù)學(xué)一），國(guó)家行政學(xué)院出版社，2012版4 李永樂(lè)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)660題數(shù)學(xué)一，西安交通大學(xué)出版社，20115 陳文燈，2011版考研數(shù)學(xué)額復(fù)習(xí)高分指南，