平面應(yīng)力問(wèn)題

1、第四節(jié)極坐標(biāo) 直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo) 比較相同:兩者都是正交坐標(biāo)系。區(qū)別:直角坐標(biāo)中, x和y坐標(biāo)線都是直線,有 固定的方向, x 和y 的量綱均為L(zhǎng)。 極坐標(biāo)中, 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）和 坐標(biāo)線（ =常數(shù)）在不同點(diǎn)有不同的方向一、 極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在A內(nèi)任一點(diǎn)（ ， ）取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件。微分體-由夾角為 的兩徑向線和距離 為 的兩環(huán)向線圍成注意兩 面不平行，夾角為 ；兩 面面積不等，分別為 ， 。 從原點(diǎn)出發(fā)為正， 從 x 軸向 y 軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正。微分體上的作用力有體力- ， 以坐標(biāo)正向?yàn)檎?。?yīng)力- 面， 面分別表示應(yīng)力及其 增量： 應(yīng)力同樣以正面正向，負(fù)面負(fù)向的應(yīng)

2、力為正，反之為負(fù) 平衡條件應(yīng)用假定:（1）連續(xù)性，（2）小變形。考慮通過(guò)微分體形心 C 的 向及矩的平衡，列出3個(gè)平衡條件 :-通過(guò)形心C的 向合力為0，其中可取 上式中一階微量相互抵消，保留到二階微量，得式(a)中1、2、4項(xiàng)與直角坐標(biāo)的方向相似; 而 -通過(guò)形心C的 向合力為0略去三階微量，保留到二階微量，得式(b)中1、2、4項(xiàng)與直角坐標(biāo)的方程相似，而 -是由于 面的面積大于 面引起的， -是由于 面上的切應(yīng)力 在C點(diǎn)的 向有投影 -通過(guò)形心C的力矩為0，當(dāng)考慮到二階微量時(shí)，得2、 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程 幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。 過(guò)任一點(diǎn) 作兩個(gè)沿正

3、標(biāo)向的微分線段 ,1. 只有徑向位移 ，求形變P,A,B變形后為 ，各點(diǎn)的位移如圖在小變形假定 下PA線應(yīng)變所以切應(yīng)變?yōu)?. 只有環(huán)向位移 ,求形變P,A,B變形后為 ，各點(diǎn)的位移如圖切應(yīng)變?yōu)?3.當(dāng) 和 同時(shí)存在時(shí)，幾何方程為3、 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程 以下建立直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的變換關(guān)系，用于1、 物理量的轉(zhuǎn)換; 2,從直角坐標(biāo)系中的方程導(dǎo)出極坐標(biāo)系中的方程1. 從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換坐標(biāo)變量的變換反之函數(shù)的變換：將式 或 代入，矢量的變換：位移 或?qū)?shù)的變換將對(duì) 的導(dǎo)數(shù)，變換為對(duì) 的導(dǎo)數(shù) 可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過(guò)中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)有:而代入，即得一

4、階導(dǎo)數(shù)的變換公式,二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導(dǎo)出。例如展開(kāi)即得拉普拉斯算子的變換：由式（f）得2. 極坐標(biāo)中的相容方程3. 極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù) 表示可考慮幾種導(dǎo)出方法 (1)從平衡微分方程直接導(dǎo)出（類(lèi)似于直角坐標(biāo)系中方法） (2) 應(yīng)用特殊關(guān)系式，即當(dāng)x軸移動(dòng)到與 軸重合時(shí)，有: (3) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）代入式 ( f ) ，得出 的公式。(4) 應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）而比較兩式的 的系數(shù)，便得出 的公式。4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)滿(mǎn)足(1) A 內(nèi)相容方程(2) 上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）(3) 多連體中的位移單值條件4、 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)

5、力分量不僅具有方向性，還與其作用面有關(guān)。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系： 1已 知 ，求 取出一個(gè)包含x面y(含 )和 面（含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件得同理，由 得 類(lèi)似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形，微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件 得2、已知 ，求應(yīng)用相似的方法，可得到5、 軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力和相應(yīng)的位移 軸對(duì)稱(chēng)，即繞軸對(duì)稱(chēng)，凡通過(guò)此軸的任何面均為對(duì)稱(chēng)面軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題：應(yīng)力數(shù)值軸對(duì)稱(chēng)- 僅為 的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對(duì)稱(chēng)- 相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ，所以應(yīng)力公式為：1）相容方程其中 相容方程成為常微分方程，積分4次得 的通解(2) 應(yīng)力通解：將式 (c) 代入式 (a）

6、（3）應(yīng)變通解：將應(yīng)力(d)代入物理方程，得對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變 也為軸對(duì)稱(chēng)。(4)求對(duì)應(yīng)的位移： 將應(yīng)變代入幾何方程，對(duì)應(yīng)第一、二式分別積分將 代入第三式分開(kāi)變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F,由兩個(gè)常微分方程代入 ，得軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移通解，6、 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)簣A環(huán)(平面應(yīng)力問(wèn)題)和圓筒(平面應(yīng)變問(wèn)題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題的通解。力邊界條件是式(b)中的 條件是自然滿(mǎn)足的，而其余兩個(gè)條件還不足以完全確定應(yīng)力解答(a) 。 考察多連體中的位移單值條件圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中是一個(gè)多值函數(shù)：對(duì)于 和 是同一點(diǎn)，但式(c)卻

7、得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此B = 0由B=0 和邊界條件 (b) ，便可得出拉梅解答，解答（d）的應(yīng)用：（1）只有內(nèi)壓力（2）只有內(nèi)壓力 且 ，成為具有圓孔的無(wú)限大薄板（彈性體）3）只有外壓力七、 壓力隧洞1.壓力隧洞-圓筒埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布內(nèi)壓力。圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為本題是兩個(gè)圓筒的接觸問(wèn)題，兩個(gè)均為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（平面應(yīng)變問(wèn)題） 因?yàn)椴环暇鶆蛐约俣ǎ仨毞謩e采用兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)解答：圓筒無(wú)限大彈性體應(yīng)考慮的條件：（1） 位移單值條件（2） 圓筒內(nèi)邊界條件：（3） 無(wú)限遠(yuǎn)處條件，由圣維南原理,（4） 的接觸條件，當(dāng)變形后兩彈性體保持連續(xù)時(shí)，有由（1）（4

8、）條件，解出解答（書(shū)中式（4 -16）。2.一般的接觸問(wèn)題。當(dāng)兩個(gè)彈性體 ，變形前在s上互相接觸，變形后的接觸條件可分為幾種情況(1) 完全接觸：變形后兩彈性體在s上仍然保持連續(xù)。這時(shí)的接觸條件為：在s上 (2) 有摩阻力的滑動(dòng)接觸：變形后在S上法向保持連續(xù)，而切向產(chǎn)生有摩阻力的相對(duì)滑移，則在S上的接觸條件為其中C為凝聚力。(3) 光滑接觸：變形后法向保持連續(xù)，但切向產(chǎn)生無(wú)摩阻力的光滑移動(dòng)，則在s上的接觸條件為(4) 局部脫離：變形后某一部分邊界上兩彈性體脫開(kāi)，則原接觸面成了自由面。在此部分脫開(kāi)的邊界上，有 3. 有限值條件 設(shè)圖（a）中半徑為r的圓盤(pán)受法向均布?jí)毫作用，試求其解答。 圖（a

9、） 引用軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解答，并考慮邊界 上的條件，上述問(wèn)題還是難以得出解答。這時(shí)，我們可以考慮所謂有限值條件，即了應(yīng)力集中點(diǎn)外，彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為有限值。而書(shū)中式(4-11)的應(yīng)力表達(dá)式中，當(dāng) 時(shí)， 和 中的第一、二項(xiàng)均趨于無(wú)限大，這是不可能的。按照有限值條件， 當(dāng) 時(shí)，必須有A。B=0 在彈性力學(xué)問(wèn)題中，我們是在區(qū)域內(nèi)和邊界上分別考慮靜力條件、幾何條件和物理?xiàng)l件后，建立基本方程及其邊界條件來(lái)進(jìn)行求解的。一般地說(shuō)，單值條件和有限值條件也是應(yīng)該滿(mǎn)足的，但是這些條件常常是自然滿(mǎn)足的。而在下列的情形下須要進(jìn)行校核 (1)按應(yīng)力求解時(shí)，多連體中的位移單值條件。 (2)無(wú)應(yīng)力集中現(xiàn)象時(shí)， 和 ，或 處的應(yīng)

10、力的有限值條件(因?yàn)檎⒇?fù)冪函數(shù)在這些點(diǎn)會(huì)成為無(wú)限大)在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)解法中，首先排除不符合單值條件和有限值條件的復(fù)變函數(shù)，從而縮小求解函數(shù)的范圍，然后再根據(jù)其他條件進(jìn)行求解八、圓孔的孔口應(yīng)力集中工程結(jié)構(gòu)中常開(kāi)設(shè)孔口最簡(jiǎn)單的為圓孔 本節(jié)研究小孔口問(wèn)題，應(yīng)符合（1） 孔口尺寸彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)（2） 孔邊距邊界較遠(yuǎn)（1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。 當(dāng)彈性體開(kāi)孔時(shí)，在小孔口附近，將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。1. 帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)P30-p314.小孔口的應(yīng)力集中現(xiàn)象（1）集中性-孔口附近應(yīng)力>>遠(yuǎn)處的應(yīng)力孔口附近應(yīng)力>>無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力（2） 局部性-應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑（D）范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般<5%（3） 凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中，曲率半徑愈小，應(yīng)力愈大。如正方孔 的角點(diǎn)角點(diǎn)曲率半徑 因此，工程上應(yīng)盡量避免接近直交的