高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列前n項和經(jīng)典教案

1、等差數(shù)列前 n 項和（高一年級第一冊·第三章第三節(jié)）一、教材分析 教學(xué)內(nèi)容等差數(shù)列前 n 項和現(xiàn)行高中教材第三章第三節(jié) “等差數(shù)列前 n 項和”的第一課時，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前 n 項和的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用。 地位與作用本節(jié)對“等差數(shù)列前 n 項和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項公式的基礎(chǔ)上進一步研究等差數(shù)列， 其學(xué)習(xí)平臺是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識。對本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。二、學(xué)情分析 知識基礎(chǔ)： 高一年級學(xué)生已掌握了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和。 認知水平

2、與能力 ：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨立地解決問題。 任教班級學(xué)生特點 ：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識較扎實、思維較活躍，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高。三、目標分析1、教學(xué)目標依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標： 知識技能(1)掌握等差數(shù)列前n 項和公式 ;(2)掌握等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)過程 ;(3)會簡單運用等差數(shù)列的前n 項和公式。 數(shù)學(xué)思考(1) 通過對等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程 ,滲透倒序相加求和的數(shù)學(xué)方法；(2) 通過公式的運用體會方程的

3、思想；(3) 通過運用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力。 解決問題創(chuàng) 設(shè) 由 探 索1+2+3+ +100 的 和 , 推 廣 到 探索 一 般的 等 差 數(shù)列 前n項 和sna1a2a3.an 的求和公式的情景,使學(xué)生進一步體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法 , 并使學(xué)生在反饋練習(xí)的過程中，進一步提高問題解決的能力。 情感態(tài)度結(jié)合具體模型 ,將教材知識和實際生活聯(lián)系起來 ,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性 ,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 ,并通過對等差數(shù)列求和歷史的了解 ,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。2、教學(xué)重點、難點 重點等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。 難點等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程中滲透倒序

4、相加的思想方法。 重、難點解決的方法策略本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點撥引導(dǎo)，師生互動、講練結(jié)合，從而突出重點、突破教學(xué)難點。四、教學(xué)模式與教法、學(xué)法本課采用“ 探究發(fā)現(xiàn) ” 教學(xué)模式。教師的教法 突出活動的組織設(shè)計與方法的引導(dǎo)。學(xué)生的學(xué)法 突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流。五、過程設(shè)計結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學(xué)目標，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時間分配如下：創(chuàng)設(shè)情景提出問題圖片欣賞新課引入探究等差數(shù)列前 n 項和公式（ 18 分鐘）數(shù)

5、形結(jié)合類比化歸公式應(yīng)用與議練活動（ 1）（5分鐘）前后呼應(yīng)公式應(yīng)用歸納總結(jié)公式應(yīng)用與公式的認識議練活動（ 2）與理解（2 分鐘）（9 分鐘）（4 分鐘）前后呼應(yīng)知識回顧五、教學(xué)過程教學(xué)教師活動環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片新 泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景課引點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有入 大小相同的寶石， 共有 100 層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算 1+2+3+ .+100=？問題 2：何老師按揭買房 ,向銀行貸款 25 萬元，采取等額本金的還款方式， 即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。 2007 年 1 月，活動學(xué)生活動說

6、明模型直觀用 實 際生 活 引入新現(xiàn)實模型：課。 圖片欣賞 生活實例我第一次向銀行還款2348 元，以后每月比上月的還款額減少5 元，若以 2007 年 1 月銀行貸款利率為基準利率,那么到 2026 年12 月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款多少萬元？首先認識一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯，學(xué) 生 ： 1+100=101 ，高斯求然后提出問題：高斯是如何快速計算 1+2+3，2+99=101.50+51=101和眾所+4+.+100？所以原式 =50（ 1+101）設(shè)等差數(shù)列 an 前n項和為Sn則=5050周知，,Sn a1 a 2an 1an學(xué)生：將首末兩項配對， 第學(xué)生能問題 1老師：利

7、用高斯算法如何求等差數(shù)列的前項和公式？探老師：但是否剛好配對成功呢？（ 1） n 為偶數(shù)時：Sna1an an 1an索22公Sn (aa)n21n式（ 2） n 為奇數(shù)時：Sna1an 1an 1an 1an12221二項與倒數(shù)第二項配對， 以快速解n 此類推，每一對的和都相答。等，并且都等于 a1 an。這里用到了學(xué)生：不一定，需要對 n 取等差數(shù)值的奇偶進行討論。列腳標和性質(zhì)當 n 為偶數(shù)時剛好配從 高對成功。斯算法出發(fā)，對 n 進行討論尋找求當 n 為奇數(shù)時，中間的和公式一項 an 1 落單了。思路自然，學(xué)2生容易想到。對 中間 項老師： 那么該如何解決落單的a n 1 呢？Snn 1

8、 (a1an ) an 122an 12an 1n 1an )22(a122nan )(a12同過對 n 取值的討論，得到了前 n項和求和公式：Snn (a1 an )2但是對 n 討論麻煩了，能否有更好的方法求前 n 項和公式呢？接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？問題 2：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前 n 項和呢？（可能部分學(xué)生在此會遇到困難，老師做適當?shù)囊龑?dǎo)。）學(xué)生： 觀察 a n 1 的腳標與2a1an 腳標的關(guān)系，即：an 1an1anan22a11222學(xué)生觀察動畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。（由上一問題的解決， 學(xué)生a n 12 的解決辦

9、法的過程中，進一步讓學(xué)生體會研究數(shù)列就是對腳標數(shù)學(xué)的研究。倒序相加求和方法一：Sna1a2an 1an探Snanan 1a2a1索兩式相加得：2Snn(a1an )Snn (a1an )公方法二2同樣利用倒序相加求和法， 教材做了如下處理：式Sna1(a1d). a1(n1)dSnan(and).an(n1)d兩式相加得： 2Snn(a1an )公式1：Snn (a1 an )2引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項公式， 換掉 an 整理得到公式 2。公式 2：Snna1n(n 1) d2議練例 1：計算（1）1+2+3+ +n（2）1+3+5+ +(2n-1)活（3）2+4+6+ +2n（4）1-2+

10、3-4+5-6+(2n-1)-2n教師通過動畫演示給(1),(2)問一個直觀動 的解釋。變式練習(xí)： 課前提出的房貸問題。解: 由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列 , 設(shè)為an ： a12348,d5, n240Snna1n(n 1) d22402348240239( 5)2元)420120(容易想到倒序相加求和法是重法。）要的數(shù)學(xué)生： 利用倒序相加求和學(xué) 思法。想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前將 Sn 中的每一項用等n 項和公式的差數(shù)列的通項公式進行巧推導(dǎo)過妙的改寫，在倒序相加求和程中，時，每一組中的 d 都被正負通過問抵消了。題獲得知識，讓學(xué)生學(xué)生類比方法一與方法經(jīng) 歷二的聯(lián)系與區(qū)別

11、?！鞍l(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題”的過程學(xué)生自己閱讀教材，體會教材的解法是如何運用求和公式。觀察多媒體課件演示。通過對實際問題的解決讓學(xué)生認識學(xué)生：要求總還款額實際就到數(shù)學(xué)是對一個等差數(shù)列求和。來源于生活，同時又服務(wù)于生活問題 3：能否給求和公式一個幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。認公式1 : Snn(a1 an )2識a1an公式ana1公式 2：Snna1n(n 1) d2a1認識n公式a1(n 1)dana1(n 1)d剖析公式：公式 1n( a1an )Sn2公式 2Sn na1n(n1) d2議通項公式： ana1(n1)d學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系， 而梯形面

12、積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。利用數(shù)形結(jié)合的思學(xué)生：同樣將公式 2 與梯想，使形面積公式建立聯(lián)系。用 學(xué)生對“割”的思想將梯形分做一 兩個公個平行四邊形和一個三角式有直形，而梯形面積就是這兩部觀的認分面積之和。識，體會數(shù)學(xué)的圖形語言。學(xué)生討論：公式中一共含有五個量，根據(jù)三個公式之間的聯(lián)系，由方程的思想， 知三可求二。例 2 在解決了學(xué)生討論分析題目所含的例 1 的基 礎(chǔ)已知量，選取了公式 2 進行上，由運算，利用了方程的思想。淺 入需要注意的是學(xué)生可能會深，深把公差認為是 -4，以及解得化了對n 的值后未把 n=-3 舍去。公式的理解，練教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。體現(xiàn)了方程的例 2

13、等差數(shù)列 -10 ，-6 ，-2 ，2， 前多思想。少項的和為 54？活解：設(shè)題中的等差數(shù)列是 an ，前 n 項和為 Sn ：動則 a1 10，d 6（ 10） 4 令 Sn 54，由等差數(shù)列前 n 項和公式，得：10nn(n1)454.2解得n19， n2 3（舍去）因此 , 等差數(shù)列的前 9 項和是 54例 3：在等差數(shù)列 an 中(1)已知 : a2a5a12a1536,求 S16(2)已知： a620,求 S11解：（1） a2 a15a5a12a1a16緊扣教材，學(xué)生進行了分組討 讓學(xué)生論，然后每組派學(xué)生代表進 體會整行分析。不少小組首先對已 體應(yīng)用知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過 公式，

14、解方程求出首項和公差， 但 類比化發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這 歸的思些基本量，教師做適當?shù)囊?想方導(dǎo)。法，同時，為以后綜合問題的解答設(shè)下伏筆。a1a16a2a151816( a1a16 )144S162(a1a11 )11課（2） S112堂2a6112202總本小題主要考察了對公式一的整體應(yīng)結(jié) 用。根據(jù)課堂剩余時間，本題作為機動練習(xí)，（2）小問留給學(xué)生課后完成。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容2、課后作業(yè)：教材 118 頁： 1、2、3、5、6、7本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補充說明（ 1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法 .（ 2）體會等差數(shù)

15、列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 .（ 3）掌握等差數(shù)列的兩個求和公式及簡單應(yīng)用。了解我國古代研究等差數(shù)列求和的情況。通過對等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。課后思考：等差數(shù)列的前n 項和的求和方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?3、對求和史的了解我國數(shù)列求和的概念起源很早，在北朝時，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在張丘建算經(jīng)中給出等差數(shù)列求和問題：例如：今有女子不善織布， 每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺， 末一日織一尺， 共織三十日，問共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得。”板書設(shè)計：§ 3.3等差數(shù)列前n 項和一、等差數(shù)列前n 項和四、例題及解答議練活動二、公式的推導(dǎo)方法 1：方法 2：方法 3：三、剖析公式：公式 1：公式 2：(主板書 )(副板書 )(輔助性板書 )六、教學(xué)反思根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，筆者對本課有如下五點反思：（ 1）根據(jù)實際教學(xué)情況，學(xué)生比較容易掌握本課知識。在教學(xué)過程中，我重點突出了學(xué)生活動，設(shè)計了四個活動環(huán)節(jié)： (1) 公式的探究活動； (2) 公式的認識 (3) 公式的應(yīng)用 (4) 學(xué)生課后的拓展學(xué)習(xí)。（ 2）本課特別強調(diào)了幾何直觀，我不僅對求和公式給出了幾何解釋，也對部分習(xí)題給出了幾何解釋，