泰勒公式和泰勒級數(shù)PPT課件

1、 1nnxna 0n xnnndtta00)()(0 nnnxa 0nnnxa3 冪級數(shù) 的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)可導, 并可以逐項求導任意次, 且求導后級數(shù)的收斂半徑不變.即 f(x) =x (R, R) 0nnnxa4 冪級數(shù) 的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(R, R)內(nèi)可積, 并可逐項求積分, 且積分后級數(shù)的收斂半徑不變. xdttS0)(dttaxnn 0.110 nnnxnax (R, R) 即n=1 0n(an xn) 第1頁/共24頁注注 : 常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);110 xxnn ;11)1(202xxnnn 2111)1 (1)(xxnxn

2、nnn 31111)1 (2)() 1(xxxnnnnnn ;11)(0 xxnn (1)(1x1)(2)(3)(4)(5)第2頁/共24頁3二、麥克勞林(Maclaurin)公式三、泰勒級數(shù)一、泰勒公式的建立7.6 泰勒(Taylor)公式與泰勒級數(shù)第3頁/共24頁一次多項式在微分的應用中有近似計算公式:若 f (x0)存在, 則在 x0點附近有f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)f (x) f(x0) + f (x0) (xx0)+ o(xx0)需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?不足: 1. 精確度不高;2. 誤差不能定量的估計.希望: 在x0點附近, 用適當?shù)?/p>

3、高次多項式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f (x) 一、泰勒公式第4頁/共24頁猜想2 若有相同的切線3 若彎曲方向相同近似程度越來越好 n次多項式系數(shù)的確定 1 若在x0點相交Pn(x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)y=f(x)假設 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)y=Pn (x)xoyx0第5頁/共24頁!)(0)(nxfann 即有Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假設 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)Pn (n) (x) =n! an Pn (x

4、)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0), k=0, 1, 2, 3, , n令x = x0得a1=f(x0),! 2)(02xfa a0 = f(x0),a1=f(x0),第6頁/共24頁!)(0)(kxfakk ! 2)(0 xf !)(0)(nxfnk=0, 1, 2, 3, , n代入Pn(x)中得Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + + (xx0)nPn(x) =a0 +a1(xx0)+

5、a2(xx0)2+an(xx0)n稱為函數(shù) f (x)在x0處的泰勒多項式.k=0, 1, 2, 3, , n稱為泰勒系數(shù)!)(0)(kxfakk f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .第7頁/共24頁200)(! 2)(xxxf 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR nnxxnxf)(!)(00)( 其中定理1 (泰勒中值定理) 若函數(shù)f(x)在x0點的某鄰域UR (x0)內(nèi)具有直到n+1階連續(xù)導數(shù), 則當x取UR (x0)內(nèi)任何值時, f (x)可按(xx0)的方冪展開為f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+( 在x0與x之間)+Rn(x) 公式(1)稱為

6、函數(shù) f (x)在x0處的泰勒公式.(1) Rn(x)稱為拉格朗日(Lagrange)余項.泰勒系數(shù)!)(0)(kxfakk k=0, 1, 2, , n是唯一的.第8頁/共24頁10)()!1( nxxnnnxxnxf)(!)(00)( 200)(!2)(xxxf 設 f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+k 證由于f(x)在UR (x0)內(nèi)具有n+1階連續(xù)導數(shù),作輔助函數(shù)(t)=f(x)f(t)+f (t)(xt)+2)(!2)(txtf )()!1()(!)(1)( nnntxnktxntf(x)=0=(x0),不妨設 x0 x時同理可證,10)1()()!1()()( nn

7、nxxnfxR 第10頁/共24頁nnxnfxf!)0(! 2)0()(2 1)1()!1()()( nnnxnfxR 其中f (x)=f(0)+f (0) x+1 當x0=0時, ( 在0與x之間)或令 = x, 0 1, 則+Rn(x) .1)1()!1()()( nnnxnxfxR 稱為函數(shù) f (x)的麥克勞林(Maclaurin)公式.200)(! 2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 2 f (x) f(x0)+f (x0)(xx0)+其誤差為: Rn(x) 第11頁/共24頁解)(!0 xRkxnnkk 1)!1()( nxnxnexR 例1* 求f(x)=e x 在

8、x=0的n階泰勒公式.因為 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, 所以 f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, 于是 f(x)=e x 在x=0的n階泰勒公式為:)(!1! 2112xRxnxxennx 其中0 1. 第12頁/共24頁定義 如果函數(shù)f (x)在x0的某鄰域內(nèi)是存在任意階導數(shù),則冪級數(shù)稱為函數(shù)f (x)在x0處的泰勒級數(shù).200)(! 2)(xxxf = f(x0) + f (x0)(xx0) nnxxnxf)(!)(00)(二、泰勒級數(shù) 000)()(!)(nnnxxnxf稱為函數(shù) f (x)的麥克勞林級數(shù). nnxnfxfxff!) 0(! 2)

9、0() 0() 0()(2 0)(!)0(nnnxnf問題: 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.第13頁/共24頁解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn2 例2* 求 f(x)=sinx 在x=0的泰勒級數(shù).當n=2k時, f (2k)(0)=sin(k )=0, k=0,1,2,當n=2k+1時, f (2k+1)(0)=sin (k + ) = (1)k , 得因)!12(|)!32(|lim|)()(|lim12321 nxnxxuxunnnnnn=0, 于是 R=+, 0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(kkkkx)22)(32(li

10、m2 nnxn 012)!12()1(nnnnx定理2 f(x)在x0點的泰勒級數(shù)在UR (x0)內(nèi)收斂于f (x) 在UR (x0) 內(nèi), Rn(x)0.第14頁/共24頁 )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn|)!32()(|lim| )(|lim32)32( nnnnnxnfxR )!32(|lim32 nxnn=0,所以 sin x = 0 0)(lim xRnn 0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(nnnnx 012)!12()1(nnnnx其中收斂區(qū)間為: (, +). x(, +).|)!32(sin|lim32)32( nnnxn 即第15頁/共

11、24頁xyO麥克勞林多項式逼近sin x! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy )!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnny=sinxy=x第16頁/共24頁7.7 初等函數(shù)的冪初等函數(shù)的冪級數(shù)展開級數(shù)展開式式一、直接法(泰勒級數(shù)法)二、間接法三、常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式第17頁/共24頁步驟:0)(lim xRnn(1) 求 f (n)(x), n=0,1,2, (4) 討論?并求出其收斂區(qū)間.(3) 寫出冪級數(shù)利用泰勒公式或麥克勞林公式將f(x)展開為冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(010)( 若

12、為0, 則冪級數(shù)在此收斂區(qū)間內(nèi)等于函數(shù) f(x); 若不為0, 則冪級數(shù)雖然收斂, 但它的和不是 f(x).一、直接法(泰勒級數(shù)法)(2) 計算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, 第18頁/共24頁解 0!nnnx1)!1( nxxne 例1 將 f(x)=e x 在展開成 x的冪級數(shù).因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是 f(x)=e x 在x=0的麥克勞林級數(shù)為: nxnxx!1! 2112其中1)1()!1()()( nnnxnxfxR 0 1|)!1(|lim| )(|lim1 nxnnnxnexR )!1(|li

13、m1 nxennx =0, 所以 e x =1+x+ 0!nnnxx+. nxnx!1! 2120)(lim xRnn收斂區(qū)間為: (, +)第19頁/共24頁nnkknnnnnbnabbakknnnbannbnaaba 1221!) 1() 1(! 2) 1()(二項展開式+ +nxn1+x n(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!) 1() 1(! 2) 1(2 (1+x) = 1+x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 ?第20頁/共24頁解|lim1 nnnaaR例2 將 f(x)=(1+x ) 展開成 x的冪級數(shù).n=0,1,2, f (n)(0)=(1)(2)(n+1)=1, 0)(!)0(nnnxnf得(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) , 0!) 1() 1(nnxnn |1|limnnn 注意: 當x=1時, 級數(shù)的收斂性與 的取值有關. 1, 收斂區(qū)間為: (1, 1).1 0, 收斂區(qū)間為: 1, 1.所以(1+x) 的泰勒級