函數(shù)與方程思想總結(很好很全面)

1、.函數(shù)與方程思想函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。2方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性

2、質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系；3函數(shù)方程思想的幾種重要形式(1)函數(shù)和方程是密切相關的，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題，而研究函數(shù)的性質，也離不開解不等式；(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；(4)函數(shù)f(x)(1+x)n (nN*)與二項式定理是密切相關的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項

3、式定理的問題；(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論；(6)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決?！纠?】. 關于x的方程(x21)2|x21|k0，給出下列四個命題：存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根.其中真命題是_解答：根據(jù)題意可令x21t(t0)，則方程化為t2tk0，(*)作出函數(shù)tx21的圖象，結合函數(shù)的圖象可知當t0或

4、t1時，原方程有兩上不等的根，當0t1時，原方程有4個根，當t1時，原方程有3個根.(1)當k2時，方程(*)有一個正根t2，相應的原方程的解有2個；(2)當k時，方程(*)有兩個相等正根t，相應的原方程的解有4個；(3)當k0時，此時方程(*)有兩個不等根t0或t1，故此時原方程有5個根；(4)當0k時，方程(*)有兩個不等正根，且此時方程(*)有兩正根且均小于1，故相應的滿足方程|x21|t的解有8個答案：1234【例2】若不等式x2ax10對于一切x(，成立，則a的最小值為_解答：. 分離變量，有a(x)，x(，恒成立.右端的最大值為，a.2. 看成關于a的不等式，由f(0)0，且f()

5、0可求得a的范圍.3. 設f(x)x2ax1，結合二次函數(shù)圖象，分對稱軸在區(qū)間的內外三種情況進行討論.4. f(x)x21，g(x)ax，則結合圖形(象)知原問題等價于f()g()，即a.【例3】 設f(x)，g(x)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x0時，f(x)·g(x)f(x)·g(x)，且g()，則不等式f(x)g(x)0的解集為_解析：以函數(shù)為中心，考查通性通法，設(x)f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)為奇函數(shù).又當x0時，F(xiàn)(x)f(x)g(x)f(x)g(

6、x)0，所以x0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù).因為奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同，所以x0時，F(xiàn)(x)也為增函數(shù).因為F(3)f(3)g(3)0F(3).如上圖，是一個符合題意的圖象，觀察知不等式F(x)0的解集是(，)(，) 【例4】已知實數(shù)分別滿足，則=_解答：已知的等式都是三次方程,直接通過方程解出有一定的困難,但是,題設的兩個等式的左邊的結構相同,使我們想到用統(tǒng)一的式子來表示這兩個等式,對題設的兩個等式變形為,根據(jù)這兩個等式的特征,構造函數(shù).函數(shù)是一個奇函數(shù),又是上的增函數(shù),則有 于是, 因而得 【例5】 若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是_解答： 圓整理為，圓

7、心坐標為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則圓心到直線的距離應小于等于， ， ， ， ，直線的傾斜角的取值范圍是【例6】如果實數(shù)滿足等式那么的最大值為_解答：根據(jù)已知等式,畫出以為圓心,以為半徑的圓,則的幾何意義是圓上一點與原點所連直線的斜率.顯然, 的最大值是過原點與圓相切的直線的斜率,由可得.于是,的最大值是【例7】設是方程的兩個不等實根，那么過點和的直線與圓的位置關系是_解答：由題意，因此和都在直線上，原點到該直線的距離，過的直線與單位圓相切【例8】設定義域為R的函數(shù)，則關于的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是_ 解答：畫出函數(shù)的圖像,該圖像關于對稱,且,令,

8、若有7個不同實數(shù)解,則方程有2個不同實數(shù)解,且為一正根,一零根.因此, 充要條件是且【例9】. 設函數(shù)x21，對任意x，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_【答案】解析：(解法1)不等式化為f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，因為x20，所以14m2，設g(x)，x.于是題目化為14m2g(x)，對任意x恒成立的問題為此需求g(x)，x的最大值設u，則0u.函數(shù)g(x)h(u)3u22u在區(qū)間上是增函數(shù)，因而在u處取得最大值h3×，所以14m2g(x)max，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m

9、230，解得m或m，因此實數(shù)m的取值范圍是m.(解法2)(前面同解法1)原題化為14m2g(x)，對任意x恒成立的問題為此需求g(x)，x的最大值設t2x3，則t6，)g(x)h(t).因為函數(shù)t在(3，)上是增函數(shù)，所以當t6時，t取得最小值6.從而h(t)有最大值.所以14m2gmax(x)，整理得12m45m230，即(4m23)(3m21)0，所以4m230，解得m或m，因此實數(shù)m的取值范圍是m.(解法3)不等式化為f(x1)4f(m)f4m2f(x)0，即(x1)214m2414m2x24m20，整理得x22x30，令F(x)x22x3.由于F(0)30，則其判別式0，因此F(x)的

10、最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到，所以為使F(x)0對任意x恒成立，必須使F為最小值，即實數(shù)m應滿足解得m2，因此實數(shù)m的取值范圍是m.【例10】某工廠2005年生產利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設，一月份投入的建設資金恰與一月份的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建設資金又恰與十二月份生產利潤相同，問全年總利潤W與全年總投入資金N的大小關系是_解答：設第一個月的投入資金與一月份的利潤均為a，每月的增加投入百分率為r則每月的利潤組成數(shù)列，每月投入資金組成數(shù)列，如圖，由兩函數(shù)圖象特點可知，有，可見，故W>N1. (201

11、1·北京)已知函數(shù)若關于x的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是_2.(2011·廣東)等差數(shù)列an前9項的和等于前4項的和若a11，aka40，則k_. 3.(2009·福建)若曲線f(x)ax3lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是_4. (2010·天津)設函數(shù)f(x)x，對任意x1，)，f(mx)mf(x)<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解答： 1. (0,1)解析：f(x)(x2)單調遞減且值域為(0,1，f(x)(x1)3(x2)單調遞增且值域為(，1)，結合函數(shù)的圖象可得f(x)k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是

12、(0,1)2. 10解析：S9S4,9a1d4a1d，a11，d；由1(k1)13×0，得k10.本題也可用數(shù)列性質解題，S9S4a70.3. (，0)解析：由題意可知f(x)3ax2，又因為存在垂直于y軸的切線，所以3ax20a(x0)a(，0)4. (，1)解析：因為對任意x1，)，f(mx)mf(x)2mx0恒成立，顯然m0.所以當m0時，有2m2x21m20對任意x1，)恒成立，即2m2×11m20，解得m21，即m1；當m0時，有2m2x21m20對任意x1，)恒成立，m無解，綜上所述實數(shù)m的取值范圍是m1.解答題題型一構造函數(shù)與方程思想【例1】已知函數(shù)f(x)x

13、|x23|，x0，m，其中mR，且m>0(1) 若m<1，求證：函數(shù)f(x)是增函數(shù)；(2) 如果函數(shù)f(x)的值域是0,2，試求m的取值范圍；(3) 如果函數(shù)f(x)的值域是0，m2，試求實數(shù)的最小值解答：(1) 證明：當m<1時，f(x)x(3x2)3xx3，因為f(x)33x23(1x2)>0，所以f(x)是增函數(shù)，(2) 解：令g(x)x|x23|，x0，則g(x)當0x時，g(x)33x2，由g(x)0得x1，所以g(x)在0,1上是增函數(shù)，在1，上是減函數(shù)當x>時，g(x)3x23>0，所以g(x)在，)上是增函數(shù)，所以x0，時，g(x)maxg

14、(1)2，g(x)ming(0)g()0，所以0<m<1不符合題意，1m符合題意當m>時，在x0，時，f(x)0,2，在x，m時，f(x)0，f(m)，這時f(x)的值域是0,2的充要條件是f(m)2，即m33m2，(m2)(m1)20，解得<m2.綜上，m的取值范圍是1,2(3) 由(2)可知，0<m<1時，函數(shù)f(x)的最大值為f(m)3mm3，當1m2時，函數(shù)f(x)的最大值為f(1)2.由題意知2m2，即，m1,2時這是減函數(shù)， .當m>2時，函數(shù)f(x)的最大值為f(m)m33m，由題意知m33mm2，即m，這是增函數(shù)， .綜上，當m2時，實

15、數(shù)取最小值為.變式訓練已知函數(shù)g(x)xlnx，設0ab，求證：0g(a)g(b)2g(ba)ln2.點撥：確定變量，構造函數(shù)證明不等式證明：g(x)xlnx，g(x)lnx1.構造函數(shù)F(x)g(a)g(x)2g，則F(x)g(x)2lnxln.當0xa時，F(xiàn)(x)0，在此F(x)在(0，a)內為減函數(shù)；當xa時，F(xiàn)(x)0，因此F(x)在(a，)上為增函數(shù)從而，當xa時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因為F(a)0，ba，所以F(b)0，即0g(a)g(b)2g.再構造函數(shù)G(x)F(x)(xa)ln2，則G(x)lnxlnln2lnxln(ax)當x0時，G(x)0.因此G(x)在(0，)上為

16、減函數(shù)因為G(a)0，ba，所以G(b)0，即g(a)g(b)2g(ba)ln2.綜上得0g(a)g(b)2g(ba)ln2.【例2】已知二次函數(shù)yg(x)的導函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得最小值m1(m0)設函數(shù)f(x).(1) 若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值(2) k(kR)如何取值時，函數(shù)yf(x)kx存在零點，并求出零點解：(1) 設g(x)ax2bxc，則g(x)2axb；又g(x)的圖象與直線y2x平行， 2a2，a1.(1分)又g(x)在x1取極小值，1，b2， g(1)abc12cm1，cm；(2分)f(x)x2，設P(

17、x0，y0)，則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m，(4分)當且僅當2x02時，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值.當m>0時，2m2m2， m1(6分)當m<0時，2m2m2， m1(7分)(2) 由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.(*)當k1時，方程(*)有一解x，函數(shù)yf(x)kx有一零點x；(8分)當k1時，方程(*)有二解44m(1k)>0，若m>0，k>1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點x；(10分)若m<0，k<1，函數(shù)yf(x)kx有兩個零點，x；(12分)當k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1

18、， 函數(shù)yf(x)kx有一個零點，x.(14分)【例3】對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：f(x)在D內單調遞增或單調遞減；存在區(qū)間使f(x)在上的值域為；那么把叫閉函數(shù)（1）求閉函數(shù)符合條件的區(qū)間；（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)k的范圍分析：這是一個新定義型的題目，要能從題中所給信息，進行加工提煉，得出解題的條件解：（1）由題意，上遞減，則解得所以，所求的區(qū)間為1，1（2）當所以，函數(shù)在定義域上不單調遞增或單調遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間a，b，在區(qū)間a，b上，函數(shù)f(x)的值域為a，b，即，的兩個實數(shù)根，即方程有兩個不等的

19、實根設f(x)=x2(2k1)xk22.法一：當時有解得當有此時不等式組無解綜上所述，法二：只需滿足方程x2(2k1)xk220有兩大于或等于k的不等實根，即：點評：在解數(shù)學題的過程中，尋找一個命題A的等價命題B往往是解題的關鍵，本題就是運用函數(shù)與方程的思想把一個看似函數(shù)性質討論的問題轉化為方程解的討論問題題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應用【例4】設a>b>c，且abc=0，拋物線被x軸截得的弦長為l，求證：證明：，且從而故拋物線與x軸有兩個不同的交點，即方程必有兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理得可見，是的二次函數(shù)由及，得，解得在上是減函數(shù)，即題型三函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應用【例5】已知函數(shù)f(x)=x2(m1)xm(mR)(1)若tanA，tan