數(shù)學模型 第二章

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 錄像機計數(shù)器的用途錄像機計數(shù)器的用途2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.6 實物交換實物交換2.7 核軍備競賽核軍備競賽2.8 啟帆遠航啟帆遠航2.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化2.1 公平的席位分配公平的席位分配系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比

2、例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問問題題三個系學生共三個系學生共200名名(甲系甲系100,乙系乙系60,丙系丙系40)代表會代表會議共議共20席，按比例分配，三個系分別為席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。席。因?qū)W生轉(zhuǎn)系，因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為三系人數(shù)為103, 63, 34, 問問20席如何分配席如何分配?若增加為若增加為21席，又如何分配席，又如何分配?比比例例加加慣慣例例對對丙丙系系公公平平嗎嗎系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5

3、6.3 丙丙 34 17.0 3.4 總和總和 200 100.0 20.0 20系別系別 學生學生 比例比例 20席的分配席的分配 人數(shù)人數(shù) （%） 比例比例 結(jié)果結(jié)果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4總和總和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 結(jié)果結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的數(shù)量指標衡量公平分配的數(shù)量指標 人數(shù)人數(shù) 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2當當p1/n1= p2/n2 時，分配公

4、平時，分配公平 p1/n1 p2/n2 對對A的的絕對不公平度絕對不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對但后者對A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !雖二者雖二者的的絕對絕對不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，對，對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若

5、增加席，若增加1席，問應(yīng)分給席，問應(yīng)分給A, 還是還是B不妨設(shè)分配開始時不妨設(shè)分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對，即對A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對對A的的相對不公平度相對不公平度將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)動態(tài)的席位分配的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計算應(yīng)計算rB

6、(n1+1, n2)應(yīng)計算應(yīng)計算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B當當 rB(n1+1, n2) 車身的平均長度車身的平均長度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒準則秒準則”與與“10英里英里/小時加一車身小時加一車身”規(guī)則規(guī)則不同不同剎剎車車距距離離反應(yīng)時間反應(yīng)時間司機司機狀況狀況制動系統(tǒng)制動系統(tǒng)靈活性靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質(zhì)量成正比，最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。使汽車作勻減速運動。車速車速常數(shù)常數(shù)反反

7、應(yīng)應(yīng)距距離離制制動動距距離離常數(shù)常數(shù)假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車距離剎車距離 d 等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動距離與制動距離 d2 之和之和2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離 d1與車速與車速 v成正比成正比3. 剎車時使用最大制動力剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變作功等于汽車動能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時間為反應(yīng)時間21ddd且且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比22kvd 反應(yīng)時間反應(yīng)時間 t1的經(jīng)驗估計值為的經(jīng)驗估計值為0.75秒秒?yún)?shù)估計參數(shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)

8、擬合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計算剎車距離、剎車時間計算剎車距離、剎車時間車速車速(英里英里/小時小時) (英尺英尺/秒秒)實際剎車距離實際剎車距離（英尺）（英尺）計算剎車距離計算剎車距離（英尺）（英尺）剎車時間剎車時間（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準則秒準則”應(yīng)修正為應(yīng)

9、修正為 “t 秒準秒準則則”22106. 075. 0vvkvvtd模模 型型車速車速(英里英里/小時小時)剎車時間剎車時間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里車速（英里/小時）小時）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績賽艇賽艇 2000米成績米成績 t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87

10、5.92 5.82 5.73 5.84艇長艇長l 艇寬艇寬b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 漿手數(shù)漿手數(shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對四種賽艇（對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系。數(shù)學模型揭示這種關(guān)系。問問題題準準備備調(diào)查賽艇的尺寸和重量調(diào)查賽艇的尺寸和重量l /b,

11、 w0/n 基本不變基本不變問題分析問題分析 前進阻力前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進動力前進動力 漿手的劃漿功率漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿劃漿功率功率 賽艇賽艇速度速度賽艇賽艇速度速度前進前進動力動力前進前進阻力阻力漿手漿手數(shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運用合適的物理定律建立模型運用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為

12、常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號：艇速符號：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 漿手數(shù)漿手數(shù) n, 漿手功率漿手功率 p, 漿手體重漿手體重 w, 艇重艇重W艇的靜態(tài)特性艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比漿手的特征漿手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績比賽成績 t n 1/9np fv模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗n t1 7

13、.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績對模型成績對模型 t n 1/ 9 進行檢驗進行檢驗tn12487.216.886.325.84與模型巧合！與模型巧合！問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙

14、占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點的偏愛，則矩形內(nèi)任一點 p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.7 實物交換實物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線: :（描述甲對（描述甲對X X、Y Y的偏愛程度）的偏愛程度）分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即具有同樣的滿意程度，即p1, p2對甲是無差別的，對甲是無差別的，MN將所有與將所有

15、與p1, p2無差別的點連接無差別的點連接起來，得到一條起來，得到一條無差別曲線無差別曲線MN, 線上各點的滿意度相同線上各點的滿意度相同, 線的形狀反映對線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點滿意度更高的點如各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線，在另一條無差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點凸向原點) 互不相交互不相交在在p1點占有

16、點占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點占有點占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標坐標系系xOy, 且反向）且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線

17、族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因為在因為在AB外的任一點外的任一點p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點上的點p兩族曲線切點連線記作兩族曲線切點連線記作ABABp 交換方案的進一步確定交換方案的進一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形內(nèi)任一點形內(nèi)任一點交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價交等價交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前前x0,y0價值相同，則等價交換原價值相同，則等價交換原則下交換路

18、徑為則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點的連線兩點的連線CDAB與與CD的的交點交點p設(shè)設(shè)X單價單價a, Y單價單價b, 則等價交換下則等價交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x2.7 核軍備競賽核軍備競賽 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威核威懾戰(zhàn)略懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。，核軍備競賽不斷升級。 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無

19、限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。在暫時的平衡狀態(tài)。 當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。背背景景以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈

20、攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。給對方重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈時，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈時，乙方所需的最少導(dǎo)

21、彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈時，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈時，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當當 x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導(dǎo)彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點平衡點(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線精細精細模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一

22、個甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率?；?，基地未被摧毀的概率。sx個基地未摧毀，個基地未摧毀，yx個基地未攻擊。個基地未攻擊。xy甲方以甲方以 x攻擊乙方攻擊乙方 y個基地中的個基地中的 x個個,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個被攻擊個被攻擊2次，次，s2(xy)個未摧毀；個未摧毀；y (xy)=2y x個被攻擊個被攻擊1次，次，s(2y x )個未摧毀個未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比甲乙導(dǎo)彈

23、數(shù)量比)x=a y,精細精細模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值威懾值s殘存率殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平a變大，變大，y增加，曲線變陡增加，曲線變陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御也會使

24、雙方軍備競賽升級。甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進為可移動發(fā)射架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減

25、少PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP a 變大變大 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 帆船在海面上乘風遠航，確定帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最

26、佳的航行方向及帆的朝向簡化問題簡化問題AB 風向風向北北航向航向帆船帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船要從要從A點駛向正東方的點駛向正東方的B點，點，確定起航時的航向確定起航時的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.8 啟帆遠航啟帆遠航模型分析模型分析 風風(通過帆通過帆)對船的推力對船的推力w 風對船體部分的阻力風對船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風面積與帆迎風面積s1成正比，成正比，p與船迎風面積與船迎風面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比

27、例系數(shù)相同且 s1遠大于遠大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使

28、使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當當 固定時求固定時求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時時 f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備注備注 只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型 航行過程中終

29、點航行過程中終點B將不在正東方將不在正東方 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s22.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化物物理理量量的的量量綱綱長度長度 l 的量綱記的量綱記 L=l質(zhì)量質(zhì)量 m的量綱記的量綱記 M=m時間時間 t 的量綱記的量綱記 T=t動力學中動力學中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱 v=LT-1導(dǎo)出量綱導(dǎo)出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱

30、的量綱 k對無量綱量對無量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系系例：單擺運動例：單擺運動)1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動周期求擺動周期 t 的表達式的表達式設(shè)物理量設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式之間有關(guān)系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達式的量綱表達式glt2對比對比332

31、12TLMT12003321對對 x,y,z的兩組測量值的兩組測量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設(shè)這種形式為什么假設(shè)這種形式321glmt 設(shè)設(shè)p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TML

32、TMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式的一般表達式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量0)(F設(shè)設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r )

33、= 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個相互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2,

34、l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個基本解個

35、基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價等價flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達式的顯式表達式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價221213,),(lsglvglf量綱分析法的評

36、注量綱分析法的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性結(jié)果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個數(shù)基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識不需要特定的專業(yè)知識2.9.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力通過航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船

37、的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量測量測 f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3 無量綱化無量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半星球半徑徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律t=0 時時 x=0, 火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律)0( xgx grkm223個獨立參數(shù)個獨立參數(shù)用