清華大學(xué)彈性力學(xué)馮西橋FXQChapter張量PPT課件

1、目目 錄錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第1頁/共101頁引引 言言u 廣義相對論（1915）、理論物理u 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）u 現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示Appendix A主要參考書:W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.第2頁/共101頁張量基本概念張量基本概念標(biāo)標(biāo) 量量（零階張量）（

2、零階張量）例如：質(zhì)量，溫度例如：質(zhì)量，溫度 質(zhì)量密度質(zhì)量密度 應(yīng)變能密度，等應(yīng)變能密度，等其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。 Appendix A.1第3頁/共101頁矢量矢量（一階張量）（一階張量）位移，速度，位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量，等法向矢量，等 Appendix A.11 0 ijijije e張量基本概念張量基本概念第4頁/共101頁矢矢 量量矢量矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為31 12 23 31iiuuuuiueeeeAppendix A.1其中其中u1, u2, u3 是是u的三個分量，的三個分量，e1, e2, e3是單位基矢

3、量。是單位基矢量。張量基本概念第5頁/共101頁矢矢 量量Appendix A.1n 既有大小又有方向性的物理量;n 其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；n 遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則張量基本概念第6頁/共101頁矢量矢量( (可推廣至張量可推廣至張量) )的三種記法：的三種記法： 實(shí)體記法實(shí)體記法： u 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1iu31 12 23 31iiuuuuiueeee張量基本概念第7頁/共101頁Appendix A.1指標(biāo)符號用法1. 三維空間中任意點(diǎn)三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x, y, z）可縮寫成可縮寫成 xi , 其中其中

4、x1=x, x2=y, x3=z。2. 兩個矢量兩個矢量a和和b的分量的的分量的點(diǎn)積點(diǎn)積(或稱或稱數(shù)量積數(shù)量積)為：為：31 1223 31= iiia ba ba baba b張量基本概念第8頁/共101頁愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定 如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)啞指標(biāo)，簡稱，簡稱啞標(biāo)啞標(biāo)。Appendix A.131 1223 3131 12 23 31 = =iiiiiiiiuuuuua ba ba

5、bab abiiueeeeea b張量基本概念第9頁/共101頁Appendix A.1 由于由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)由于啞標(biāo) i 僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如換。例如：= jjmma ba ba b只要指標(biāo)只要指標(biāo) j 或或 m 在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和和 i 相同。相同。 iiaba b = b a =張量基本概念第10頁/共101頁約定： 如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i, j, k, 表示三維指標(biāo)，取值表示三維

6、指標(biāo)，取值1, 2, 3; 希臘指標(biāo)希臘指標(biāo), , , 均為二維指標(biāo)，取值均為二維指標(biāo)，取值1, 2。張量基本概念第11頁/共101頁張量基本概念1 1223 31 12 23 3= = iikkuuuua ba ba ba bueeeea b 拉丁指標(biāo)1 1221 12 2= uuua ba ba bueeea b 希臘指標(biāo)第12頁/共101頁張量基本概念張量基本概念二階張量二階張量應(yīng)變應(yīng)變 ，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量三階張量壓電張量，等。壓電張量，等。四階張量四階張量彈性張量，等。彈性張量，等。Appendix A.1第13頁/共101頁二階（

7、或高階）張量的來源二階（或高階）張量的來源 描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量 低階張量的梯度低階張量的梯度 低階張量的并積低階張量的并積 更高階張量的縮并，等。更高階張量的縮并，等。Appendix A.1張量基本概念第14頁/共101頁張量基本概念張量基本概念應(yīng)力張量應(yīng)力張量Appendix A.1第15頁/共101頁張量的三種記法：張量的三種記法： 實(shí)體記法實(shí)體記法： 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法：Appendix A.1ij11 1 112 1 213 1 321 2 122 2 223 2 331 3 132 3 233

8、3 3 + + e ee ee ee ee ee ee ee ee e 張量基本概念 第16頁/共101頁愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定Appendix A.11 12233ijjiiiinnnnT張量基本概念11 11221331nnnT21 12222332nnnT31 13223333nnnT第17頁/共101頁Appendix A.1采用指標(biāo)符號后，線性變換表示為采用指標(biāo)符號后，線性變換表示為111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x 利用愛因斯坦求和約定，寫成：利

9、用愛因斯坦求和約定，寫成：iijjxa x 其中其中 j 是啞指標(biāo)，是啞指標(biāo)，i 是自由指標(biāo)。是自由指標(biāo)。張量基本概念第18頁/共101頁 例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為是具有二重方向性的二階張量，記為 (或或 )。 矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量一階張量，標(biāo)量為標(biāo)量為零階張量零階張量。Appendix A.1張量基本概念第19頁/共101頁Appendix A.1在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同

10、項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：標(biāo)。例：,0ji jif 若i為自由指標(biāo),0ji jiif張量基本概念第20頁/共101頁Appendix A.1自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式例如：表達(dá)式 在自由指標(biāo)在自由指標(biāo) i 取取1 1，2 2，3 3時該式始終成立，即有時該式始終成立，即有iijjxa x 111 11221331221 12222332331 13223333jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa

11、xa x 張量基本概念第21頁/共101頁同時取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指同時取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。標(biāo)應(yīng)防止重名。 自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個新名字。的同名自由指標(biāo)全部改成同一個新名字。Appendix A.1,0ji jif,0ji jif,0jk jkfi換成換成k張量基本概念第22頁/共101頁Appendix A.1指標(biāo)符號也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維指標(biāo)符號也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長度空間中線元長度 ds 和其分量和其分量

12、 dxi 之間的關(guān)系之間的關(guān)系2222123ddddsxxx可簡寫成：可簡寫成：2dddiisxx場函數(shù)場函數(shù) f(x1, x2, x3) 的全微分：的全微分：ddiiffxx張量基本概念第23頁/共101頁Appendix A.1可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對( (或幾對或幾對) )不同啞指標(biāo)的方法來不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：3311ijijijijija x xa x x 若要對在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，若要對在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號。如：一般應(yīng)加求和號。如：31 1 12223 3 31iiiia bca

13、b ca b cabc 張量基本概念第24頁/共101頁Appendix A.1一般說不能由等式一般說不能由等式iiiiabac兩邊消去兩邊消去ai導(dǎo)得導(dǎo)得iibc但若但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立殊值使得上式成立張量基本概念第25頁/共101頁Appendix A.1小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)通過啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個方程。又把許多方程縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標(biāo)符號寫出的方程中，若有一般說，在一個用指標(biāo)符號寫出的方程中，若有k個獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取

14、值范圍是個獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1n，則這個方，則這個方程代表了程代表了nk 個分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時出個分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時出現(xiàn)現(xiàn)m對取值范圍為對取值范圍為1n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的加的nm個項(xiàng)。個項(xiàng)。張量基本概念第26頁/共101頁張量分析初步張量分析初步 矢量和張量的記法，求和約定 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第27頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst ij符號 (Kronecker delta) 定義定

15、義(笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系)1 ( = )0 ()ijijij(i, j=1, 2, , n) 特性特性1. 對稱性，由定義可知指標(biāo)對稱性，由定義可知指標(biāo) i 和和 j 是對稱的，即是對稱的，即 ijji第28頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst2. ij 的分量集合對應(yīng)于的分量集合對應(yīng)于單位矩陣單位矩陣。例如在三維空間。例如在三維空間1112132122233132331000100013. 換標(biāo)符號，具有換標(biāo)作用。例如：換標(biāo)符號，具有換標(biāo)作用。例如：2dddddddijijiijjsxxxxxx即：如果符號即：如果符號的兩個指標(biāo)中，有一個和同項(xiàng)中其它的兩個指標(biāo)

16、中，有一個和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個重指標(biāo)換成因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個重指標(biāo)換成的另一個指標(biāo)，而的另一個指標(biāo)，而自動消失。自動消失。第29頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst 類似地有類似地有 ; ; ; ijjkikijikjkijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaaaaa 第30頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst erst符號(排列符號或置換符號) 定義定義(笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系)110rste 當(dāng)當(dāng)r, s, t為正序排列時為正序排列時當(dāng)當(dāng)r, s, t為逆序排列時為逆序

17、排列時當(dāng)當(dāng)r, s, t中兩個指標(biāo)值相同時中兩個指標(biāo)值相同時(1,2,3)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)稱為稱為正序排列正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)稱為稱為逆序排列逆序排列。12rster s s t t r或或第31頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst 特性特性1.1.共有共有2727個元素，其中三個元素為個元素，其中三個元素為1 1，三個元素，三個元素 為為-1-1，其余的元素都是，其余的元素都是0 02.2.對其任何兩個指標(biāo)都是對其任何兩個指標(biāo)都是反對稱反對稱

18、的，即的，即3.3.當(dāng)三個指標(biāo)輪流換位時當(dāng)三個指標(biāo)輪流換位時( (相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對換兩相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對換兩次次) )，erst的值不變的值不變 rstsrtrtstsreeee rststrtrseee第32頁/共101頁 常用實(shí)例常用實(shí)例1. 三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：它具有如下重要性質(zhì)： 每個基矢量的模為每個基矢量的模為1，即，即eiej1 (當(dāng)當(dāng)ij時時) 不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即eiej0 (當(dāng)當(dāng)ij時時) 上述兩個性質(zhì)可以用上述兩個性質(zhì)可以用ij 表示統(tǒng)一形式：表示統(tǒng)一形式：eiej i

19、jAppendix A.2符號符號 ij與與erst第33頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst 當(dāng)三個基矢量當(dāng)三個基矢量ei, ej, ek構(gòu)成右手系時，有構(gòu)成右手系時，有 ijijkkeeee 而對于左手系，有：而對于左手系，有： ijijkke eee1e3e2e1e2e3e第34頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst2. 矢量的矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積：3. 矢量的矢量的叉積叉積(或稱矢量積或稱矢量積) ： () ()() jjkkjkjkjkjkjjkkaba ba ba ba ba beee e() ()()()jjkkjkjkijkjki

20、aba be a babeeeeen 如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。第35頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst()ijkjkie a bcabe叉積的幾何意義是叉積的幾何意義是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量a和和b構(gòu)成的平行四邊形構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法面積，方向沿該面元的法線方向。線方向。ijkijkjkjkica b ea b e第36頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erstcosa ba bsinaba b()()0ab aab b第37頁/共101頁三個矢量三個矢量a, b, c的的混

21、合積混合積是一個標(biāo)量，其定義為：是一個標(biāo)量，其定義為：若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值反號。當(dāng)反號。當(dāng)a, b, c構(gòu)成右手系時，混合積表示這三個矢構(gòu)成右手系時，混合積表示這三個矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。體積的負(fù)值。符號符號 ij與與erst , , ()a b c = ab ca b c第38頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst 由此可見符號由此可見符號ij和和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。積有關(guān)

22、。 利用利用(A.24)和和(A.23a)式有式有(A.23a) (A.24) () ijijijkjkie a be eabe , , () ()mmijkjkiijkmjkmiijkijkae b ce a b ce ab ca b ca b c =ee第39頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst5. 三階行列式的值三階行列式的值11121321222311223321321331 1223313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa31221321 1233113223a a aa a aa a a123123ijkijkijkijke a a

23、ae a a a第40頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst5. 三階行列式的值三階行列式的值111213212223123123313233ijkijkijkijkaaaaaae a a ae a a aaaa111222123333rstrstrstijkijkrstaaaaaae e a a aaaa123orosotprpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaaaaee e a a aaaa第41頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst5. 三階行列式的值三階行列式的值123orosotprpsptopqrstijkijkqr

24、qsqtee e 123opqrstee eopqrstee第42頁/共101頁Appendix A.2符號符號 ij與與erst5. e-恒等式，其一般形式為：恒等式，其一般形式為：即即退化形式為：退化形式為：irisitijkrstjrjsjtkrkskte e26ijkrjkirijkijke ee eijkistjsktksjte e 第43頁/共101頁附錄附錄A 張量分析引論張量分析引論 矢量和張量的記法，求和約定 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第44頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐

25、標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.31231 12233(,)iix xxxxxxreeee笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系( (單位直角坐標(biāo)系單位直角坐標(biāo)系) )第45頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系( (單位直角坐標(biāo)系單位直角坐標(biāo)系) )坐標(biāo)變化時，矢徑的變化為坐標(biāo)變化時，矢徑的變化為 1231 1223 3( ,)iix xxxxxxreeee123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre第46頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 任意坐標(biāo)系任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時，矢徑的變化為坐標(biāo)變化時，矢徑

26、的變化為 123(,)x x xr = r123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrrg第47頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 概念概念 坐標(biāo)線坐標(biāo)線 當(dāng)一個坐標(biāo)任意變化而另兩個坐標(biāo)保持不變時，當(dāng)一個坐標(biāo)任意變化而另兩個坐標(biāo)保持不變時，空間點(diǎn)的軌跡，過每個空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線?？臻g點(diǎn)的軌跡，過每個空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線。 基矢量基矢量 矢徑對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個基矢量矢徑對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個基矢量gi (1,2,3)iiixrg第48頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3參考架參考架 空間每點(diǎn)處有三個基矢量，它們組成

27、一個參考架空間每點(diǎn)處有三個基矢量，它們組成一個參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對其或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。對笛卡爾坐標(biāo)系：對笛卡爾坐標(biāo)系：iiuug112233123; ; xxxrrrgege ge1231 1223 3(,)iix x xxxxxreeee第49頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3iiuug三個相互正交的單位基矢量三個相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基正交標(biāo)準(zhǔn)化基第50頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3歐氏空間中的一般

28、坐標(biāo)系歐氏空間中的一般坐標(biāo)系p 現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交；p 不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行；p 基矢量的大小和方向都可能隨點(diǎn)而異；p 各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。 第51頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(A.38) ; ijijijij e ee e第52頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3將新基將新基 對老基對老基 分解：分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：反之： i eje1 12233iiiii jj eeeeecos(,)i jijijji=eee ee e112233jjjji jieeeee(A.38) ;

29、 ijijijij e ee e第53頁/共101頁向新坐標(biāo)軸向新坐標(biāo)軸 投影，即用投影，即用 點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：右邊：右邊： 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3i ei0, , ()iijjiixxx 0rerere0rr + rikkikkiixxx r ee e =00()()( )ijjikkiji jixxxx0r + ree ee e(A.38) ; ijijijij e ee e第54頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.300()()( )ikkikkiiijjikkiji jixxxxxxx 0r ee e

30、 =r + ree ee e由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式 經(jīng)過類似推導(dǎo)可得經(jīng)過類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式 0( )ii jjixxx0()ji jijxxx第55頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.300( )()ii jjiji jijxxxxxx坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合坐標(biāo)原點(diǎn)重合) 11 11 21 3122 12 22 3233 13 23 33xxxxxxxx 或或 11 12 13 1121 22 23 2231 32 33 3

31、3Txxxxxxxx 或或第56頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標(biāo)系，設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標(biāo)系， 和和 是同一空間點(diǎn)是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換正轉(zhuǎn)換其逆變換為其逆變換為對對(A.53)式微分式微分ixjx ( ,1,2,3)jjixxxi j ( ,1,2,3)iijxxxi j(A.53)ddiijjxxxx 第57頁/共101頁處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，

32、即可反過來用處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用 唯一確定唯一確定坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) )111123222123333123ijxxxxxxxxxxJxxxxxxxxxxdixdjx第58頁/共101頁坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Appendix A.3 容許轉(zhuǎn)換容許轉(zhuǎn)換 由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J J處處處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 正常轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換 J 處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系 反常轉(zhuǎn)換反常轉(zhuǎn)換

33、 J 處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系第59頁/共101頁張量分析引論張量分析引論 矢量和張量的記法，求和約定 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第60頁/共101頁分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律Appendix A.4 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量張量，都不會因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其，都不會因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān) 所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時應(yīng)滿足一定的規(guī)律，所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)

34、換時應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其以保證其坐標(biāo)不變性坐標(biāo)不變性第61頁/共101頁Appendix A.4 標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 設(shè)一個標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為設(shè)一個標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為 和和 t，則，則 矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 ttt , ii jjji jiaaaa分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律第62頁/共101頁Appendix A.4 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 以三維空間的二階張量為例，其分解式是以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，其中，Tij 為為張量分量張量分量，eiej稱為稱為基矢量基矢量，就是把兩個，就是把兩個基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，

35、成為構(gòu)成矢量基矢量并寫在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。的基。分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律第63頁/共101頁Appendix A.4 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 即：即： ijijTTe emnm in jijTT 分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律ji jieeijm imn jnTeem in jijmnT e e mni mj nijTT第64頁/共101頁Appendix A.4高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律ijki rj sk trstrsti rj sk tijkTTTT KKKK分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律第65頁/共101頁Appendix A.4注：

36、在一個表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號在一個表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號 中，中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個自由指標(biāo)的，每個自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所以以n維維K階張量共有階張量共有nK個分量。個分量。ijkrstTT或或分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律第66頁/共101頁Appendix A.4 張量方程 定義定義 每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程張量方程。 特性特性 具有與

37、具有與坐標(biāo)選擇無關(guān)坐標(biāo)選擇無關(guān)的重要性質(zhì)，可用于的重要性質(zhì)，可用于 描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。 分量轉(zhuǎn)換規(guī)律分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 or : ijijklklCC0 or ij jiff0, 第67頁/共101頁張量分析引論張量分析引論 矢量和張量的記法，求和約定 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第68頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 相相 等等 若兩個張量若兩個張量 和和 相等相等 則對應(yīng)分量相等則對應(yīng)分量相等若兩個張量在某個坐標(biāo)系中的對應(yīng)分量

38、相等，則若兩個張量在某個坐標(biāo)系中的對應(yīng)分量相等，則它們在任何其他坐標(biāo)系中對應(yīng)分量也相等。它們在任何其他坐標(biāo)系中對應(yīng)分量也相等。ijijTTe eijijSSe eTSijijTS第69頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 和、差和、差 兩個同階張量兩個同階張量 與與 之和之和( (或差或差) )是另一個同階張量是另一個同階張量其分量關(guān)系其分量關(guān)系ijijAAe eijijBBe eijijTTe eTABijijijTAB第70頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 數(shù)數(shù) 積積 張量張量A和一個數(shù)和一個數(shù) (或標(biāo)量函數(shù)或標(biāo)量函數(shù)) 相乘得另一同維同階相乘得另一同維

39、同階張量張量T其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為=TAijijTA第71頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 并并 積積 兩個同維不同階兩個同維不同階(或同階或同階)張量張量A和和B的并積的并積T是一個是一個階數(shù)等于階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則則其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為 ijkijkAAe e elmlmBBe eijklmijklmTTAB =e e e e eijklmijklmTA BAB BA注意：第72頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 縮縮 并并 若對基張量中的任意兩個基矢量求點(diǎn)積，在張量將若對基張量中的任意兩個基矢量求點(diǎn)積，

40、在張量將縮并為低二階的新張量?？s并為低二階的新張量。 其分量關(guān)系為其分量關(guān)系為ijijTSijkijkijkjkjijijjjTTTSSe e eeee第73頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則ijkijkiikkkkRTTRe e eee 若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若果也不同。例如若ijkijkijijjjTTSSe e eeeRSjiijRTjijiST第74頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 內(nèi)內(nèi) 積積 并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如 和和 的一種內(nèi)積是的一

41、種內(nèi)積是iklijkljSA BijkijkAAe e elmlmBB =e eijkijklmlmijkljiklikliklABA BS Se e ee ee e ee e e第75頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 點(diǎn)點(diǎn) 積積 前張量前張量A的最后基矢量與后張量的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為并的結(jié)果，記為 ，是最常用的一種內(nèi)積。是最常用的一種內(nèi)積。兩個二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。兩個二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。A B=ijklm ijklmijkkm ijmijm ijkA BA BRRA Be e e e ee e ee e ei

42、jmijkkmRA B第76頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 雙點(diǎn)積雙點(diǎn)積 對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：并雙點(diǎn)積并雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積:ijkjkiiiA BTTA B =eeijkkjiiiSA BSA B =eeiijkjkTA B=iijkkjSA B=第77頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 并矢并矢 把把K個獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積個獨(dú)立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個是一個K階張量。階張量。iijjkkijkijk=

43、abcab cTabceeee e eijkijkTab c由于矢量的并積不服從交換律，并矢量中各個矢量的排列順序不得任由于矢量的并積不服從交換律，并矢量中各個矢量的排列順序不得任意調(diào)換。意調(diào)換。第78頁/共101頁張量代數(shù)張量代數(shù)&商判則商判則 商判則和任意矢量的內(nèi)積和任意矢量的內(nèi)積(包括點(diǎn)積包括點(diǎn)積)為為 K-1 階張量的量一定階張量的量一定是個是個 K 階張量。階張量。一個一個 K 階張量連續(xù)地和階張量連續(xù)地和 n 個任意矢量求內(nèi)積，其縮個任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個并的結(jié)果是一個 K-n 階張量階張量第79頁/共101頁張量分析引論張量分析引論 矢量和張量的記法，求和約定

44、 符號ij與erst 坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商判則 常用特殊張量，主方向與主分量Appendix A第80頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 常用特殊張量 零零 張張 量量 則：則： 0T0, 0ijijTT 第81頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 單位張量單位張量 笛卡爾坐標(biāo)系中笛卡爾坐標(biāo)系中分量為分量為ij的二階張量的二階張量 I，即，即1 1223 3ijijIe ee ee ee e ijijijijII 且且單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：

45、I aa， I AA第82頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 球形張量球形張量 主對角分量為主對角分量為 ，其余分量為零的二階張量。它其余分量為零的二階張量。它是數(shù)是數(shù) 與單位張量的數(shù)積。即與單位張量的數(shù)積。即SIijijS第83頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 轉(zhuǎn)置張量轉(zhuǎn)置張量 對于二階張量對于二階張量 ，由對換分量指標(biāo)而基，由對換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量稱為張量 T 的轉(zhuǎn)置張量。的轉(zhuǎn)置張量。ijijTTe eTjiijijjiTTTe ee e第84頁/共101頁特殊張量，主方

46、向與主分量特殊張量，主方向與主分量 對稱張量對稱張量T ; ijjiTTTTT ; ijjiTT TT 對稱張量對稱張量 第85頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 反對稱張量反對稱張量 轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張量的獨(dú)立分量只有三個。量的獨(dú)立分量只有三個。n維二階對稱張量有維二階對稱張量有 個獨(dú)立分量個獨(dú)立分量 ; ijjiTT *TT112n n第86頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 加法分解加法分解

47、任意二階張量任意二階張量T均可分解為對稱張量均可分解為對稱張量 S 和反對稱張和反對稱張量量 A 之和：之和：TSAT12S =TTT12A=TT第87頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 任意二階對稱張量任意二階對稱張量 S 均可分解為球形張量均可分解為球形張量 P 和偏斜和偏斜張量張量 D 之和：之和： SPD13iiS ijijP ijijijijijDSPS其中其中 =0 iiiiiiDS第88頁/共101頁偏斜張量為偏斜張量為由式由式(A.90b)和和(A.90c)知，偏斜張量三個對角分量之知，偏斜張量三個對角分量之和為零和為零：;ijij

48、ijDSPDSP 1303iiiiiiDSS(A.90b)(A.90c)1 31 3iiijijkkijSPS特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量第89頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 置換張量置換張量笛卡爾系中以笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量為分量的三階張量，又稱排列張量rstrsteee e e第90頁/共101頁特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量各向同性張量各向同性張量所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：單位張量例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。的。第91頁/共101頁一般說，矢量一般說，矢量 a 與與 b 并不同向。對于給定的任意二并不同向。對于給定的任意二階張量階張量 T 能否找到某個矢量能否找到某個矢量 ，它在線性變換后能，它在線性變換后能保持方向不變，即保持方向不變，即或或特殊張量，主方向與主分量特殊張量，主方向與主分量 主方向與主分量 二階張量