最新東北師大附屬中學(xué)高三一輪導(dǎo)學(xué)案：平面向量的概念與線性運(yùn)算【A】

1、 平面向量概念與線性運(yùn)算(教案)a一、 知識(shí)梳理：1. 向量的有關(guān)概念(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常記為 ;長(zhǎng)度為 的向量是零向量,記作: ; 的向量,叫單位向量.(2).平行向量(或共線向量)記作: ;規(guī)定:零向量與任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量 加法與減法(1).向量加法按 法則或 法則;向量加運(yùn)算律:交換律: ;結(jié)合律: (2).向量減法作法:3.實(shí)數(shù)與向量的積(1). 實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,記作a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：長(zhǎng)度： 方向： (2)運(yùn)算律 4.共線定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、題型探究探究一：平面向量的基本概念例1給

2、出下列命題：若|，則=；若a，b，c，d是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號(hào)是 。 解析：（1）不正確兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同；正確； ， 且，又 a，b，c，d是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 abcd為平行四邊形；反之，若四邊形abcd為平行四邊形，則，且，因此，。正確； =， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同；又， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同， ，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故。 不正確；當(dāng)/且方向相反時(shí)，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要條件，而是必要不充分條件； 不正確；考慮=這種特

3、殊情況； 綜上所述，正確命題的序號(hào)是。點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。例2：設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=|·(2) 若與a0平行，則=|·；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ）a0b1c2d3解析：向量是既有大小又有方向的量，與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選d。點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易

4、混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。探究二：平面向量的線性運(yùn)算例2：如圖所示，已知正六邊形abcdef，o是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。（1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因?yàn)榱呅蝍bcdef是正六邊形，所以它的中心o及頂點(diǎn)a，b，c四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形abco，所以，=，= =+，由于a，b，o，f四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形abof，所以=+=+=2+，同樣在平行四邊形 bcdo中，()2，。點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以a，b，c，d，e，f及o七點(diǎn)中

5、，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。探究三：平面向量共線定理例3：如圖所示,abc中,點(diǎn)m是bc的中點(diǎn),點(diǎn)n在ac邊上,且an=2nc,am與bn相交于點(diǎn)p,求ap：pm的值.解:設(shè)=e1, e2,則=-3e2-e1, 2e1+e2,apm和bpn分別共線,存在r,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得，即ap:pm=4:1.三、方法提升1、向量的線性運(yùn)算可以結(jié)合圖形，利用三角形法則或平行四邊形法則，特別是有向線段表示向量運(yùn)算時(shí)，要利用“首尾相接”或“起點(diǎn)

6、相同”來化簡(jiǎn)；2、證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線定理來解決。四、反思感悟 五、課時(shí)作業(yè)1.(20xx四川)設(shè)點(diǎn)m是線段bc的中點(diǎn),點(diǎn)a在直線bc外, =16,|則|=( )a.8 b.4 c.2 d.1解析:由可知,則am為rtabc斜邊bc上的中線,因此,|選c.2.已知abc中,點(diǎn)d在bc邊上,且則r+s的值是( ) c.-3 d.0解析: 又r=,r+s=0.故選d.3.平面向量a,b共線的充要條件是( )a.a,b方向相同 b.a,b兩向量中至少有一個(gè)為0c.存在r,使b=a d.存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0解析:a,b共線時(shí),a,b方向相同或相反,故a錯(cuò).a,b共線時(shí),

7、a,b不一定是零向量,故b錯(cuò).當(dāng)b=a時(shí),a,b一定共線,若b0,a=0.則b=a不成立,故c錯(cuò).排除a、b、c,故選d.4.已知oab是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線ab上有一點(diǎn)c,滿足則等于( )解析:故選a.5.設(shè)def分別是abc的三邊bc、ca、ab上的點(diǎn),且則與a.反向平行b.同向平行 c.不平行d.無法判斷解析:故選a.6.已知a,b是不共線的向量, =a+b, =a+b,(,r),那么a、b、c三點(diǎn)共線的充要條件為()a.+=2 b.-=1 c.=-1 d.=1解析:對(duì)充要條件的問題,要注意從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行分析論證.由a、b、c三點(diǎn)共線a+b=ma+mb(-m)a=(m-1)

8、b.因?yàn)閍,b不共線,所以必有故可得=1.反之,若=1,則=所以 (a+b)=所以a、b、c三點(diǎn)共線.故選d.7、關(guān)于非零向量a ，b ，有下列四個(gè)命題 “|a|+|b |=|a+b|”的充要條件是“a 與b方向相同”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要條件是“a 與b方向相反”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要條件是“a 與b有相等的?！?；“|a|-|b |=|a-b|”的充要條件是“a 與b方向相同”；其中真命題的個(gè)數(shù)是（a） 1個(gè) （b）2個(gè) （c）3個(gè) （d）4個(gè)二填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.)8.若點(diǎn)o是abc所在平面內(nèi)的

9、一點(diǎn),且滿足,則abc的形狀為_.解析:故abc為矩形的三個(gè)頂點(diǎn),abc為直角三角形.答案:直角三角形9.在平行四邊形abcd中,ef分別是邊cd和bc的中點(diǎn),若=+u其中,ur,則+u=_.解析:設(shè)則=b-a,代入條件得=u=,+u=.答案:10.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且|=|=1,| |=,若= (,r),則+的值為_解析:過c作與的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交,可得平行四邊形,由boc=90°,aoc=30°,|,得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4,故+=2+4=6.答案:611.如圖,在abc中,點(diǎn)o是bc的中點(diǎn),過點(diǎn)o的直線分別交直線ab,ac于不同的兩點(diǎn)m,n,若則m+n的值為_.解析:由于mn的任意性可用特殊位置法:當(dāng)mn與bc重合時(shí)知m=1,n=1,故m+n