高考數(shù)學(xué)文名師講義：第3章三角函數(shù)與解三角形8【含解析】

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第八節(jié)解三角形的應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)梳理一、實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)術(shù)語(yǔ)、名稱1方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角.2方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏北60°等3仰角與俯角：指視線與水平線的夾角，視線在水平線上方的角叫做仰角視線在水平線下方的角叫做俯角.(3)4坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比如圖(3)，i為坡比二、正、余弦定理可以解決的實(shí)際問(wèn)題距離或?qū)挾?有障礙物)、高度(底部或頂部不能到

2、達(dá))、角度(航?；蚝娇斩ㄎ?、面積等基礎(chǔ)自測(cè)1已知a，b兩地的距離為a，b，c兩地的距離為3a，現(xiàn)測(cè)得abc為銳角，且sinabc，則a，c兩地的距離是()a.a b.a c2a d2a解析：由abc為銳角，sinabc得cosabc.余弦定理知ac2a29a22a·3a·cosabc10a26a2×8a2，所以ac2a.答案：c2如圖所示，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取a，b兩點(diǎn)，從a，b兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且a，b兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度h為 ()a(153)m b(3015)mc(3030)m d(1530)m

3、解析：由正弦定理可得，即pb，hpbsin 45°(3030) m故選c.答案：c3在地面上一點(diǎn)d測(cè)得一電視塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100 m，又測(cè)得塔尖的仰角為60°，則此電視塔高約為_(kāi)解析：如圖，d45°，acb60°，dc100 m，dac15°，因?yàn)閍c，所以abac·sin 60°，50(3) m.答案：50(3) m4如圖所示，已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離等于a km，燈塔a在觀察站c的北偏東20°，燈塔b在觀察站c的南偏東40°，則燈塔a與燈塔b的距離為_(kāi)解析

4、：易知acb120°，在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22ac·bccos 120°2a22a2×3a2，aba(km)答案：a km1在相距2千米的a，b兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)c，若cab75°，cba60°，則a，c兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)千米答案:2.(20xx·江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)a處下山至c處有兩種路徑一種是從a沿直線步行到c，另一種是先從a沿索道乘纜車到b，然后從b沿直線步行到c.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從a處下山，甲沿ac勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2min后，乙從a乘纜車到b，在b處停留

5、1 min后，再?gòu)膭蛩俨叫械絚.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路ac長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos a，cos c.(1)求索道ab的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解析：(法一)(1)cos a，cos c，a，c，sin a，sin c，sin bsinsin(ac)sin acos ccos asin c，根據(jù)得absin c1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙距離為d，則d2(130t)2(10050t)22×130t×(10

6、050t)×，d2200(37t270t50)，0t，即0t8，t時(shí)，即乙出發(fā)分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短(3)由正弦定理得，bcsin a×500(m)，乙從b出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50×(281)550(m)，還需走710 m，才能到達(dá)c.設(shè)乙的步行速度為v m/min，則3，33，. 為使兩位游客在c處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)(法二)(1)如圖作bdca于點(diǎn)d，設(shè)bd20k，則dc15k，ad48k，ab52k，由ac63k1 260 m，知：ab52k1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn)m，此時(shí)甲到達(dá)n點(diǎn)，如圖所示則：

7、am130 x，an50(x2)，由余弦定理得：mn2am2an22 am·ancos a7 400 x214 000 x10 000，其中0x8 ，當(dāng)x(min)時(shí)，mn最小，此時(shí)乙在纜車上與甲的距離最短 (3)由(1)知：bc500 m，甲到c用時(shí)：(min)若甲等乙3分鐘，則乙到c用時(shí)：3 (min)，在bc上用時(shí)： (min)此時(shí)乙的速度最小，且為：500÷ m/min.若乙等甲3分鐘，則乙到c用時(shí)：3 (min)，在bc上用時(shí)： (min)此時(shí)乙的速度最大，且為：500÷ m/min.故乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi)1(20xx·廣州一模)如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d600 m，一艘客船從碼頭a出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭b.已知|ab|1 km，水流速度為2 km/h，若客船行駛完航程所用最短時(shí)間為6 min，則客船在靜水中的速度大小為()a8 km/hb6 km/hc2 km/hd10 km/h解析：設(shè)客船在靜水中的速度大小是x km/h，由題意得，解得x6 km/h.答案：b2已知a船在燈塔c北偏東80°處，且a船到燈塔c的距離為2 km，b船在燈塔c北偏西40°處，a，b兩船間的距離為3 km，則b船到燈塔c的距離為_(kāi)km.解析：如圖，由題意可得