高考數學一輪復習：用樣本估計總體教學案含解析

1、高考數學精品復習資料 2019.5用樣本估計總體知識能否憶起一、作頻率分布直方圖的步驟1求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)2確定組距與組數3將數據分組4列頻率分布表5畫頻率分布直方圖二、頻率分布折線圖和總體密度曲線1頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖2總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線三、樣本的數字特征數字特征定義眾數中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數,在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右

2、邊的直方圖的面積相等平均數樣本數據的算術平均數即 (x1x2xn)方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中s為標準差四、莖葉圖莖葉圖的優(yōu)點是可以保留原始數據，而且可以隨時記錄，方便記錄與表示小題能否全取1242035630114121.(教材習題改編)在如圖所示的莖葉圖表示的數據中，眾數和中位數分別是()a23與26b31與26c24與30 d26與30解析：選b觀察莖葉圖可知，這組數據的眾數是31，中位數是26.2(教材習題改編)把樣本容量為20的數據分組，分組區(qū)間與頻數如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2，則在區(qū)

3、間10,50)上的數據的頻率是()a0.05b0.25c0.5 d0.7解析：選d由題知，在區(qū)間10,50)上的數據的頻數是234514，故其頻率為0.7.3(20xx·長春模擬)從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖由圖中數據可知身高在120,130內的學生人數為()a20 b25c30 d35解析：選c由題意知a×100.350.20.10.051，則a0.03，故學生人數為0.3×10030.4(教材習題改編)甲、乙兩人比賽射擊，兩人所得的平均環(huán)數相同，其中甲所得環(huán)數的方差為5，乙所得環(huán)數如下：5、6、9、10、5，

4、那么這兩人中成績較穩(wěn)定的是_解析：7，s4.4，則ss，故乙的成績較穩(wěn)定答案：乙5(20xx·山西大同)將容量為n的樣本中的數據分為6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數據的頻率之比為234641，且前三組數據的頻數之和為27，則n_.解析：依題意得，前三組的頻率總和為，因此有，即n60.答案：601.在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數的值，而平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和，眾數是最高的矩形的中點的橫坐標2注意區(qū)分直方圖與條形圖，條形圖中的縱坐標刻度為頻數或頻率，直方圖中的縱坐標刻度為頻

5、率/組距3方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差用樣本的頻率分布估計總體分布典題導入例1(20xx·廣東高考)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中a的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；(3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示，求數學成績在50,90)之外的人數.分數段50

6、,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445自主解答(1)由頻率分布直方圖知(2a0.020.030.04)×101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55×0.005×1065×0.04×1075×0.03×1085×0.02×1095×0.005×1073(分)(3)由頻率分布直方圖知語文成績在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分數段的人數依次為0.005×10×1005,0.04

7、×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020.由題中給出的比例關系知數學成績在上述各分數段的人數依次為5,40×20,30×40,20×25.故數學成績在50,90)之外的人數為100(5204025)10.在本例條件下估計樣本數據的眾數解：眾數應為最高矩形的中點對應的橫坐標，故約為65.由題悟法解決頻率分布直方圖問題時要抓住(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積(3)直方圖中每組樣本的頻數為頻率

8、15;總體數以題試法1(20xx·深圳調研)某中學組織了“迎新杯”知識競賽，從參加考試的學生中抽出若干名學生，并將其成績繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中成績的范圍是50,100，樣本數據分組為50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，已知樣本中成績小于70分的個數是36，則樣本中成績在60,90)內的學生人數為_解析：依題意得，樣本中成績小于70分的頻率是(0.0100.020)×100.3；樣本中成績在60,90)內的頻率是(0.0200.0300.025)×100.75，因此樣本中成績在60,90)內的學生人數為90.答案：90莖

9、葉圖的應用典題導入例2(20xx·陜西高考)從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統計，統計數據用莖葉圖表示(如圖所示)設甲、乙兩組數據的平均數分別為甲、乙，中位數分別為m甲、m乙，則()a.甲<乙，m甲>m乙b.甲<乙，m甲<m乙c.甲>乙，m甲>m乙 d.甲>乙，m甲<m乙自主解答甲(41433030382225271010141818568)，乙(42434831323434382022232327101218).甲乙又m甲20，m乙29，m甲m乙答案b由題悟法由莖葉圖可以清晰地看到數據的分布情況，這一點同頻

10、率分布直方圖類似它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數據，沒有任何信息損失；第二點是莖葉圖便于記錄和表示其缺點是當樣本容量較大時，作圖較繁以題試法2(20xx·淮北模考)如圖所示的莖葉圖記錄了一組數據，關于這組數據，其中說法正確的序號是_.078999101223眾數是9；平均數是10；中位數是9或10；標準差是3.4.解析：由莖葉圖知，該組數據為7,8,9,9,9,10,11,12,12,13，眾數為9，正確；中位數是9.5，錯；平均數是(789991011121213)10，正確；方差是s2(710)2(810)2(910)2(910)2(910)2(1010)2(

11、1110)2(1210)2(1210)2(1310)23.4，標準差s，錯答案：樣本的數字特征典題導入例3(1)(20xx·江西高考)樣本(x1，x2，xn)的平均數為，樣本(y1，y2，ym)的平均數為()若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(1)，其中0<<，則n，m的大小關系為()an<mbn>mcnm d不能確定(2)(20xx·山東高考)在某次測量中得到的a樣本數據如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b樣本數據恰好是a樣本數據每個都加2后所得數據，則a，b兩樣本的下列數字特征對應相同的是()a

12、眾數 b平均數c中位數 d標準差自主解答(1)，則.由題意知0，nm.(2)對樣本中每個數據都加上一個非零常數時不改變樣本的方差和標準差，眾數、中位數、平均數都發(fā)生改變答案(1)a(2)d由題悟法(1)眾數體現了樣本數據的最大集中點，但無法客觀地反映總體特征(2)中位數是樣本數據居中的數(3)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小標準差、方差越大，數據越分散，標準差、方差越小，數據越集中以題試法3(20xx·淄博一檢)一農場在同一塊稻田中種植一種水稻，其連續(xù)8年的產量(單位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，則該組數據的方差為()a1

13、20 b80c15 d150解析：選d根據題意知，該組數據的平均數為450，所以該組數據的方差為×(0220210210202102202102)150.1(20xx·豫西五校聯考)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為8,12,10,11,9，估計此人每次上班途中平均花費的時間為()a8分鐘b9分鐘c11分鐘 d10分鐘解析：選d依題意，估計此人每次上班途中平均花費的時間為10分鐘2(20xx·湖北高考)容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數234542則樣本數據落在區(qū)間

14、10,40)的頻率為()a0.35 b0.45c0.55 d0.65解析：選b求得該頻數為2349，樣本容量是20，所以頻率為0.45.3某廠10名工人在一個小時內生產零件的個數分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設該組數據的平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有()aabc bbcaccab dcba解析：選d把該組數據按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均數a×(10121414151516171717)14.7，中位數b15，眾數c17，則abc.4(20xx·濟寧模擬)為了解一片大約一萬

15、株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長(單位：cm)根據所得數據畫出的樣本頻率分布直方圖如圖所示，那么在這片樹木中，底部周長小于110 cm的株數大約是()a3 000 b6 000c7 000 d8 000解析：選c底部周長小于110 cm的頻率為：(0.010.020.04)×100.7，所以底部周長小于110 cm的株數大約是10 000×0.77 000.5(20xx·江西高考)小波一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支如圖2所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為()圖1圖2a30% b10%c3% d不能確定解析：選c由圖

16、1得到小波一星期的總開支，由圖2得到小波一星期的食品開支，從而再借助圖2計算出雞蛋開支占總開支的百分比由圖2知，小波一星期的食品開支為30401008050300元，由圖1知，小波一星期的總開支為1 000元，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為×100%3%.6(20xx·江西盟校二聯)若一個樣本容量為8的樣本的平均數為5，方差為2.現樣本中又加入一個新數據5，此時樣本容量為9，平均數為，方差為s2，則()a.5，s22 b.5，s22c.5，s22 d.5，s22解析：選a設(x1x2x8)5，(x1x2x85)5，5，由方差定義及意義可知加新數據5后，樣本數據取值

17、的穩(wěn)定性比原來強，s22.7(20xx·湖北模擬)下圖為150輛汽車通過某路段時速度的頻率分布直方圖，則速度在60,70)內的汽車大約有_輛解析：由頻率分布直方圖可知，汽車速度在60,70)內的頻率為0.04×100.4，故速度在60,70)內的汽車為150×0.460輛答案：608(20xx·湖南高考)如圖所示是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數解析：該運動員五場比賽中的得分為8,9,10,13,15，平均得分11，方差s2(

18、811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案：6.89(20xx·北京海淀)甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫(單位：)用莖葉圖記錄如下，根據莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是_，氣溫波動較大的城市是_解析：根據莖葉圖可知，甲城市上半年的平均溫度為16，乙城市上半年的平均溫度為19，故兩城市中平均溫度較高的是乙城市，觀察莖葉圖可知，甲城市的溫度更加集中在峰值附近，故乙城市的溫度波動較大答案：乙乙10(20xx·鄭州模擬)某中學共有1 000名學生參加了該地區(qū)高三第一次質量檢測的數學考試，數學成績如下表所示：數學成績分組0,30)30

19、,60)60,90)90,120)120,150人數6090300x160(1)為了了解同學們前段復習的得失，以便制定下階段的復習計劃，學校將采用分層抽樣的方法抽取100名同學進行問卷調查，甲同學在本次測試中數學成績?yōu)?5分，求他被抽中的概率；(2)已知本次數學成績的優(yōu)秀線為110分，試根據所提供數據估計該中學達到優(yōu)秀線的人數；(3)作出頻率分布直方圖，并估計該學校本次考試的數學平均分(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)解：(1)分層抽樣中，每個個體被抽到的概率均為，故甲同學被抽到的概率p.(2)由題意得x1 000(6090300160)390.故估計該中學達到優(yōu)秀線的人數m16039

20、0×290.(3)頻率分布直方圖如圖所示該學校本次考試的數學平均分90.估計該學校本次考試的數學平均分為90分11 (20xx·江西重點中學聯考)某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數x依次為1,2,3,4,5.現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：x12345頻率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數為5的2件日用品記為y1，y2，現從x1，x2，x3，y1，y2這5

21、件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結果，并求這2件日用品的等級系數恰好相等的概率解：(1)由頻率分布表得a0.20.45bc1，即abc0.35.因為抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，所以b0.15.等級系數為5的恰有2件，所以c0.1.從而a0.35bc0.1.所以a0.1，b0.15，c0.1.(2)從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，所有可能的結果為：x1，x2，x1，x3，x1，y1，x1，y2，x2，x3，x2，y1，x2，y2，x3，y1，x3，y2，y1，y2，共10個設事件a表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中

22、任取2件，其等級系數相等”，則a包含的基本事件為：x1，x2，x1，x3，x2，x3，y1，y2，共4個故所求的概率p(a)0.4.12(20xx·北京高考)近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸生活垃圾，數據統計如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率；(3)假設廚余垃圾在“廚余

23、垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>0，abc600.當數據a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值(結論不要求證明)，并求此時s2的值注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為數據x1，x2，xn的平均數解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為.(2)設“生活垃圾投放錯誤”為事件a，則事件表示“生活垃圾投放正確”事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即p()約為0.7，所以p(a)約為10.70.3.(3)當a600，bc0時，s2取得最大值因為(abc)200

24、，所以s2×(600200)2(0200)2(0200)280 000.1(20xx·西寧模擬)已知一組數據：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7構成公差為d的等差數列，且這組數據的方差等于1，則公差d等于()a±b±c± d無法求解解析：選b這組數據的平均數為a4，又因為這組數據的方差等于1，所以(a1a4)2(a2a4)2(a3a4)2(a4a4)2(a5a4)2(a6a4)2(a7a4)21，即4d21，解得d±.2(20xx·安徽高考)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則()a甲

25、的成績的平均數小于乙的成績的平均數b甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數c甲的成績的方差小于乙的成績的方差d甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析：選c由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數均為6，a錯；甲、乙的成績的中位數分別為6,5，b錯；甲、乙的成績的方差分別為×(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，×(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，c對；甲、乙的成績的極差均為4，d錯3(20xx·山西山大附中月考)如圖是某市有關部門根據該市干部的月收入情況，畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數為4 000，請根據該圖提供的信息解答下列問題(1)求樣本中月收入在2 500,3 500)的人數；(2)為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須從樣本中按月收入用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在1 500,2 000)的這組中應抽多少人？(3)試估計樣本數據的中位數解：(1)由題知