新編北師大版必修四：3.2.12兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)ppt課件

1、北 師 大 版 數(shù) 學(xué) 課 件精 品 資 料 整 理 2 兩角和與差的三角函數(shù) 2.1 兩角差的余弦函數(shù)2.2 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) cos . a bab1212coscos . e eee2.2.若若 是單位向量是單位向量, ,則則1212. a bx xy y1122( ,),(,),ax ybx y1.1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積12e e ，3.3.平面向量的數(shù)量積的坐標運算平面向量的數(shù)量積的坐標運算4.4.寫出五組誘導(dǎo)公式寫出五組誘導(dǎo)公式 sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin(2)cos(2)sincossincossincossinsi

2、ncoscos sin 2cos 2kk規(guī)律小結(jié)：函數(shù)名不變，規(guī)律小結(jié)：函數(shù)名不變，符號看象限符號看象限思考思考1 1:15:15能否寫成兩個特殊角的和或差的形式能否寫成兩個特殊角的和或差的形式? ? 如何求如何求coscos（375375）的值？）的值？解：解：cos(375cos(375)=cos375)=cos375=cos(360=cos(360+15+15)=cos15)=cos15思考思考2 2: cos15: cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30成立嗎成立嗎? ?1515=45=45-30-302345 =30 =

3、2223234530 =0222150因因為為，所所以以而而coscoscoscoscos所以所以cos(45cos(45 -30-30)cos45)cos45 -cos30-cos30. .所以所以 coscos（+）=cos+cos=cos+cos不總是成立不總是成立. .思考思考3:3:究竟究竟cos15cos15=?=?思考思考4:4:cos(45cos(45-30-30) )能否用能否用4545和和3030的角的三角函數(shù)的角的三角函數(shù)值來表示值來表示? ?思考思考5:5:如果能如果能, ,那么一般情況下那么一般情況下cos(cos(-) )能否用角能否用角, ,的三角函數(shù)值來表示的三

4、角函數(shù)值來表示? ?請進入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！請進入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！1.1.利用向量的數(shù)量積發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式利用向量的數(shù)量積發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式. .（重點）（重點）2.2.能由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式和能由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式和兩角和與差的正弦公式兩角和與差的正弦公式. .（難點）（難點）3.3.靈活正反運用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)靈活正反運用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù). .（難點）（難點）探究點探究點1 1 兩角差的余弦函數(shù)兩角差的余弦函數(shù)在直角坐標系中，如圖，以原點為中心，單位長度在直角坐標系中，如圖，以原點為中心，單位長度為半徑作單位圓，又以原點為頂點，為半徑

5、作單位圓，又以原點為頂點，x x軸非負半軸軸非負半軸為始邊分別作角為始邊分別作角，且且，我們首先研究，我們首先研究，均為銳角的情況均為銳角的情況xyo 0 0(1,0)p2(cos,sin)p 1 1(cos,sin)p 由圖可知：單位圓上由圖可知：單位圓上p1，p2兩點，兩點，2 21,pop1 1設(shè)設(shè)向向量量opop （cossincossin,),a2 2向向量量opop （cossincossin,),b() 因因為為c co os sa ba b a bc co os sc co os ss si in ns si in n cos(- )cos cossin sincos(- )c

6、os cossin sin 所所以以我們稱上式為兩角差的余弦公式，記作我們稱上式為兩角差的余弦公式，記作cxyo 0 0(1,0)p2(cos,sin)p 1 1(cos,sin)p 思考：思考：公式公式cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin是是否對任意角否對任意角,都成立？都成立？提示：提示：當當0-0-時，公式顯然成立；時，公式顯然成立；當當-不在不在0,0,內(nèi)時，利用誘導(dǎo)公式，存在內(nèi)時，利用誘導(dǎo)公式，存在0,20,2，使，使-=+2k,kz-=+2k,kz，若，若0,0,，cos=cos(-)cos=cos(-)；若；若(，22，2-2-0,)0

7、,)，cos(2-)=cos=cos(-cos(2-)=cos=cos(-)，故上述公式對任意角，故上述公式對任意角,都成立都成立. .cos()coscos()sinsin()cos() coscossinsin ：兩兩角角和和與與差差的的余余弦弦公公式式結(jié)結(jié)論論ccos()coscossinsin 注：注：1.1.公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）公式中兩邊的符號正好相反（一正一負）. .2.2.式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在前正弦在后前正弦在后. .我們知道減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，我們知道減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，利用

8、誘導(dǎo)公式試求利用誘導(dǎo)公式試求cos(+)？探究點探究點2 2 兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦函數(shù)c = c c s s 23212222 624 .公式應(yīng)用公式應(yīng)用解解 cos75cos75= cos= cos（4545+30+30）= cos45= cos45cos30cos30-sin45-sin45sin30sin30例例1 1 不查表，求不查表，求cos75cos75，cos15cos15的值的值. .公式形式公式形式為為ccss23212222 624 .= cos45= cos45cos30cos30+ sin45+ sin45sin30sin30cos15cos15=cos=cos

9、（4545-30-30） 例例 已已知知求求的的值值452sin,cos,52133,cos,cos.2 224sin523cos1sin;553cos13212sin1cos.13 由由，得得又又由由，得得解解 coscos cossin sin354125135133365coscos cossin sin3541251351363.65 所所以以. .+技巧方法：技巧方法：1.1.求求，的正弦值、余弦值的正弦值、余弦值, ,注注 意意，的取值范圍的取值范圍. .2.2.代入公式代入公式. .例例3 3 證明證明 coscos（ ）=sin=sin（為任意角）為任意角）. . 2 所以所以

10、 coscos（ ） =sin =sin. .2 證明證明 coscos（ ）=cos cos=cos cossin sinsin sin，2 2 2 因為因為 cos = 0cos = 0，sin =1sin =1，2 2 sinsin（ ）=cos( =cos( 為任意角為任意角).).2 (2) sin (2) sin（ ）=cos=cos （ ） =cos =cos，2 2 2 所以所以sinsin（ ）=cos=cos. .2 用類似的證法，可得用類似的證法，可得：cos （ ）=sin 2 sin （ ） = cos 2cos（ ）=sin sin （ ） =cos32 32 co

11、s （ ）=sin sin （ ）=cos32 32 小結(jié)：小結(jié)： ， 角的三角函數(shù)值等于角的三角函數(shù)值等于 的異的異名函數(shù)前加上把名函數(shù)前加上把 看作銳角時原函數(shù)值的符號看作銳角時原函數(shù)值的符號. .2 32 如如何何求求的的值值？sin cos2 cos2 coscossinsin22 sincoscossin 解解: :sin sinsincoscossin 探究點探究點3 3 兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和與差的正弦函數(shù)用代sin()sincos()cossin() sin)sincoscossin(兩角和與差的正弦公式兩角和與差的正弦公式1 1. .兩角和的正弦公式兩角和的正弦公式sin

12、)sincoscossin,(sin() = sincoscos+sin, ,2 2. .兩角差的正弦公式兩角差的正弦公式簡記簡記：.s 簡記簡記：.s 【提升總結(jié)提升總結(jié)】公式公式 的結(jié)構(gòu)特征的結(jié)構(gòu)特征(1) (1) 的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩角和、差的正弦，的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩角和、差的正弦，右邊是前一角的正弦與后一角余弦的積與前一角的余右邊是前一角的正弦與后一角余弦的積與前一角的余弦與后一角正弦的積的和、差弦與后一角正弦的積的和、差. .(2)(2)公式中的角公式中的角,是任意的角是任意的角. .ss，s ,s例例 不不查查表表，計計算算，的的值值4sin75 sin15. 解 sin75si

13、n 4530sin45 cos30cos45 sin3023216222224 . . . .sin15sin 4530sin45 cos30cos45 sin3023216222224 令令22cossisc sninoabxx22sinabxsincosxbxa22cossisc sninoabxx化化 為一個角的三角函數(shù)形式為一個角的三角函數(shù)形式sincosxbxa22cossisc sninoabxx222222sincosbabxxababa22cossisc sninoabxx2222cossinabbaba22cossisc sninoabxx 5sin3cos.fxxx例例求求

14、的的最最大大值值和和周周期期 max132( sinxcosx)222(cossinxsincosx)332sin(x).3x2k(kz)32x2k(kz)sin(x)16322f x2.t2.1故當時，也即是時，取最大值 ，函數(shù)周期 sin3cos解解 fxxx31sincos22(1)把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式sincos(2)解解: : 原原式式cossinsincossin666原原式式= =解解: : 2 222sincos2sin224 【變式練習(xí)變式練習(xí)】. . . . .【提升總結(jié)提升總結(jié)】靈活應(yīng)用公式求三角函數(shù)值的三個注靈活應(yīng)用公式求

15、三角函數(shù)值的三個注意點意點(1)(1)公式應(yīng)用時要注意區(qū)分已知與未知的差別，利公式應(yīng)用時要注意區(qū)分已知與未知的差別，利用角的分解與組合建立它們之間的聯(lián)系用角的分解與組合建立它們之間的聯(lián)系. .(2)(2)求三角函數(shù)值時要注意利用平方關(guān)系，并注意求三角函數(shù)值時要注意利用平方關(guān)系，并注意角的取值范圍角的取值范圍. .(3)(3)注意題目中的隱含條件，如解決三角形問題時，注意題目中的隱含條件，如解決三角形問題時，要注意三角形內(nèi)角和等于要注意三角形內(nèi)角和等于180180這一暗含條件這一暗含條件. .1.cos501.cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20的值為的值為

16、( )( )a. b. c. d.a. b. c. d.解析：解析：cos50cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20 =cos(50 =cos(50-20-20)=cos30)=cos30= = 1213323332c ca a3.3.cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195=_.=_.解析：解析：cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195 =cos75 =cos75cos15cos15+sin75+sin75sin15sin15 =cos(75 =

17、cos(75-15-15) ) = . = .12123).233 34.4.已已知知cos =cos = ，2 2，求求cos(cos(5 5解：解：223cos,2sin1cos1.cos()coscossinsin333132234 3.10 3因為= ，2534所以55所以34552sin()2sin()3cos().333xxx5.5.化簡：化簡：=x+23+x333=x+2+ 3+x33313=x+x2323322sinx+3322 = sinx+sinx+33sinsin xcossinsin xcossincossin xsin 原原式式（）（）- -（） （）（）（） 2 2（）（）+2+2（） =2 =2（）-2-2（x+x+） 2 2（）-2-2（） 解解： =0. =0.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了：1.1.2.2.利用公式可以求非特殊角的三角函數(shù)值利用公式可以求非特殊角的三角函數(shù)值, ,化簡化簡 三角函數(shù)式和證明三角恒等式三角函數(shù)式和證明三角恒等式. .應(yīng)用公式時要靈應(yīng)用公式時要靈活使用，并要注意公式的逆向使用活使用，并要注意公式的逆向使用. .sinsincoscoscossinsincoscoscossi