高中數(shù)學幾種排列組合綜合問題的解法PPT精品文檔

1、1幾種排列組合綜合問題的解法2021-11-152從n個不同元素中,任取m個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.2.組合的定義組合的定義: :從n個不同元素中,任取m個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.3.3.排列數(shù)公式排列數(shù)公式: :4.4.組合數(shù)公式組合數(shù)公式: :1.1.排列的定義排列的定義: :)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系: :與順序有關的與順序有關的為排列問題為排列問題, ,與順序無關的為組合問題與順序無關的為組合問題. .)!( !)1()2)(1(m

2、nmnmmnnnnAACmmmnmn2021-11-153例例1 . 7人排成一排人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？ 解：解：分兩步進行：分兩步進行： 幾個元素不能相鄰幾個元素不能相鄰時時,先排一般元素，先排一般元素，再讓特殊元素插空再讓特殊元素插空.第第1步，把除甲乙外的一般人排列：步，把除甲乙外的一般人排列：55A有=120種排法第第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空插空)：26A有=30種插入法120 303600共有種排法 解決一些不相鄰問題時，可以先排解決一些不相鄰問題時，可以先排

3、“一一般般”元素然后插入元素然后插入“特殊特殊”元素，使問題得以元素，使問題得以解決解決.1.插空法：插空法：2021-11-154變變 學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解解 先排學生共有 種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有 種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為 種.88A47A4788AA結論結論1 1 插空法插空法: :對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之

4、中即可.分析分析 此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.2021-11-155相鄰元素的排列，可以采用相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體局部到整體”的的排法，即將相鄰的元素局部排列當成排法，即將相鄰的元素局部排列當成“一個一個”元素，元素，然后再進行整體排列然后再進行整體排列.2.捆綁法捆綁法例例2 . 6人排成一排人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法有多少種不的排法? 解：解：（1）分兩步進行：分兩步進行：甲甲 乙乙第一步，把甲乙排列第一步，把甲乙排列(捆綁捆綁)：55A有120種排

5、法第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：第二步，甲乙兩個人的梱看作一個元素與其它的排隊：22A有2種捆法2 120240共有種排法 幾個元素必須相鄰時幾個元素必須相鄰時,先先捆綁成一個元素，再與捆綁成一個元素，再與其它的進行排列其它的進行排列.2021-11-156變 5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法? 解 因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有 種排法,其中女生內部也有 種排法,根據(jù)乘法原理,共有 種不同的排法.結論2 捆綁法捆綁法: :要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合

6、并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也可以作排列.分析 此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.66A33A3366AA2021-11-157例例4.5個人站成一排，甲總站在乙的右側的有多少個人站成一排，甲總站在乙的右側的有多少種站法？種站法？幾個元素幾個元素順序一定順序一定的排列問題，一般是先排列，再的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序消去這幾個元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了排列，留下來的空位置自

7、然就是順序一定的了.3.除法消序法除法消序法(留空法留空法)解法解法1：將將5個人依次站成一排，有個人依次站成一排，有解法解法2：先讓甲乙之外的三人從先讓甲乙之外的三人從5個位置選出個位置選出3個站好，個站好，有有55A種站法，種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)然后再消去甲乙之間的順序數(shù)22A甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為5355225 4 3AAA 35A種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有種站法，留下的兩個位置自然給甲乙有1種站法種站法甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為甲總站在乙的右側的有站法總數(shù)為33551AA 2021-11-158變式：變式：如下圖所示如下圖所

8、示,有有5橫橫8豎構成的方格圖豎構成的方格圖,從從A到到B只能上行或右行只能上行或右行共有多少條不同的路線共有多少條不同的路線? 解解: 如圖所示如圖所示1234567將一條路經抽象為如下的一個將一條路經抽象為如下的一個排法排法(5-1)+(8-1)=11格格:其中必有四個其中必有四個和七個和七個組成組成!所以所以, 四個四個和七個和七個一個排序就對應一條路經一個排序就對應一條路經,所以從所以從A到到B共有共有 5 14(5 1) (8 1)11CC條不同的路徑條不同的路徑. 也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,順序一定的排列，順序一定的排列，有有種排法種排法.11114747

9、AAA2021-11-159 n個個 相同小球放入相同小球放入m(mn)個盒子里個盒子里,要求每個要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球個相同小球串成一串從間隙里選串成一串從間隙里選m-1個結點剪截成個結點剪截成m段段.例例4. 某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽,把把16個選手個選手名額分配到高三年級的名額分配到高三年級的1-4 個教學班個教學班,每班至少一個每班至少一個名額名額,則不同的分配方案共有則不同的分配方案共有_種種.4. 隔板法：隔板法：解：解： 問題等價于把問題等價于把16個相同小球放入個相同小球放入4個盒子里

10、個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題. 將將16個小球串成一串，截為個小球串成一串，截為4段有段有 315455C種截斷法，對應放到種截斷法，對應放到4個盒子里個盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同的分配方案共有455種種 .2021-11-1510 n個個 相同小球放入相同小球放入m(mn)個盒子里個盒子里,要求每個要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球個相同小球串成一串從間隙里選串成一串從間隙里選m-1個結點剪截成個結點剪截成m段段.變式：變式： 某校準備參加今年高中數(shù)學聯(lián)賽某校準備參加今年高

11、中數(shù)學聯(lián)賽,把把16個選個選手名額分配到高三年級的手名額分配到高三年級的1-4 個教學班個教學班,每班的名額每班的名額不少于該班的序號數(shù)不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有則不同的分配方案共有_種種.解：解： 問題等價于先給問題等價于先給2班班1個，個，3班班2個，個，4班班3個，個，再把余下的再把余下的10個相同小球放入個相同小球放入4個盒子里個盒子里,每個盒子每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題至少有一個小球的放法種數(shù)問題. 將將10個小球串成一串，截為個小球串成一串，截為4段有段有 3984C 種截斷法，對應放到種截斷法，對應放到4個盒子里個盒子里.因此，不同的分配方案共有因此，不同

12、的分配方案共有84種種 .2021-11-1511變： 在高二年級中的8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解 此題可以轉化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的黑球,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.711C711C結論3 隔板轉化模型法隔板轉化模型法: :對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.分析 此題若直接去考慮的話,就會比較復雜.但如果我們將其轉換為等價的其他問

13、題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結果容易理解.2021-11-15125.另兩種轉化模型另兩種轉化模型法法2021-11-1513例5（1） 袋中有不同的5分硬幣23個,不同的1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解 把所有的硬幣全部取出來,將得到 0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有 種取法.110123323CCC結論4 剩余法剩余法: :在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應的,因此,當求取法困難時,可轉化為求剩法.分析 此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話

14、,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質考慮剩余問題的話,就會很容易解決問題.2021-11-1514例5（2） 期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序?解 不加任何限制條件,整個排法有 種,“語文安排在數(shù)學之前考”,與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有 種.99A9921A結論5 對等法對等法: :在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.分析 對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個排列中

15、,他們出現(xiàn)的機會是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復雜性.2021-11-15156.剔除法剔除法 從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法種間接解題的方法. 例例6. 從集合從集合0,1,2,3,5,7,11中任取中任取3個元素分別作為直個元素分別作為直線方程線方程Ax+By+C=0中的中的A、B、C，所得的經過坐標，所得的經過坐標原點的直線有原點的直線有_條條.解：所有這樣的直線共有解：所有這樣的直線共有 條，條，其中不過原點的直線有其中不過原點的直線有 條，條，37210A 所得的

16、經過坐標原點的直線有所得的經過坐標原點的直線有210-18030條條.1266180AA 排列組合應用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解排列組合應用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應用題時，要注意使用相關知識對答案進行取舍類應用題時，要注意使用相關知識對答案進行取舍.2021-11-1516變： 某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?解 43人中任抽5人的方法有 種,正副班長,團支部書記都不在內的抽法有 種,所以正副班長,團支部書記至少

17、有1人在內的抽法有 種.543C540C540543CC結論6 排除法排除法: :有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計算中也是非常的簡便.這樣就可以簡化計算過程.2021-11-1517 互斥分類互斥分類-分類法分類法 先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法 相鄰排列相鄰排列-捆綁法捆綁法 分隔排列分隔排列-插空法插空法 。2021-11-1518小結小

18、結: : 本節(jié)課我們學習了解決排列組合應用題的一些解題技巧,具體有插入法插入法, ,捆綁法捆綁法, ,轉化法轉化法, ,剩余法剩余法, ,對等法對等法, ,排異法排異法;對于不同的題目,根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題,我們可以將幾種技巧結合起來應用,便于我們迅速準確地解題.在這些技巧中所涉及到的數(shù)學思想方法,例如:分類討論思想,變換思想,特殊化思想等等,要在應用中注意掌握.2021-11-1519要明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當要明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當作元素個數(shù)作全排列作元素個數(shù)作全排列.若干個不同的元素局部若干個不同的元素局

19、部“等分等分”有有 個均等堆個均等堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m! 若干個不同的元素若干個不同的元素“等分等分”為為 個堆個堆,要將要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m! 非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積法原理作積. 分組（堆）問題的六個模型：分組（堆）問題的六個模型：無序不等分；無序不等分；無序等分；無序局部等分；無序等分；無序局部等分；(有序不等分；有序不等分；有序等分；有序局部等分有序等分；有序局部等分.)處理問題的原則：處理問題的原則：分組（堆）問題分組（堆）問題2021-11-1520有四項