三章常見曲面

1、第三章第三章: 常見曲面常見曲面 本章主要介紹如何從曲面的幾何特征推導(dǎo)其方程，根據(jù)曲面的方程討論曲面的幾何特征。定義定義1 1：設(shè)空間曲面設(shè)空間曲面s及三元方程及三元方程 f(x, y, z)=0. 如如果果 s 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) m(x, y, z). 其坐標(biāo)其坐標(biāo) x, y, z 都滿足都滿足 f(x, y, z)=0. 反之，反之，f(x, y, z)=0的任一解的任一解(x, y, z)對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)(x, y, z)也在也在s上上. 則稱則稱f(x, y, z)=0為為 曲面曲面s的方程的方程. 而曲面而曲面s 則稱為方程則稱為方程f(x, y, z)=0的的圖形圖形.空間

2、中曲面的一般方程空間中曲面的一般方程3( , , ):( , , )0ssx y zrf x y z此時(shí)曲面 可以記成： 空間直線可以表示為兩個(gè)平面的交一樣，空間兩空間直線可以表示為兩個(gè)平面的交一樣，空間兩個(gè)曲面一般地相交于一條曲線個(gè)曲面一般地相交于一條曲線, 所以我們稱方程所以我們稱方程組組0),(0),(21zyxfzyxf為為空間中曲線的一般方程空間中曲線的一般方程空間中曲線的一般方程空間中曲線的一般方程一、柱面的概念一、柱面的概念v一、柱面的概念一、柱面的概念v一、柱面的概念一、柱面的概念xzy0v二、柱面的方程二、柱面的方程12, ,0, ,0f x y zcfx y z：( , ,

3、 )x y z普通方法普通方法1mvcl寫出寫出:111xxyyzzxyz (,),(,).1111211100f x y zf x y z ( , , )0fx y z 去去數(shù)數(shù) x1, y1, z1得一個(gè)三元方程得一個(gè)三元方程:二、柱面的方程二、柱面的方程12,0,0f xxt yyt zztfxxt yyt zzt12, ,0, ,0f x y zcfx y z：11112111,0,0f x y zfx y z分析：分析：1111 ,mx y zc 11mcmlt, ,0tf x y z消去參數(shù)1mvcl111xxyyzzxyz ( , , )x y z，2222221222xyzxy

4、z，( 1,0,1)111101xxyyzz 22211122211111222,( ),xyzxyz111101xxtyyzz 111,xxt yy zzt2222221222()(),()(),xtyztxtyzt22()1xzy222210. xyzxz例例2：已知圓柱面的軸為已知圓柱面的軸為 點(diǎn)點(diǎn)(1,-2,1)在此圓柱面的方程在此圓柱面的方程.11,122xyzv 軸軸0(0,1, 1)m 1(1, 2,1)m 分析分析普通方法普通方法:關(guān)鍵關(guān)鍵: 求圓柱面的準(zhǔn)線求圓柱面的準(zhǔn)線(圓圓)方程方程.( ,),122v( , ,)001 1m圓柱面的軸圓柱面的軸:以以m0為球心為球心, m

5、0m1為半徑的球面為半徑的球面過點(diǎn)過點(diǎn)m1為與軸垂直的平面為與軸垂直的平面()()()122210 xyz()()2221114xyz圓柱面的準(zhǔn)線方程圓柱面的準(zhǔn)線方程:()()()()()2221114122210 xyzxyz0114 m mv mr到定直線到定直線(軸線軸線)的距離等于定值的距離等于定值(半徑半徑)的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡. -軸軸圓柱面圓柱面:設(shè)圓柱面的軸線為設(shè)圓柱面的軸線為000 xxyyzzxyz0000(,)mxyz其中其中:0000(,)mxy z為軸線上的定點(diǎn)為軸線上的定點(diǎn),(, ,vx y z）為軸線方向向量為軸線方向向量.( , , )m x y z是圓柱面上任

6、意點(diǎn)是圓柱面上任意點(diǎn)0 m mvvr已知軸線及半徑已知軸線及半徑已知軸線及柱面上一定點(diǎn)已知軸線及柱面上一定點(diǎn)m1010 mmvvvvmm 1111(,)mxy z解解:1,( , 22)v0(0,1, 1)m ( , , )m x y z設(shè)001m mm mvvvv 010mm mvvm kji 1 1xyz1 -2 -2 kji1 3 21 -2 -2 22854481818990.xyxyxzyzyz11122xyz11, 2,1m12222 byaxabzxyo 橢圓橢圓3.1.2、直母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、直母線平行于坐標(biāo)軸的柱面3.1.2、直母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、直母線平行于坐標(biāo)軸

7、的柱面( , )0( , )00f x yxoyf x yzz如果方程在平面表示一條曲線，則它在空間表示準(zhǔn)線是,直母線平行于 軸的柱面.方程方程f(x, y) = 0 表示的曲面是表示的曲面是柱面柱面, ,且母線平行于且母線平行于z z軸軸. .取曲面與取曲面與xoy坐標(biāo)面的交線坐標(biāo)面的交線為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線,( , ):00f x ylzz軸方向軸方向(0,0,1)為母線方向?yàn)槟妇€方向.設(shè)設(shè)m1(x1, y1, 0)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),則過點(diǎn)則過點(diǎn)m1的母線方程為的母線方程為:110001xxyyz且有且有(,)1100f x yz即即11xxyy將代入消去參數(shù)將代入消去參數(shù)x1,

8、y1得所求柱面方程得所求柱面方程: f(x, y) = 0 與原方程與原方程一致一致.這樣就證明了原方程表示的曲面是一個(gè)柱面這樣就證明了原方程表示的曲面是一個(gè)柱面.zyxll1m3.1.2、直母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、直母線平行于坐標(biāo)軸的柱面( , )0( , )00f x yxoyf x yzz如果方程在平面表示一條曲線，則它在空間表示準(zhǔn)線是,直母線平行于 軸的柱面.軸的柱面。軸分別表示母線平行于同理yxzxhzyg,0),(, 0),(;abzxyozxyzxyo12222 byax12222byaxpxy22, ,0,3.1.2:, ,0.f x y zlzg x y zz性質(zhì)：要得到過空

9、間曲線并平行于 軸的柱面的方程，只要聯(lián)立兩方程消掉 即可.123,0,0,0f x yfx zfy z叫做空間曲線叫做空間曲線l對(duì)對(duì)xoy面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空間曲線叫做空間曲線l對(duì)對(duì)xoz面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空間曲線叫做空間曲線l對(duì)對(duì)yoz面射影的射影柱面面射影的射影柱面. .1,0,0f x yz叫做空間曲線叫做空間曲線l在在xoy面上的射影曲線面上的射影曲線. .2,0,0fx zy叫做空間曲線叫做空間曲線l在在xoz面上的射影曲線面上的射影曲線. .zyxll3,0,0fy zx叫做空間曲線叫做空間曲線l在在yoz面上的射影曲線面上的射影曲線

10、. .123, ,0,( , )0,( , )0, ,0.( , )0.f x y zzf x yyf x zg x y zxf y z如從消掉 得到消掉 得到消掉 得到22222443812xzyzxzyz消去消去y 得得:例例: 求空間曲線求空間曲線l:消去消去z 得得:消去消去x 得得:240 xy224xzz244zyz對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程及射影曲線面方程及射影曲線.解解:即為曲線即為曲線對(duì)對(duì)xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)面射影的射影的射影柱面射影柱面.即為曲線對(duì)即為曲線對(duì)yoz 坐標(biāo)面射影的射影柱面坐標(biāo)面射影的射影柱面.即為曲線對(duì)即為曲線對(duì)xoz坐標(biāo)面射影的射影柱面坐標(biāo)面

11、射影的射影柱面.且且2400 xyz且且2240 xzzy且且2440zyzx為曲線為曲線l在在yoz 坐標(biāo)面射影的射影曲線坐標(biāo)面射影的射影曲線.為曲線為曲線l在在xoy坐標(biāo)面射影的坐標(biāo)面射影的射影曲線射影曲線.為曲線為曲線l在在xoz坐標(biāo)面射影的射影曲線坐標(biāo)面射影的射影曲線.2221320 xyzxy例 ：求曲線關(guān)于各個(gè)坐標(biāo)平面的射影柱面，和在各個(gè)坐標(biāo)平面的射影曲線的方程。作圖：,32,1194,4194,01942222222zxyzyxxzyxzy主要內(nèi)容:1、建立柱面方程的一般方法及步驟;2、已知中心軸及(可求)半徑的圓柱面方程的建立. 3、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的建立4、將空間曲線在某一平面上投影，會(huì)