新編北師大版數(shù)學(xué)必修三課件：第1章估計總體的分布

1、北 師 大 版 數(shù) 學(xué) 課 件精 品 資 料 整 理 5 5 用樣本估計總體用樣本估計總體 5.15.1 估計總體的分布估計總體的分布1.1.學(xué)會用樣本的頻率分布估計總體學(xué)會用樣本的頻率分布估計總體. .2.2.會根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖會根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖. . 從前面的分析可以知道，當(dāng)研究一個對象時，如果能得到它們的全從前面的分析可以知道，當(dāng)研究一個對象時，如果能得到它們的全部數(shù)據(jù)（可以看作是總體），我們就可以直接從中分析總體的各種信息部數(shù)據(jù)（可以看作是總體），我們就可以直接從中分析總體的各種信息.如人口普查得到的數(shù)據(jù)較為全面，從中可以很好

2、地反映對象的重要信息如人口普查得到的數(shù)據(jù)較為全面，從中可以很好地反映對象的重要信息. 但是，在實際問題中，總體的信息往往不能全部得到，因此我們需要進(jìn)行但是，在實際問題中，總體的信息往往不能全部得到，因此我們需要進(jìn)行抽樣調(diào)查，從總體中抽取一部分作為樣本，并用樣本的各種信息來估計總抽樣調(diào)查，從總體中抽取一部分作為樣本，并用樣本的各種信息來估計總體的情況，包括它的分布和基本數(shù)字特征體的情況，包括它的分布和基本數(shù)字特征.一般的一般的,總體分布是指總體中個總體分布是指總體中個體所占比例體所占比例. 如何通過樣本來估計總體的分布情況呢？如何通過樣本來估計總體的分布情況呢？這就需要我們先將樣本的分布情況表示

3、出來這就需要我們先將樣本的分布情況表示出來.例例 18951895年，在英國倫敦有年，在英國倫敦有106106塊男性頭蓋骨被挖掘出塊男性頭蓋骨被挖掘出. .經(jīng)經(jīng)考證，這些頭蓋骨的主人死于考證，這些頭蓋骨的主人死于1665166516661666年之間的大瘟疫年之間的大瘟疫. .人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示（單位：（單位：mmmm），請你估計在），請你估計在1665166516661666年之間，英國男性年之間，英國男性頭蓋骨寬度的分布情況頭蓋骨寬度的分布情況. .解：解：如果把總體看作如果把總體看作是是166516651666

4、1666年之間年之間的英國男性頭蓋骨的的英國男性頭蓋骨的寬度，那么我們就是寬度，那么我們就是通過上面挖掘出土得通過上面挖掘出土得到的樣本信息，來估到的樣本信息，來估計總體的分布情況計總體的分布情況. .但從上面的數(shù)據(jù)很難但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計出總體的分直接估計出總體的分布情況，為此，我們布情況，為此，我們可以先將以上數(shù)據(jù)按可以先將以上數(shù)據(jù)按每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率匯成表和頻率匯成表: : 從表格中，我們就能估計出總體大致的分布情況了，從表格中，我們就能估計出總體大致的分布情況了，如在如在1665166516661666年之間，英國男性頭蓋骨寬度主要在年之間，英國男性頭蓋骨

5、寬度主要在136136149mm149mm之間，之間，135mm135mm以下以及以下以及140mm140mm以上所占的比例相對較小以上所占的比例相對較小等等. .但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象. . 為了得到更為直觀的信息，我們可以將表中的數(shù)據(jù)按為了得到更為直觀的信息，我們可以將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組，再畫頻數(shù)分布直方圖，用圖中矩形的照下面的方式分組，再畫頻數(shù)分布直方圖，用圖中矩形的高度來反映頻數(shù)高度來反映頻數(shù). . 我們也可以用區(qū)間上矩形的面積來反映頻率我們也可以用區(qū)間上矩形的面積來反映頻率, ,得到下得到下圖圖. .討論討論(1)頭蓋骨

6、的寬度位于哪個區(qū)間的數(shù)據(jù)最多？頭蓋骨的寬度位于哪個區(qū)間的數(shù)據(jù)最多？ (2) 頭蓋骨的寬度位于頭蓋骨的寬度位于140145 mm的頻率約是多少？的頻率約是多少？(3) 頭蓋骨的寬度小于頭蓋骨的寬度小于140 mm的頻率約是多少？的頻率約是多少？(4） 頭蓋骨的寬度位于頭蓋骨的寬度位于137142 mm的頻率約是多少？的頻率約是多少？14014543.4%28.3%0.041653/5+0.086852/5=0.298 4,即即29.84% 從頻率分布表可以看出該樣本寬度在從頻率分布表可以看出該樣本寬度在140mm145mm之間的頭之間的頭蓋骨所占的頻率為蓋骨所占的頻率為43.4%,寬度在寬度在1

7、37mm142mm之間的之間的頭蓋骨所占的頻率為頭蓋骨所占的頻率為29.8%，由此估計，在，由此估計，在1665年年1666年之間，英國男性頭蓋骨寬度在年之間，英國男性頭蓋骨寬度在140mm145mm之間的約之間的約為為43.4%,寬度在寬度在137mm142mm之間的約為之間的約為29.8% 圖中所有小矩形的面積之和圖中所有小矩形的面積之和,也就是頭蓋骨的寬度落在各寬度也就是頭蓋骨的寬度落在各寬度區(qū)間的頻率之和區(qū)間的頻率之和,等于等于1. 當(dāng)樣本容量較大時當(dāng)樣本容量較大時,樣本中落在每個區(qū)間上的樣本數(shù)的頻率會樣本中落在每個區(qū)間上的樣本數(shù)的頻率會穩(wěn)定穩(wěn)定于總體的相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的于總體的相應(yīng)區(qū)間

8、內(nèi)取值的概率概率,因此因此,我們可以用樣本的頻率分我們可以用樣本的頻率分布去估計總體的分布布去估計總體的分布.另外另外,當(dāng)當(dāng)樣本量增大樣本量增大時時.用樣本的頻率分布去用樣本的頻率分布去估計總體的分布就越估計總體的分布就越精確精確.制作頻率分布表的一般步驟：制作頻率分布表的一般步驟：(1) 計算極差計算極差, 確定組距和組數(shù)確定組距和組數(shù).在確定組距和組數(shù)時在確定組距和組數(shù)時,要根據(jù)極極差要根據(jù)極極差的大小的大小, 數(shù)據(jù)的多少數(shù)據(jù)的多少, 選擇恰當(dāng)?shù)慕M距選擇恰當(dāng)?shù)慕M距, 使表格不至于太長或太短使表格不至于太長或太短;(2)分組分組, 通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取

9、左閉右開區(qū)間, 最后一組為閉最后一組為閉區(qū)間區(qū)間;(3)計算頻數(shù)、頻率計算頻數(shù)、頻率,列出頻率分布表列出頻率分布表.說明說明:組距與樣本容量有關(guān)組距與樣本容量有關(guān),一般樣本容量越大一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多所分組數(shù)越多.當(dāng)樣本當(dāng)樣本容量不超過容量不超過120時時,按照數(shù)據(jù)的都少按照數(shù)據(jù)的都少,常分成常分成512組組.在實際操作在實際操作中中,一般要求各組的組距相等一般要求各組的組距相等. 為方便起見為方便起見,組距的選取力求組距的選取力求“取整取整”. 組數(shù)組數(shù)=極差極差/組距組距. 如果極差不利于分組如果極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除如不能被組數(shù)整除),可適當(dāng)增大樣本所對應(yīng)可適當(dāng)增大樣

10、本所對應(yīng)的區(qū)間的區(qū)間,如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍. 解決頻率分布直方圖的相關(guān)計算解決頻率分布直方圖的相關(guān)計算, 需掌握下列關(guān)系式：需掌握下列關(guān)系式： （1） 即小矩形的面積為數(shù)據(jù)落在相應(yīng)區(qū)間的頻率，即小矩形的面積為數(shù)據(jù)落在相應(yīng)區(qū)間的頻率，注意縱注意縱坐標(biāo)不是頻率，而是頻率與組距的比；坐標(biāo)不是頻率，而是頻率與組距的比； （2）各個小矩形面積的總和等于）各個小矩形面積的總和等于1； （3）此關(guān)式可變形為此關(guān)式可變形為=頻率組距 頻率,組距=頻數(shù)頻率，樣本容量=.頻數(shù)樣本容量，樣本容量頻率 頻數(shù)頻率頻數(shù)分布直方圖：頻數(shù)分布直方圖： 列出頻數(shù)分布表后列出頻數(shù)分布表后,建立

11、直角坐標(biāo)系，在橫軸上確定建立直角坐標(biāo)系，在橫軸上確定組距的長組距的長,在縱軸上截取單位長度表示頻率與組距的在縱軸上截取單位長度表示頻率與組距的比比1.以組距為寬以組距為寬,各組的頻率各組的頻率(即即 )與組距（即與組距（即 ）的比為高（即的比為高（即 ）做小矩形）做小矩形,所的圖形即為頻數(shù)分所的圖形即為頻數(shù)分布直方圖布直方圖. 頻數(shù)分布直方圖的優(yōu)點是能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)個數(shù)的分頻數(shù)分布直方圖的優(yōu)點是能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)個數(shù)的分布規(guī)律及分布總體勢態(tài)，一般是中間高、兩端地、左布規(guī)律及分布總體勢態(tài)，一般是中間高、兩端地、左右對稱的右對稱的“峰峰”狀結(jié)構(gòu)狀結(jié)構(gòu).缺點是從直方圖本身得不到缺點是從直方圖本身得不到

12、具體的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說具體的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來.說明說明:頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小率的大小,各個小矩形面積的總和等于各個小矩形面積的總和等于1.ifixiixf在頻率直方圖中在頻率直方圖中,按照分組原則按照分組原則,再在左右兩邊各加一個區(qū)間再在左右兩邊各加一個區(qū)間,從所得的各個區(qū)從所得的各個區(qū)間的中點開始間的中點開始,用線段依次連接各個矩形的頂端中點用線段依次連接各個矩形的頂端中點,直至右邊所加區(qū)間的中直至右邊

13、所加區(qū)間的中點點,就可以得到一條折線我就可以得到一條折線我們稱之為頻率折線圖們稱之為頻率折線圖,有時用它來評估總體的分情況有時用它來評估總體的分情況.頻率頻率組距組距產(chǎn)品產(chǎn)品尺寸尺寸（mm）ab 當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近一條光滑曲線么頻率分布直方圖就會無限接近一條光滑曲線總總體密度曲線體密度曲線總體在區(qū)間總體在區(qū)間 內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率),(ba總體密度曲線總體密度曲線根據(jù)上圖可得這根據(jù)上圖可得這100100名學(xué)生中體重在名學(xué)生中體重在56.5,64.556.5,64.5的學(xué)生人數(shù)的學(xué)生人數(shù)是是( )(

14、 )a. 20 b. 30 c. 40 d. 50a. 20 b. 30 c. 40 d. 501 1為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100100名名年齡為年齡為17.517.5歲歲1818歲的男生體重歲的男生體重(kg) ,(kg) ,得到頻率分布直方圖如下：得到頻率分布直方圖如下：c c0.030.050.07體重體重(kg)頻率頻率/組距組距54.5 58.5 62.5 66.5 70.5 74.5 24002400 27002700 30003000 33003300 36003600 39003900x x 體重體重y y0.