誤差理論教材-緒論-附答案

1、緒 論大學(xué)的物理實驗課是高等院校理科的一門必修基礎(chǔ)課程，是對學(xué)生進行科學(xué)實驗基本訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要課程。它與物理理論課具有同等重要的地位。這里主要介紹測量誤差理論、實驗數(shù)據(jù)處理、實驗結(jié)果表述等初步知識，這是進入大學(xué)物理實驗前必備的基礎(chǔ)。物理實驗可分三個環(huán)節(jié)：1）課前預(yù)習(xí)，寫預(yù)習(xí)報告。2）課堂實驗，要求親自動手，認真操作，詳細記錄。3）課后進行數(shù)據(jù)處理，完成實驗報告。其中：預(yù)習(xí)報告的要求： 1）實驗題目、實驗?zāi)康?、實驗原理（可作為正式報告的前半部分）?）畫好原始數(shù)據(jù)表格，單獨用一張紙。實驗報告內(nèi)容：（要用統(tǒng)一的實驗報告紙做）1) 實驗題目；2) 實驗?zāi)康模?) 實驗原理

2、：主要公式和主要光路圖、電路圖或示意圖，簡單扼要的文字敘述；4) 主要實驗儀器名稱、規(guī)格、編號5) 實驗步驟：寫主要的，要求簡明扼要；6) 數(shù)據(jù)處理、作圖（要用坐標紙）、誤差分析。要保留計算過程，以便檢查；7) 結(jié)論：要寫清楚，不要淹沒在處理數(shù)據(jù)的過程中；8) 思考題、討論、分析或心得體會；9) 附：原始數(shù)據(jù)記錄。測量誤差及數(shù)據(jù)處理誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實驗課的基礎(chǔ)，是一切實驗結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容。實驗中的誤差分析，其目的是對實驗結(jié)果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或指出減小實驗誤差的方向，提高測量結(jié)果的可信賴程度。對低年級大學(xué)生，重點放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法。一、測量

3、與誤差1、 測量：把待測量與作為標準的量（儀器）進行比較，確定出待測量是標準量的多少倍的過程稱為測量。測量得到的實驗數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位。2、測量的分類測量可以分為兩類。按照測量結(jié)果獲得的方法來分，可分為直接測量和間接測量兩類；而從測量條件是否相同來分，又可分為等精度測量和非等精度測量。直接測量就是把待測量與標準量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測量物體的長度，用電流表測量電流等。間接測量是借助函數(shù)關(guān)系由直接測量的結(jié)果計算出的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進，很多原來只能間

4、接測量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。等精度測量是指在相同條件下進行的多次測量，即：同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，所取參數(shù)相同。等精度測量每次測量的可靠程度相同。注意：重復(fù)測量必須是重復(fù)進行測量的整個操作過程，而不是僅僅重復(fù)讀數(shù)。物理實驗中大多采用等精度測量。反之，若每次測量時的條件不同，如測量儀器改變，或測量方法條件改變，或不同的人。這樣所進行的一系列測量叫做非等精度測量。3、描述儀器性能的基本概念描述儀器性能的基本概念有儀器精密度、準確度和量程等。儀器精密度：是指儀器能分辨的物理量的最小值，一般是儀器的最小分度值。儀器最小的分度越小，儀器精密度就越高，所測量物理量的精密度也

5、越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般在儀器最小分度范圍內(nèi)再估讀一位數(shù)字。如米尺的最小分度為毫米，其精密度就是1毫米，應(yīng)估讀到毫米的十分位。 儀器準確度：是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。一般標在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標示的級別就是該儀器的準確度。對不同的儀器準確度是不一樣的，如對測量長度的常用儀器：米尺、游標卡尺和螺旋測微器，它們的儀器準確度依次提高。量程：是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最大值稱量程）。測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。4、誤差與偏差在一定條件下，任何物理量的大

6、小都有一個客觀存在的真實值，稱為真值。測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，即測量值x與真值a之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測量誤差，即xa顯然誤差有正負之分，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！設(shè)某個物理量真值為a ，進行n 次等精度測量，測量值分別為x1，x2， xn，（不考慮系統(tǒng)誤差）?？勺C明其算術(shù)平均值為最佳估計值： （1）當(dāng)測量次數(shù)n時，即為測量值的近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差。即。實驗中真值是得不到，因此誤差也無法知道，而測

7、量的偏差可以準確知道，實驗誤差分析中常用偏差來描述測量結(jié)果的精確程度。5、系統(tǒng)誤差與隨機誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。1）系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源有以下幾個方面：（1）儀器誤差。由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；例如，用秒表測量運動物體通過某一段路程所需要的時間，若秒表走時偏快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準確造成的誤差。（2）理論誤差。由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能達到理論公式所

8、規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。由于觀測者本人生理或心理特點造成的誤差。通常與觀測者反應(yīng)和觀察習(xí)慣有關(guān)，它因人而異，并與觀測者當(dāng)時的精神狀態(tài)有關(guān)。例如，按秒表時習(xí)慣提前或滯后。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進行修正。以下介紹幾種常用的方法。（1）檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量后進行修正。（2）替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標準量替換被測量來減小系統(tǒng)誤差。（3）異號法：指對實驗時在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均

9、值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180°再進行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負的附加誤差。兩次測量結(jié)果平均，正負誤差可以抵消，從中可以減小系統(tǒng)誤差。2）隨機誤差是指在實際測量條件下，多次測量同一量時，誤差時大時小、時正時負，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機誤差，也叫偶然誤差。當(dāng)測量次數(shù)很多時，隨機誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都已證明，隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布，如圖1），其特點是：f()- 0 圖1絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱

10、性）；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差，但不能完全消除。引起隨機誤差的原因很多，它與儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。如儀器顯示數(shù)值的估計讀數(shù)位偏大和偏小；測量環(huán)境擾動變化以及其它不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾等。由于測量者過失、實驗方法不合理、用錯儀器、操作不當(dāng)、讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差。過失誤差是可以避免的。6、隨機誤差的估算設(shè)在等精度測量中，一組n 次測量的值分別為：x1，x2，xn，這組測量值稱為測量列。誤差理論證明，測量列中某次測

11、量值的標準偏差為 （2）其意義表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3。（2）式稱為貝塞爾公式。7、算術(shù)平均值的標準偏差當(dāng)測量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標準偏差為 （3）其意義是測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%。或者說，待測量的真值在范圍內(nèi)的概率為68.3。這個概率叫置信概率，也叫置信度，用p表示，即p0.683。 是反映了平均值接近真值的程度。但不要誤認為真值一定就會落在之間。類似地，待測量的真值在范圍內(nèi)的概率為95.4，此時的置信度p0.954。正態(tài)分布f()t分布0圖28、t分布由于在實際工作中，測量次數(shù)n不可能趨于無窮。當(dāng)測量次數(shù)較少時，隨機誤差服從的規(guī)律不是正態(tài)分布

12、，而是t分布。t分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，n較小時, t分布偏離正態(tài)分布較多，n較大時, 趨于正態(tài)分布。如圖2所示。對t分布，只在公式 (3)的基礎(chǔ)上乘以一個t因子，即 （4）或 （5）t值是與測量次數(shù)等有關(guān)的，如下表是當(dāng)p=0.95的t值： n3456789101520100t4.303.182.782.572.452.362.312.262.142.091.97 2.481.591.2041.05.9260.8340.7700.7150.5530.4670.139由上表可知，當(dāng)5n10時，接近1，由（5）式可知ASx。對教學(xué)實驗，測量次數(shù)一般取510次，所以可用（2

13、）式作為估算偏差的公式。9、異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標準有幾種，有3準則、肖維準則、格拉布斯準則等。下面是3準則：統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過3的概率已小于1。因此，可以認為偏差超過3的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差和標準偏差，把其中最大的與3比較，若3，則認為第j個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除后，對余下的各測量值重新計算偏差和標準偏差，并繼續(xù)審查，直到各個偏差均小于3為止。測量結(jié)果的評定和不確定度一、不確定度的含義在物理實驗中，因真值得不到，測量誤差也就不能肯定。為此，1992年國際計量大會以及

14、四個國際組織制定了測量不確定度表達指南。1993年此指南經(jīng)國際理化等組織批準實施。對一個物理實驗的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中。它是對誤差的一種量化估計，是對測量結(jié)果可信賴程度的具體評定。不確定度小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。所以用不確定度的概念對測量數(shù)據(jù)做出評定比用誤差來描述更合理。二、測量結(jié)果的表示和不確定度1、測量結(jié)果的不確定度在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結(jié)果。即（單位） （6）式中x為待測量；是測量的近似真實值,是總的不確定度，三者的數(shù)量級、單位要相同。簡單起見，不確定度一般保留一位

15、有效數(shù)字，多余的位數(shù)一律進位。的末尾數(shù)與不確定度的所在位數(shù)對齊。這種表達形式反應(yīng)了三個基本要素：測量值、不確定度和單位，缺一不可，否則就不能全面表達測量結(jié)果。2、相對不確定度相對不確定度定義為 （8）有時候還需要將測量結(jié)果與公認值或理論值進行比較（百分偏差）： （9）x理可以是公認值，或高一級精密儀器的測量值。相對不確定度一般取2位有效數(shù)字。3、測量結(jié)果在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就被認為是測量的近似真實值。如果要求對被測量值進行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（

16、即絕對值和符號都確定的可估計出的不確定度分量）從算術(shù)平均值或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零點讀數(shù)。 4、測量結(jié)果的表示 表示測量最后結(jié)果時，一般要求絕對和相對的不確定度同時表示出，才能較全面的結(jié)果表示。即（單位） 或 三、不確定度的兩類分量在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機誤差等方面進行綜合考慮的，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類：統(tǒng)計不確定度（A類）和非統(tǒng)計不確定度（B類）。總的不確定度是由兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，此處只討論簡單情況下（即A類、B類分

17、量保持各自獨立變化，互不相關(guān)）的不確定度的合成。A類不確定度（統(tǒng)計不確定度）是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機誤差性質(zhì)）計算的不確定度，即是前面所說的偶然誤差，可以用（5）式或（2）式計算，用A表示。B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，為系統(tǒng)誤差。如實驗室中的測量儀器不準確，量具磨損老化等等，用表示。本書對B類不確定度的估計作簡化處理，只考慮儀器不確定度。所以因儀器不準確對應(yīng)的B類不確定度為 I為儀器不確定度。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器不確定度，由制造廠或計量檢定部門給定。物理實驗教學(xué)中，可由實驗室提供。儀器不確定度一般可分兩種情況處理：已知儀器準確度

18、時，這時以其準確度作為不確定度大小。如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA?？晒浪愠鲎畲蠼^對不確定度為=量程×級別150×0.2=0.3mA，因而該次測量的結(jié)果可寫成I131.2±0.3mA。其相對不確定度為EI0.3/131.2=0.23%，大于0.2。因此，測量值越接近量程，相對不確定度越小。對于沒有標明準確度的儀器，因在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準確度約束的。所以，對連續(xù)讀數(shù)的儀器，最大讀數(shù)不確定度可取儀器最小刻度值的1/10、1/5、1/2或最小刻度，具體可根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官

19、的分辨能力，以及觀測時的環(huán)境條件等因素來考慮。而無法進行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，可簡單取其最末位數(shù)的1作為儀器不確定度。（若末位或末兩位不穩(wěn)定，可記錄穩(wěn)定的數(shù)值加一位不穩(wěn)定的，或根據(jù)其變化規(guī)律，四舍五入到穩(wěn)定的那位。儀器不確定度則取穩(wěn)定位的1，或根據(jù)不穩(wěn)定位變化的程度來取。）合成不確定度為A類不確定度和B類不確定度的合成 （7） 在計算總的不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的1/9，則這一項就可以略去不計。這一結(jié)論叫做微小誤差準則。在進行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準則可減少不必要的計算。對于單次測量，一般是以最大不確定度進行估計?？捎脙x器不確定度作為合成不確定度，

20、即： 。 四、直接測量的不確定度直接測量的不確定度的合成，用（5）式或（2）式計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器的不確定度。例1用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。（感量：在儀器上有標出，一般為最小分度值）解：用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進行單次測量即可。單次測量的讀數(shù)即為近似真實值，m35.41g。對物理天平通常取感量的1/2，作為儀器不確定度，即 0.05（g）測量結(jié)果為 m35.41±0.05（g）因為是單次測量, 總的不確定度中A無法估算, 所以。但是這個結(jié)論并不表明單次測量的就

21、小，因為n1時,是發(fā)散的。例2用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d（mm）11.92211.92311.92411.92111.920螺旋測微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫出測量結(jié)果的標準式。解：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值 11.922（mm）（2）計算B類不確定度螺旋測微器的儀器不確定度（取最小刻度值的1/2）為0.005（mm） 0.005（mm）（3）計算A類不確定度 =0.002(mm) （4）合成不確定度 =0.006(mm)（5）相對不確定度：（6）測量結(jié)果： E0.050%測量不確定度表達涉及到深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題。因此，在保證科學(xué)性的前提下，在教

22、學(xué)中盡量把方法簡化，為初學(xué)者易于接受。以后在工作需要時，可以參考有關(guān)文獻繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。 有效數(shù)字及其運算法則一、有效數(shù)字的概念1、有效數(shù)字的定義若用最小分度值為1mm的米尺測量某物體的長度，讀數(shù)為56.3mm。其中5和6這兩個數(shù)字是從米尺的刻度上準確讀出的，可以認為是準確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是從米尺最小分度值上估計出來的，是不準確的，叫做欠準數(shù)（或稱可疑數(shù)字）。顯然有一位可疑數(shù)字，使測量值更接近真實值，更能反映客觀實際。因此，測量值保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0，也不能舍去。故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字數(shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)。

23、注意：有效數(shù)字的位數(shù)不要與小數(shù)點后的位數(shù)混淆。如上述的56.3mm稱為3位有效數(shù)字，但小數(shù)后只有1位。有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點的位置無關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點位置的0不是有效數(shù)字。當(dāng)0不是用作表示小數(shù)點位置時，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字，即有效數(shù)字中間與末尾的0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。如0.0135 m和1.05cm及13.0mm都是三位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測量的。2、結(jié)果的表示由于最后一位可疑位是不確定的，即是不確定度所在位。所以，若把

24、測量結(jié)果寫成542.817±0.5（mm）是錯誤的，由不確定度0.5（mm）可以得知，數(shù)據(jù)的小數(shù)0.8 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是：542.8±0.5（mm）。即，結(jié)果的尾數(shù)應(yīng)與不確定度的所在位對齊，后面的位數(shù)可以簡單地四舍五入。二、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實驗中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時，此0也要記錄。儀器不確定度在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的可疑位就記錄到哪一位。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。例如，測出物體長為52.4

25、mm 與52.40 mm 是不同的兩個測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個值，從這兩個值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個數(shù)量級。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用科學(xué)表達式。如0.0451 m 或45.1 mm，可表示為4.51×102m。三、有效數(shù)字的運算法則測量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位可疑數(shù)字。根據(jù)這一原則，為了簡化有效數(shù)字的運算，約定下列規(guī)則：1加法或減法運算若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或者差的結(jié)果的可疑數(shù)字的位置與參與運算各個量中的可疑數(shù)字的位置最高者相同。因此，幾個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余數(shù)修約（四舍五入），將應(yīng)保留的可疑數(shù)字的位數(shù)

26、多保留一位進行運算，最后結(jié)果按保留一位可疑數(shù)字進行取舍。2乘法和除法運算有效數(shù)字進行乘法或除法運算時，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)，一般與參與運算的各個量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同，或多一位。實際運算過程，可比參與運算的位數(shù)最少者多取一位，最后由結(jié)果的不確定度決定。如：7.65+8.268=15.92 3.841×4.42=9.30 3.841×8.42=32.343.8 4 1× 8. 4 27 6 8 21 5 3 6 43 0 7 2 83 2.3 4 0 2 23.8 4 1× 2. 4 27 6 8 21 5 3 6 47 6 8 2 9.2

27、 9 5 2 2 式中有下劃線的表示可疑數(shù)字。3乘方和開方運算乘方和開方運算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。4、三角函數(shù)：一般取四位有效位數(shù)。例：sin30o07 sin30.12o=0.50185、指數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，與指數(shù)小數(shù)點后的位數(shù)相同。例：105.755.6×105； 100.0751.196、對數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，其尾數(shù)（小數(shù)點后的位數(shù)）與真數(shù)的位數(shù)相同，或多取一位。例：ln1.550=0.43837、對任意函數(shù)： 可將數(shù)值末位改變1，運算后，看結(jié)果是哪位變化了，就保留到開始變化那位。例：ln1.550=0.43825，末位改變1：ln1.551=0.43

28、890，所以，可取小數(shù)后4位：0.4383。8、自然數(shù) 1,2,3,4,不是測量而得，因此，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的0，如D2R，D的位數(shù)僅由R的位數(shù)決定。9、無理常數(shù),的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。 例如L2R，若測量值時，應(yīng)比參加運算的最少位數(shù)多取一位，取為3.142。即。用計算器計算，可直接輸入。上述規(guī)定和方法，是為了簡化有效數(shù)字的運算，及作為不需算不確定度時，有效位數(shù)取值的參考，但并非完全準確。在實際的不確定度估算時，作為中間過程，可比上述規(guī)定取多12位，最后由結(jié)果的不確定度決定有效位數(shù)。間接測量結(jié)果的不確定度間接測量的近似真實值和不確定度是由直接測量結(jié)果

29、通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量存在不確定度，那么間接測量也必有不確定度，這就是不確定度的傳遞。由直接測量值及其不確定度來估算間接測量值的不確定度之間的關(guān)系式稱為不確定度的傳遞公式。設(shè)間接測量的函數(shù)式為 NF（x , y , z , ）N為間接測量的量，它有K個直接測量的物理量x , y , z , ，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為，。（1）若將各個直接測量量的近似真實值代入函數(shù)表達式中，即可得到間接測量的近似真實值。 （2）求間接測量的不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對函數(shù)式NF（x , y , z , ）求全微分，即得 式中dN , dx , dy , dz ,

30、均為微小量，dN 的變化由各自變量的變化決定,為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)數(shù), 將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度符號，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度 （10）這里 x , y , z , 各量應(yīng)相互獨立。當(dāng)間接測量的函數(shù)表達式為積和商（或含和差的積商形式）時，為了使運算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即 同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度EN，即 （11）已知、，由（11）式可以求出不確定度 （12）附表：常用函數(shù)的不確定度傳遞公式 函數(shù)關(guān)系式不確定度傳遞公式今后在計算間接測量的不確定度時，對函

31、數(shù)表達式僅為“和差”形式，可以直接利用（10）式，求出間接測量的不確定度，若函數(shù)表達式為積和商（或積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（11）式，先求出相對不確定度，再求出不確定度。附表為常用函數(shù)的不確定度傳遞公式，可直接應(yīng)用。(注意應(yīng)用附表時，要求各變量是相互獨立的)例1已知電阻R150.2±0.5（）, R2149.8±0.5（）, 求它們串聯(lián)的電阻R和不確定度。解：串聯(lián)電阻的阻值為R50.2149.8200.0（）由附表第一行公式求得不確定度為 （）相對不確定度 測量結(jié)果為 R200.0±0.7（） 注意：不確定度保留一位有效數(shù)字，相對不確定度保留2

32、位有效數(shù)字。例2測量金屬環(huán)的內(nèi)徑D128.80±0.04（mm），外徑D236.00±0.04（mm）, 厚度 h25.75±0.04（mm）。試求環(huán)的體積V。解： （1）環(huán)體積的近似真實值為（2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分 則相對不確定度為 =0.81%（3）合成不確定度為（4）環(huán)體積的測量結(jié)果為 V（9449）×10 (mm)3 EV0.81%注意： 結(jié)果的末尾數(shù)與不確定度的所在位對齊。數(shù)據(jù)處理方法物理實驗中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結(jié)果。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結(jié)果為止的加工過程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整

33、理、計算、分析、擬合等多種處理方法，常用有列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法等。一、列表法列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。是記錄的最好方法。設(shè)計記錄表格要求：1列表要簡單明了，利于記錄、運算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結(jié)果，便于一目了然地看出有關(guān)量之間的關(guān)系。2表中各欄中的物理量都要用符號標明，并寫出數(shù)據(jù)所代表物理量的單位及量值的數(shù)量級。單位寫在符號標題欄，不要重復(fù)記在各個數(shù)值上。3記錄的數(shù)據(jù)，應(yīng)正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。一般記錄表格還有序號和名稱。例如：要求測量圓柱體的體積，圓柱體高H和直徑D的記錄如下：測柱體高H和直徑D記錄表測量次數(shù)i12345平 均Hi（mm）35.3235.3035.3235.3

34、435.3035.326D i（mm）8.1358.1378.1368.1338.1328.1347二、作圖法用作圖法處理實驗數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法是在現(xiàn)有的坐標紙上用圖形描述各物理量之間的關(guān)系，將實驗數(shù)據(jù)用幾何圖形表示出來，叫做作圖法。在作圖時要注意以下幾點：1作圖一定要用坐標紙。當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)函數(shù)關(guān)系選用直角坐標紙，單對數(shù)坐標紙，雙對數(shù)坐標紙，極坐標紙等，本教材主要要求學(xué)會用直角坐標紙。2坐標紙的大小及坐標軸的比例。應(yīng)當(dāng)根據(jù)所測得的有效位數(shù)和結(jié)果的需要來確定，原則上數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應(yīng)當(dāng)標出，數(shù)據(jù)中可

35、靠位的最后一位在圖中應(yīng)是整數(shù)格。除特殊需要外，數(shù)值的起點一般不必從0開始，X軸和Y軸的比例可以采用不同的比例，使作出的圖形大體上能充滿整個坐標紙，圖形布局美觀、合理。3標明坐標軸。對直角坐標系，一般是自變量為橫軸，因變量為縱軸，采用粗實線描出坐標軸，并用箭頭表示出方向，注明所示物理量的名稱，單位。在坐標軸旁每隔一定間距，以1、2、5為基數(shù)標注整分格上的量值。4描點。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對應(yīng)的實驗點準確地落在相應(yīng)的位置，一張圖紙上畫上幾條實驗圖線時。每條圖線應(yīng)用不同的標記如“×”、“+”等符號標出，以免混淆。5連線。根據(jù)不同函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)點分布，把點連成直線或光滑

36、的曲線或折線，連線必須用直尺或曲線板，校準曲線中的數(shù)據(jù)點則連成折線。由于每個實驗數(shù)據(jù)都有一定的不確定度，所以將實驗數(shù)據(jù)點連成直線或光滑曲線時，繪制的圖線不一定通過所有的點，應(yīng)讓多數(shù)實驗點落在曲線上, 其余的點均勻分布在曲線的兩側(cè)，即盡可能使曲線兩側(cè)所有點到直線的距離之和最小并且接近相等，個別偏離很大的點應(yīng)當(dāng)應(yīng)用異常數(shù)據(jù)的剔除中介紹的方法進行分析后決定是否舍去，原始數(shù)據(jù)點應(yīng)保留在圖中。6寫圖名。作完圖后，在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“”聯(lián)接

37、。7最后將圖紙貼在實驗報告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實驗報告。三、圖解法85.0080.0075.0070.000.020.040.0TR圖3某金屬絲電阻溫度曲線10.030.050.0在物理實驗中，實驗圖線做出以后，可以由圖線求出經(jīng)驗公式。圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實驗中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線。特別是當(dāng)圖線是直線時，采用此方法更為方便。1由實驗圖線建立經(jīng)驗公式的一般步驟：（1）根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型；（2）由圖線的類型判斷公式的可能特點；（3）利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標紙，把原曲線改為直線；（4）確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗

38、公式的形式，用實驗數(shù)據(jù)來檢驗所得公式的準確程度。2用直線圖解法求直線的方程如果做出的實驗圖線是一條直線，則經(jīng)驗公式應(yīng)為直線方程 ykxb （13）要建立此方程，由實驗直接求出k（斜率）和b（截距），一般有兩種方法。可用斜率截距法和端值求解法。其中斜率截距法：在圖線上選取兩點P1（ x1，y1 ）和P2（ x2，y2 ），其坐標值最好是整數(shù)值，或橫坐標取整數(shù)值。用特定的符號表示所取的點，與實驗點相區(qū)別。一般不要取原實驗點。所取的兩點在實驗范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小不確定度。根據(jù)兩點的坐標求出斜率k為 （14）其截距b為 x0 時的y值；若原實驗中所繪制的圖形并未給出 x0段直線，可將直線用

39、虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點不為零，也可以由式 (15)求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗公式。例：金屬導(dǎo)體的電阻隨著溫度變化的測量值為下表所示，試求經(jīng)驗公式Rf（T）和電阻溫度系數(shù)。溫度（）19.125.030.136.040.045.150.0電阻（）76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10PVO圖4 PV曲線POV圖5P1/V曲線根據(jù)所測數(shù)據(jù)繪出RT圖求出直線的斜率和截距 （） b72.00（）于是得經(jīng)驗公式 R72.000.296T該金屬的電阻溫度系數(shù)為 （1/）3曲線改直，曲線方程的建立在實驗工作中，許多物理量之間的關(guān)系并不

40、都是線性的，由曲線圖直接建立經(jīng)驗公式一般是比較困難的，但仍可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q而成為線性關(guān)系，即把曲線變換成直線，再利用建立直線方程的辦法來解決問題。這種方法叫做曲線改直。例如：PV=C，式中C為常量，要變換成P=C(1/V)，P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C。習(xí) 題1指出下列各量是幾位有效數(shù)字？（1） 63.74 cm; （2） 0.302 cm; （3） 0.0100 cm ; （4）12.61s ; 2試用有效數(shù)字運算法則計算出下列結(jié)果（1）107.50 2.5；（2）273.5÷0.100；（3）1.50×0.500；（4）；3. 一圓柱體，已知高h4.120±

41、0.001（cm），直徑d2.040±0.001（cm）, m149.18±0.05（g）。求V 和密度的測量結(jié)果。4改正下列錯誤，寫出正確答案（1）L0.01040（km）的有效數(shù)字是五位；（2）d12.435±0.02（cm ）；（3）h27.3×10 4±2000（km）；（4）R6371 km6371000m637100000（cm）；（5）t=8.50±0.452s（6）60±2。5單位變換（1）將 L4.25±0.05（cm）的單位變換成m , mm , m , km 。（2）將 m1.750±0.001（kg）的單位變換成 g , mg , t 。6利用單擺測重力加速度g，當(dāng)擺角5°時，T2, 式中擺長L97.69±0.02 （cm），周期T1.9842±0.0002（s）。求g和 ，并寫出結(jié)果的標準式。7準確度等級為0.5級,量程為10mA的電流表,使用時可能產(chǎn)生的儀器不確定度為 mA,若要求測量的相對不確定度不超過1%,則被測電流應(yīng)不小