第7章電磁波的輻射

1、第七章 電磁波的輻射第七章 電磁波的輻射我們?cè)诘诹轮幸呀?jīng)介紹了電磁波在不同的媒質(zhì)中的傳輸行為，然而，我們對(duì)電磁波如何產(chǎn)生的卻仍然不知道。這一章中，我們將詳細(xì)介紹電磁波如何從源（電荷、電流分布）區(qū)產(chǎn)生出來(lái)的，這個(gè)過程叫做電磁輻射。§7.1 勢(shì)、規(guī)范、及其滿足的方程一、勢(shì)的定義在這一章里，我們將討論電荷連續(xù)分布系統(tǒng)的輻射。原則上講，對(duì)確定的電荷分布和電流分布，我們求它的輻射電磁場(chǎng)就是求解Maxwell方程 直接求解場(chǎng)的方程通常比較麻煩，可以使用并矢格林函數(shù)的方法（參考J A Kong的書）。類似處理靜電、靜磁時(shí)的情況，我們?cè)谔幚砼c源有關(guān)的輻射問題時(shí)解“勢(shì)”的問題更加方便。與靜電、靜磁時(shí)

2、不同，在一般情況下標(biāo)勢(shì)、矢勢(shì)的定義有所不同。根據(jù)Maxwell方程第三式，可定義矢勢(shì)A為 將其代入Maxwell方程第二式，可得 因此可以定義標(biāo)勢(shì)，其滿足 二、規(guī)范條件（Gauge）式與（式所定義的勢(shì)并不唯一。定義一個(gè)新的標(biāo)量函數(shù)，由此定義一對(duì)新的標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)：將上式代入式和式，我們發(fā)現(xiàn)給出與完全一樣的場(chǎng)。在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的范疇內(nèi)，對(duì)應(yīng)著真實(shí)的物理場(chǎng)，并不對(duì)應(yīng)真實(shí)物理場(chǎng)。因此對(duì)于同樣的物理體系，得選擇并不唯一，必須在某一個(gè)條件的約束下才可能為唯一確定下來(lái)。這個(gè)條件稱為規(guī)范條件。通常使用的規(guī)范是庫(kù)侖規(guī)范 和洛侖茲規(guī)范 值得注意的是：洛侖茲規(guī)范在靜電、靜磁條件下與庫(kù)侖規(guī)范一致。三、勢(shì)所滿足的方程將式與

3、式代入Maxwell方程中的第一和第四式，我們得到對(duì)勢(shì)的方程： 這組方程是耦合在一起的，使用起來(lái)不方便。利用Lorentz規(guī)范條件可以將其化兼成相當(dāng)對(duì)稱而標(biāo)準(zhǔn)的有源波動(dòng)方程的形式因此，我們首先根據(jù)源的情況求解式得到勢(shì)，然后再由勢(shì)求出電磁場(chǎng)。§7.2 推 遲 勢(shì)由于和滿足同樣的方程，因此我們只要討論一個(gè)標(biāo)量方程 的解。求解上述方程的標(biāo)準(zhǔn)方法是定義一個(gè)格林函數(shù)，滿足 這個(gè)函數(shù)的物理意義就是當(dāng)時(shí)刻在處做一個(gè)單位強(qiáng)度的擾動(dòng)時(shí)，空間所激發(fā)的場(chǎng)。定義，則勢(shì)可以用格林函數(shù)和源函數(shù)來(lái)表達(dá)： 證明式并不困難，只要對(duì)等式兩端都作用一個(gè)算符，再利用式，則發(fā)現(xiàn)式是式的正確解。下面求解格林函數(shù)。在R，T空間求

4、解非常不方便，利用 Fourier變換可得 代入式可以解得空間的格林函數(shù)為 其中， 因此，空間的格林函數(shù)為 先計(jì)算空間部分，對(duì)k的積分上面的積分中有奇點(diǎn)，若想得到收斂的結(jié)果，必須假設(shè)具有一個(gè)很小的虛部。但這個(gè)虛數(shù)的符號(hào)應(yīng)當(dāng)取 + 還是取 - 呢？選擇的依據(jù)是“因果關(guān)系”：在正常介質(zhì)中這個(gè)虛部必須為正?！耙蚬P(guān)系”要求電磁波在介質(zhì)中向前傳播（能流的方向）時(shí)應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生焦耳熱從而使得能量被耗散。而是介質(zhì)中向前傳播的波矢，假設(shè)，則，因此一定為正。Tips： 這里我們考慮的就是在實(shí)軸上的全積分，不是主值積分(P)，因此一定要選擇合適的路徑； 由可知，當(dāng)處于一定介質(zhì)中時(shí)（如空氣），因?yàn)榻橘|(zhì)的，一定因?yàn)楹纳⒍?/p>

5、有虛部，則一定帶有虛部！即是是真空，也會(huì)因?yàn)闈q落而對(duì)電磁波有耗散。因此給一個(gè)小的虛部不僅是數(shù)學(xué)的要求，還是物理的必然！對(duì)上面的兩個(gè)積分分別選擇如下圖所示的閉合回路，將被積函數(shù)解析延拓到復(fù)平面，則利用留數(shù)定理容易推出 在式中加入時(shí)間振蕩因子，則發(fā)現(xiàn)這個(gè)解對(duì)應(yīng)這樣一個(gè)單頻波，其物理意義為一個(gè)點(diǎn)源的“出射波”-即從源點(diǎn)向外發(fā)射的球面波，顯然這是符合“因果關(guān)系”的解。若選擇的虛部為負(fù)，則結(jié)果為不符合因果關(guān)系的“會(huì)聚波”。進(jìn)而將式代入式可得最終的格林函數(shù) 這個(gè)解的物理意義更加明晰 在原點(diǎn)處0時(shí)刻作一個(gè)激發(fā)，則激勵(lì)的波以球面波的形式傳播出去 波振幅以形式衰減，且只在處有值。將其代入式得到 式中方括號(hào) 表示

6、，同理可得 我們注意到的表達(dá)式在形式上與靜態(tài)時(shí)的解一致，只是在動(dòng)態(tài)時(shí)時(shí)刻的輻射場(chǎng)是由此時(shí)刻前的一個(gè)時(shí)刻的擾動(dòng)貢獻(xiàn)的，而這個(gè)推遲的時(shí)間正是從源到觀測(cè)點(diǎn)光信號(hào)傳播所需的時(shí)間。這就是推遲勢(shì)，其物理的根據(jù)是因果關(guān)系。§7. 3 多 極 輻 射很多情況下輻射源電流、電荷分布于空間一很小區(qū)域內(nèi)，而我們則關(guān)心遠(yuǎn)場(chǎng)的行為，此時(shí)類似靜電、靜磁時(shí)的處理方法，我們可以作多極展開。一、推遲勢(shì)的多極展開我們討論的是遠(yuǎn)離源的場(chǎng)，即，為源的線度。被積函數(shù)是的函數(shù)，我們可以將它在處展開為級(jí)數(shù)，即 式中表示，以后為簡(jiǎn)便起見，腳標(biāo)0不再寫出。同理可得故 我們下面分別研究展開式中各項(xiàng)的物理意義，以及它們所代表的輻射場(chǎng)的性

7、質(zhì)。二、電偶極輻射展開式中的第一項(xiàng)是系統(tǒng)的總電荷量，一般情況下不隨時(shí)間變化，沒有輻射。第二項(xiàng) 式中，表示系統(tǒng)總的電偶極矩。 展開式中的第一項(xiàng)（在靜磁的時(shí)候，直接去掉，但這是不能舍去）： 所以，電偶極矩系統(tǒng)所產(chǎn)生的和為式及式?？紤]源隨時(shí)間做單頻簡(jiǎn)諧振蕩：（一般情況總可以展開成單頻結(jié)果的疊加）。從聯(lián)系和的勢(shì)的通常公式，我們得到電偶極輻射場(chǎng)中的磁場(chǎng)部分為 電場(chǎng)當(dāng)然也可以由勢(shì)推出。但在無(wú)源區(qū)，電場(chǎng)可以根據(jù)Maxwell方程由磁場(chǎng)導(dǎo)出 下面仔細(xì)分析一下在式和式中要用到的一項(xiàng)： 考慮第一項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t微分運(yùn)算可以代換成 再考慮第二項(xiàng)，因，最終，變?yōu)?因此，和的比較決定了哪一項(xiàng)大，哪一項(xiàng)小。下面我們分三個(gè)區(qū)域

8、來(lái)討論。 (1) 近區(qū)：，但滿足。這時(shí)和式中的旋度算子只要對(duì)分母運(yùn)算即可。因?yàn)槊繉?duì)分母運(yùn)算一次得到一個(gè)因子，而對(duì)分子運(yùn)算，得到一個(gè)因子，顯然比貢獻(xiàn)大。于是我們得到近區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)為 我們注意到此時(shí)電場(chǎng)和靜態(tài)時(shí)的電偶極子的電場(chǎng)形式上完全一樣，只不過時(shí)間上推遲了一個(gè)輻射時(shí)間而已事實(shí)上在這個(gè)條件下，“準(zhǔn)靜態(tài)”近似適用（參考第5章）。(2) 遠(yuǎn)區(qū)：不僅要求 ，而且 ，為輻射場(chǎng)的波長(zhǎng)，此時(shí)，公式式中第一項(xiàng)遠(yuǎn)大于第二項(xiàng)。因此在計(jì)算電磁場(chǎng)時(shí)，只需計(jì)算算子作用到上即可，無(wú)需計(jì)算其作用到上。這等價(jià)于做代換式。因此，遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)強(qiáng)的公式為 (3) 中間區(qū)域：雖然 ，但 ，這時(shí)我們必須同時(shí)保留對(duì)分母運(yùn)算的項(xiàng)和對(duì)分子運(yùn)算的項(xiàng)，這

9、是因?yàn)閷?duì)兩者運(yùn)算得到的因子和 是同數(shù)量級(jí)。思考題：與遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)不同，在近場(chǎng)區(qū)電場(chǎng)與磁場(chǎng)差一個(gè)i，這有什么物理值得我們思考呢？聯(lián)系第四章準(zhǔn)靜態(tài)的知識(shí)，對(duì)上述事實(shí)作一番討論？例1如圖所示，兩個(gè)金屬小球分別帶電荷Q和-Q，它們之間距離為，兩小球的電荷的數(shù)值和符號(hào)同步地周期性變化，這就是所謂的赫茲振子。試分析赫茲振子輻射場(chǎng)的能流特點(diǎn)。解 取球坐標(biāo)系，+Q和-Q處在z軸上，設(shè)(用復(fù)場(chǎng)表示)，則體系的電偶極矩為 將它們代入偶極輻射的遠(yuǎn)區(qū)公式，有 由式可以看出，場(chǎng)正比于，電場(chǎng)只有 方向分量，磁場(chǎng)只有方向分量，且，而在偶極矩方向上場(chǎng)為零。輻射能流的平均值為 對(duì)這個(gè)結(jié)果討論如下：（1） 輻射能流的特點(diǎn)是正比于，偶極

10、矩的平方，的四次方;（2） 這說(shuō)明輻射能力在低頻時(shí)較弱，而在高頻時(shí)高，這與我們第四章所討論的“準(zhǔn)靜態(tài)近似”的適用條件一致；（3） 輻射能流正比于是一個(gè)穩(wěn)定輻射問題的必然要求，如若不然，則必然在空間產(chǎn)生能量積累，從而輻射問題不穩(wěn)定。也正因?yàn)槿绱?，輻射能流在某一個(gè)特定的立體角組成的通道內(nèi)保持相同。在討論輻射問題時(shí)，我們常用角分布的概念來(lái)描述體系向空間不同方向輻射能量的情況，其定義為 這表示在方向單位立體角內(nèi)的平均輻射能流，顯然，現(xiàn)在輻射角分布的情況如圖所示，在的方向幅射最強(qiáng)，在的方向無(wú)輻射。三、磁偶極輻射下面考慮磁偶極輻射，此時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮項(xiàng)。在遠(yuǎn)場(chǎng)（）及單頻條件下，只保留對(duì)推遲勢(shì)的作用（作代換），

11、則有 上式第一項(xiàng)在靜磁條件下為0，當(dāng)電流隨時(shí)間諧變時(shí)，其為電四極子的貢獻(xiàn)（嚴(yán)格證明從略，但由可知，此項(xiàng)積分正比于）。第二項(xiàng)可改寫為（用到了：） 其中，正是磁偶極子的貢獻(xiàn)，其它多極展開式中沒有磁偶極子的貢獻(xiàn)。因此，磁偶極輻射所對(duì)應(yīng)的矢勢(shì)即為式，標(biāo)勢(shì)為0。帶入勢(shì)和場(chǎng)的關(guān)系，即可求出磁偶極子的和： 討論如下 （1） 我們注意到磁偶極子的輻射場(chǎng)與電偶極子輻射場(chǎng)非常相似。事實(shí)上，在講解靜電/靜磁理論時(shí)我們已經(jīng)了解到，之于場(chǎng)與之于場(chǎng)完全相同?，F(xiàn)在，我們又看到了相同的依賴關(guān)系將式中場(chǎng)中的代換成，我們就得到了磁偶極子的場(chǎng)！因此這兩個(gè)場(chǎng)互為對(duì)偶場(chǎng)，記住一個(gè)就可以得到另一個(gè)。更一般地，當(dāng)我們作如下代換，即可由電偶

12、極子的場(chǎng)推出磁偶極子的場(chǎng)；（2） 磁偶極輻射與電四極輻射一個(gè)量級(jí)，均比電偶極輻射小，因此對(duì)一個(gè)體系若其有磁偶極輻射，應(yīng)當(dāng)同時(shí)檢查同一量級(jí)的電四極子是否存在。§ 7.4 線型天線輻射我們討論線型天線的輻射問題。線型天線是最典型也是最常見的天線結(jié)構(gòu)，它具有較強(qiáng)的輻射能力和較好的輻射方向性。要解決天線輻射的問題首先要知道天線中的電流分布。 我們考慮輸入到天線中的信號(hào)隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，則天線中的電流線密度一定也隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化。假設(shè)天線由理想導(dǎo)體組成，則電流只在導(dǎo)體表面且滿足。進(jìn)一步考慮磁場(chǎng)，其滿足波動(dòng)方程，故其解一定是的線性組合（可以取模為的所有值）。當(dāng)天線很細(xì)時(shí)，可只考慮的兩支波的貢獻(xiàn)，

13、故以及的形式一定只是的線性組合。設(shè)信號(hào)沿天線的中點(diǎn)輸入，取此點(diǎn)為坐標(biāo)的原點(diǎn)，電流對(duì)此點(diǎn)是對(duì)稱的，在天線的兩端點(diǎn)()處電流應(yīng)為零，故電流分布為知道了電流分布便可計(jì)算矢勢(shì)： 如圖所示，有 將式代入式，在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下（）有可由求得?？紤]遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)作代換，則電場(chǎng)：平均輻射能流：平均角分布為它依賴于的值。討論如下：（1） 當(dāng)天線長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)時(shí)，可以將上式展開得與式對(duì)比發(fā)現(xiàn)，此時(shí)天線等價(jià)于一個(gè)電偶極子，強(qiáng)度為。顯然對(duì)短天線，天線越長(zhǎng)，輻射能力越大。（2）當(dāng)天線再增長(zhǎng)到條件不滿足時(shí)，天線的輻射能力隨做周期性振蕩。通常人們將信號(hào)發(fā)生器與天線中間空隙的兩端分別相連， 給定一個(gè)定幅的輸入信號(hào)，測(cè)量被反射回來(lái)的信號(hào)強(qiáng)度

14、（稱為反射損耗return loss，S11 等），顯然這個(gè)量越小，說(shuō)明輻射出去的功率越強(qiáng)，因此S11的極小值就標(biāo)示著天線輻射的一個(gè)極大值。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，天線的輻射能力達(dá)到極值特別是半波電線（長(zhǎng)度）輻射能力最強(qiáng)。（3）隨著的增大，輻射圖案與偶極子輻射圖案有了明顯的區(qū)別，開始有分叉出現(xiàn)，并開始朝天線方向集中。真正有用的天線就是既有很好的輻射效率（S11極?。钟泻芎玫妮椛鋱D案的半波天線。§ 7.5 天 線 陣天線最重要的兩個(gè)品質(zhì)是輻射圖案和輻射效率。 雖然半波天線的輻射效率比較高，但它在角上沒有任何的定向性，在角上有一定的定向性，但不是很好。在實(shí)際應(yīng)用中，為了獲得更好的輻射方向性，

15、我們常把一系列天線排布成天線陣，利用干涉效應(yīng)來(lái)獲得較好的方向性。最常用的是把半波天線當(dāng)作基元天線列陣。慣常的排布有：線性排列（圖（a）、橫向排列（圖（b）、方陣（圖（c）。我們只討論在線性排列的情況下，它的輻射方向性同單一的半波天線有什么不同。m個(gè)半波天線線性排列，它們所激發(fā)的場(chǎng)到達(dá)遠(yuǎn)處某點(diǎn)的路程不同，這就使它們彼此間有相位差，從而發(fā)生干涉使輻射具有方向性，如圖（d）所示。每個(gè)天線與其鄰近的天線之間的路程差為（a為兩天線間的距離），若第一個(gè)天線的輻射場(chǎng)為則第二個(gè)半波天線的輻射場(chǎng)為由于，在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下（），有定義，則同理可得第三個(gè)半波天線的場(chǎng)為依次類推，得m個(gè)半波天線產(chǎn)生的總場(chǎng)為可見它的輻射角分布比單個(gè)半波天線的角分布多了一個(gè)因子：因此總的輻射角分布為即在