第十一章習(xí)題課

1、2（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場(chǎng)論初步（三）場(chǎng)論初步 一、主要內(nèi)容3曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)面積的對(duì)面積的曲面積分曲面積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分曲線積分對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計(jì)算計(jì)算定義定義計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分4 曲曲 線線 積積 分分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim

2、10iiiniiiiyqxp 聯(lián)聯(lián)系系dsqpqdypdxll)coscos( 計(jì)計(jì)算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定 (與方向有關(guān))5與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域d上上),(),(yxqyxp具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題題成成立立. . lqdypdxd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( cdcqdypdx閉曲線閉曲線, 0)2(qdypdxduyxud 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xqypd ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題6 曲

3、曲 面面 積積 分分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 rdxdyqdzdxpdydz計(jì)計(jì) 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān)) 一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,7定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算green公式公式stokes

4、公式公式guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系8點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù))(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar 時(shí)時(shí)上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng).),()(,2 ddyxfdmfdr 時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分9 dvzyxfdmfr),()(,3 時(shí)時(shí)上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdmfr 時(shí)時(shí)上空間曲線上空間曲線當(dāng)當(dāng).),()(,3 sdszyxfdmfsr 時(shí)時(shí)上曲面上曲面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 ldsyxfdmflr 時(shí)時(shí)上平面曲線上平面

5、曲線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分10計(jì)算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素11 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( ds

6、qpqdypdxl)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy12理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式133.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()

7、()( rdzqdypdx斯托克斯公式斯托克斯公式14 dldxdykarotsda)( dldxdyadivdsna)(green公式,guass公式,stokes公式之間的關(guān)系 dsnarotdsa)( rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvadivdsna)(dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推廣推廣為平面向量場(chǎng)為平面向量場(chǎng))(ma為空間向量場(chǎng)為空間向量場(chǎng))(ma15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zryqxpadiv rdxdyqdzdx

8、pdydzkypxqjxrzpizqyrarot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）場(chǎng)論初步場(chǎng)論初步16二、典型例題1 計(jì)算, sdyxl22其中l(wèi)為圓周.xayx22利用極坐標(biāo) ,)(cos:22 arl drrsd22原式 =sdxal2222 daa cos2022 dacos22a說明說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,:l)( 20 ttdyxds22 tda2xaoyr ad)cos(txa12tyasin2t則17dtta)cos1 ( 2 計(jì)算,)(lxdydxya2其中l(wèi)為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對(duì)應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示: 原

9、式 =202sintdtta202sincosttta22 a)cos1 (tatdtattasin)sin(183 計(jì)算其中是由平面 y = z 截球面1222zyx所得截痕,從 z 軸正向看去,沿逆時(shí)針方向.提示提示: 因在上有,1222yx故:原式 = tdtt 2022221sincostdtt202214221 )cos(cos221432212 162 zoyx1txcostysin21 21tzsin)( 20 tzdzyx194 4 計(jì)算計(jì)算 ldyyxdxxyxi)()2(422, , 其中其中l(wèi)為由點(diǎn)為由點(diǎn))0 , 0(o到點(diǎn)到點(diǎn))1 , 1(a的曲線的曲線xy2sin .

10、 . 思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi),(),(yxyxqdypdxi00閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補(bǔ)充曲線或用公式補(bǔ)充曲線或用公式20解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由215 5 計(jì)計(jì)算算 lxxdymyedxmyyei)cos()sin(, , 其其中中l(wèi)為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 ,(a到到點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyypx

11、x cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下圖如下圖) )22xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi23在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計(jì)算計(jì)算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi6xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1 , 1, 1 n的法向量為的法向量為.cos

12、,cos,cos313131 24dszzyxfyzyxfxzyxfi),(),(),(3123131 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 257 7 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )26xyzo132 * *i且有且有dxdydzzryqxp)(* dxdydz

13、yyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzdxzdydxdz3122202202 dd)(27 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 288 設(shè)為簡(jiǎn)單閉曲面,為任意固定向量,a證明證明: 設(shè)cos,cos,cosncos,cos,cos0a(分量均為常數(shù))則dsa,n)cos(sdan0dscoscoscoscoscoscosdvxxx)cos()cos()cos(00)cos(dsa,nn為的單位外法向向量 , 試證zdydcosxdzdcosydxdcos299 計(jì)算曲面積分dxdyrzdzdxr

14、ydydzrxi333其中,222zyxr 是球面的外側(cè) . 2222rzyx解解:ydxdzxdzdyzdydxri31dxdydzr3134思考思考: 本題 改為橢球面1222222czbyax時(shí) , 應(yīng)如何計(jì)算 ?3010 設(shè) 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(zyxzdxdyydzdxxdydzi2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù) ,作曲面取下側(cè) 使其包在內(nèi) , 2為 xoy 平面上夾于 與之間的部分, 且取下側(cè) ,121ozyx取上側(cè) , 計(jì)算,)0( z則2121idv0131zdxdyydzdxxdydz22322)(0yxdxdy)323(133 231

15、一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設(shè)設(shè)l為為230,0 yxx, ,則則 lds4的值為的值為( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b),6 (c) (c)06x. .2 2、 設(shè)設(shè)l為直線為直線0yy 上從點(diǎn)上從點(diǎn)),0(0ya到點(diǎn)到點(diǎn)),3(0yb的的有向直線段有向直線段, ,則則 ldy2=( ).=( ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時(shí)針方向取順時(shí)針方向, ,則則 lxdyydx的值為的值為( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)

16、ab2 ; (c); (c)ab . .測(cè)驗(yàn)題測(cè)驗(yàn)題324 4、設(shè)、設(shè)),(,),(yxqyxp在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域d內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,則在則在d內(nèi)與內(nèi)與 lqdypdx路徑無關(guān)的條件路徑無關(guān)的條件 dyxypxq ),(,是是( ).( ). (a) (a)充分條件充分條件; (b); (b)必要條件必要條件; (c); (c)充要條件充要條件. .5 5、設(shè)、設(shè) 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (a) (a) 12zdszds; ; (b) (b) 12zdxdyzdxdy; ; (c

17、) (c) 1222dxdyzdxdyz. .336 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (a) (a) rrdrrd022041 ;(b);(b) 2022041rdrrd ; ; (c)(c) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryx22222; ; (b) (b) 2 2 xyddxdyyxryx22222; ; (c) 0(c) 0 . .348 8、曲面積

18、分、曲面積分 dxdyz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(a)(a) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(b)(b) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(c)(c) 向量向量kz2穿過曲面穿過曲面 的流量的流量 . .9 9、設(shè)、設(shè) 是球面是球面2222rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,xyd是是xoy面面 上的圓域上的圓域222ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryxzdsyx2222222； (b) (b) xyddxdyyxdxdyyx)()(2222； (c) (c) xyddxdyyxr

19、zdxdy2222. .351010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計(jì)算中運(yùn)用奧下述計(jì)算中運(yùn)用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (a) (a) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (b) (b) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (c) (c) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .36二、計(jì)算下列各題二、計(jì)算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)

20、0(0tt ；2 2、求、求 lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中l(wèi)為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時(shí)針方向沿逆時(shí)針方向 . .三、計(jì)算下列各題三、計(jì)算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222ryx ；372 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側(cè)；的外側(cè)；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 為曲面為曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上側(cè)的上側(cè) . .四、證明四、證