內(nèi)含報酬率計算方法

1、內(nèi)含報酬率計算方法內(nèi)含報酬率計算方法計算內(nèi)含報酬率是長期投資決策分析中重 要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因在 一于：計算中考慮到貨幣的時間價值。 其理論介 紹多見于管理會計、投資決策等教科書， 其計算方法多囿于插值法（內(nèi)插值法、外插值 法）、幾何法（平面幾何相似三角形線段比）。近 期，關(guān)于內(nèi)含報酬率的解法問題，又在一些會計 刑物展開紛紛揚(yáng)揚(yáng)、連篇累牘的討論。以下筆者 將多年研究的成果一一內(nèi)含報酬率新的解法理 論介紹于后。（1）內(nèi)含報酬率計算公式的數(shù)學(xué)描述內(nèi)含報酬率是指項(xiàng)目壽命期內(nèi)，資金流入量 的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈現(xiàn) 值等于零時的折現(xiàn)率。現(xiàn)金凈流量則是項(xiàng)目投資 所引起的

2、未來的現(xiàn)金流入量減流出量后的凈額。為便于公式的推導(dǎo)，將下文中所涉及的因素 用以下符號表示：N-凈現(xiàn)值；NCFt第t期的現(xiàn)金凈流量；i 利息率，折現(xiàn)率；NCFo初始投資額；I-內(nèi)含 報酬率；n項(xiàng)目有效期；a、b、c分別為常數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通 項(xiàng)公式可用以下關(guān)系式表示：N=NCFi(1+i )-1+ NCF2(1+i)-2+ NCFt (1+i) -t -NCFon=NCFt(1 i) t NCF0t 1(1)下面我們來看i變動對N的影響，也即討論 值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系：當(dāng)i=0時：-.ntnNCFtN0= lim N = lim 1 NCFt (1+i

3、) -NCF 0NCF01即當(dāng)折現(xiàn)率趨于零時，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的 現(xiàn)金流入量與流出量之間的差。當(dāng)i=I時Ni =(3)NCFtt 1(1+i)-t即內(nèi)含報酬率正是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率， 它表明了折現(xiàn)率與內(nèi)含報酬率的關(guān)系。當(dāng)iIX時：m(1+i)-t-NCFo=-NCF表明凈現(xiàn)值趨于原始投入的相反值，現(xiàn)金流 入量趨于零，N的值汽車于N=-NCFo直線。圖示一:以上i變動與凈現(xiàn)值的關(guān)系，以及折現(xiàn)率與 內(nèi)含報酬率的關(guān)系，可用解析圖一表示：(0, N凈現(xiàn)值與折現(xiàn)N-N由以上數(shù)學(xué)分析和圖示解析可見：i由0宀 %時，N由Nof NCFo, N隨i增大而減少，隨i 減小而增大，這說明凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著

4、 反比例曲線關(guān)系。(0關(guān)于內(nèi)含報酬率的近似值的問題現(xiàn)行的內(nèi)含報酬率的解多采用插值法（也有 用平面幾何相似三角形線段比求得），其實(shí)質(zhì)是 以直代曲，故通常我們求出的“內(nèi)含報酬率”是 其近似值，即凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間雖是反比例曲 線關(guān)系，但我們假設(shè)小區(qū)間內(nèi)或瞬間表現(xiàn)為直 線，這樣就可以求出I的近似值。以下，我們通 過圖示和計算實(shí)例來討論選擇不同測試點(diǎn)對內(nèi) 含報酬率的影響。例某企業(yè)擬投資340萬元建一產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目， 投資建設(shè)期為0年。項(xiàng)目有效經(jīng)營期為10年， 期末無殘值，每年的現(xiàn)金凈流量為 60萬元。即 已知：N°=340, Nii0=6O, n=10。則該投資項(xiàng)目 在不同折現(xiàn)率條件下的凈現(xiàn)值如下

5、表所示：折現(xiàn)率（i）10%11%12%13%14%年金 值系 數(shù)3.1455.8895.6505.4265.216凈觀 值（I）28.713.34-1-14.44-27.04當(dāng)測試值選擇在P兩側(cè)臨近點(diǎn)：11%、12%時,則內(nèi)插法計算（見解折圖示二）圖示二:B (12%折現(xiàn)率:11%X%?% 1%12%凈現(xiàn)值:13.3414.3413.340 x=13.34/14.34=0.930265i=11%+0.930365%=11.930265%這里“以直代曲”計算出的i=11.930265>l,它只是內(nèi)含報酬率的近似值。當(dāng)選擇測試值在P點(diǎn)一側(cè)（同向）10%、11%時，適用外插法計算（見解析圖三）

6、圖示三:(0 ,C(i ,%6 寸 898 L LH%6 寸 8980+% 廠 L.II6 寸 898oH9co9L/K:coLHX 寸00“丁><+匸><0卜000 寸 eooL卜OOCXIX&To>o>>>OOLALLJ可見，求得的內(nèi)含報酬率的近似值 i<l ;同 理選擇測試值在P點(diǎn)的另一側(cè)時，i仍小于I。選擇測試值P點(diǎn)兩側(cè)較遠(yuǎn)點(diǎn)10%、14% 時，仍用插值法計算（見解析圖示四）圖示四：'B( 14%折現(xiàn)率:10%X%?%4%14%凈現(xiàn)值:28.755.7428.7027.04x/4=28.7/55.74x=2.0595

7、6i=10%+2.05956%=12。05956%計算出的內(nèi)含報酬率的近似值i>11.930265%>I 。通過以上選擇不同測試點(diǎn)計算結(jié)果比較得知：“以直代曲”計算出的i值， 只是I的近似值；(2)當(dāng)測試點(diǎn)選擇在P點(diǎn)兩側(cè) 時，計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于 I; (3) 當(dāng)測試點(diǎn)選擇在P點(diǎn)同側(cè)時，計算出的內(nèi)含報酬 率的近似值i小于I ; (4)測試點(diǎn)越臨近P點(diǎn)，其 近似于I的值精確度越高。(3)3內(nèi)含報酬率新角解析公式法 1 (直線性方程式)理論依據(jù)。設(shè)凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著 直線性關(guān)系，有ai+bN=C成立，那么只要測算 出兩點(diǎn)A、(i，Ni)、B (i2, N2),就能得出凈

8、現(xiàn) 值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù) N=0時，求出 即內(nèi)含報酬率I的近似值，其解析圖形見圖示五。由A、B兩點(diǎn)知：A(i i， ABB(i 2,內(nèi)含報ai1 bN1 C ai2 bN2 C(5)(6)(5) - (6)得:a(ii-i2)+b(Ni-N2)=0b/a=-(i i-i2)/(Ni-N2)c/a=ii+Nib/a=ii-N1(ii-i2)/(Ni-N2)般式變?yōu)椋篿=c/a-Nb/a(8)(9)將(7)、(8)代入(9)得：i=ii-Ni(ii-i2)/(Ni-N2)+ (ii-i2)N/(Ni-N2)=ii+(Ni-N2)(ii-i2)/(Ni-N2)當(dāng)N=0時i=ii+Ni(ii-i

9、2)/(Ni-N2)(10)實(shí)例計算。為便于與“插值法”計算結(jié)果 對比，仍用以上例題，并選相應(yīng)的測蔗點(diǎn)代入計 算。(1) 取折現(xiàn)率分別為11%、12%的測試值代 入(10)式：i=11%+13.34 X(12%-11%)/13.34-(-1)=11%+13.34/1434=11.930265%(2) 取折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(10)式：i=10%+28.7 X(11%-10%)/(28.7-13.34) =10%28.7/1536=11.86849%(3) 取折現(xiàn)率分別為10%、14%的測試值代入(100式：i=10%+28.7X(14%-10%)/28.7-(-27.04)

10、=10%+0.0205956=12.05956%(4) 內(nèi)含報酬率新解一解析公式法2(反比例曲線性方程式)理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項(xiàng)公式(1)，假設(shè)折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關(guān)系可用以下反比例曲線方程式描述：N=a/（1+i）+b同樣，我們只要測試兩次，就可計算出內(nèi)含 報酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導(dǎo)如下：已知：A（ii，Ni）、B（i2、N2）兩點(diǎn)圖示六：B(i 2,(0，(11)(12)Ni a/(1 ii) bN2a/(1 i2) b由(11) - ( 12)得:Ni-N2=a(1+ii)-1-(1+i2)-1a=(Ni-N2)(1+ii)(1+i2)(i2-ii)-1(13)將(13)代

11、入(11)得:b=N1-(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1(14)當(dāng) N=0 時 ,l=-(a+b)/b(15)將(13)、(14)代入(15)得：i= (N1 N2)(1 i1)(1 i2)1 N1 (N12)(1 i2)(i2 h) 1N1 (N1 N2)(1 i2)/(i2 h)=i2N1(i1+1)-i1N2(i2+1)/N 1(i1+1)-N2(i2+1)實(shí)例計算(16)選折現(xiàn)率分別為11%、12%的測試值代入(16 )式(仍用插值法中舉例)12% 13.34 (11%1) 11%( 1) (12%1)13.34 (11%1)( 1) (12%1)i177.68

12、88 12.32100 (14.80741.12)= 190.00881592.74=11.92968%選折現(xiàn)率分別為10%、11%的測試值代入(16)式:14% 28.7 (10%1)10% 13.34 (11%1)28.7 (10%1)13.34 (11%1)i347.27 148.074100 (31.5714.8074)二囂二11。88336%選擇折現(xiàn)率分別為10%、14%的測試值代 入(佝式：14% 28.7(10%1)10% ( 27.04) (14%1)i28.7(10%1)( 27.04) (14%1)=441.98 312.36100 (31.5731.236)=754.34

13、/6280.6=12.01064%(5)三種方法計算結(jié)果比較以上三種方法取相同測試點(diǎn)的計算結(jié)果見下表:采用方法 與取點(diǎn)兩側(cè)近點(diǎn)測 試值同向測試 值兩側(cè)遠(yuǎn)點(diǎn) 測試值插值法 （或幾何 法）（以直 代曲）11.930265%11.86849%12.05956%解析公式法111.930265%11.86849%12.05956%（以 直代曲）解析公式法211.92968%11.88336%12.01064%（以 曲代曲）公式法2 與以上方 法計算結(jié) 果比較-5.85 W-51.487 10-4-4.892 10-4計算結(jié)果表明：1. “插值法”、“幾何法”、“解 析公式法1”，實(shí)質(zhì)都是以直代曲的比例法，計 算結(jié)果一致；1在以直代曲的計算中，測試值臨 近P點(diǎn)（內(nèi)含報酬率點(diǎn)）兩側(cè)時，救出的|>|， 而采用以曲代曲解析公式法2計算出的i小于用 以上各法計算出的內(nèi)含報酬率近似值，這說明公 式法2計算出的結(jié)果精確度高；3當(dāng)測試值取P 點(diǎn)同向一側(cè)時，以直代曲計算出的 i<l，而以曲 代曲計算出的內(nèi)含報酬率的近似值大于前幾法 求出的i值，這也同樣證明運(yùn)用