方程的近似解

1、 higher mathematics 綿陽師范學(xué)院三、一般迭代法 (補(bǔ)充) 第八節(jié)第八節(jié)的實(shí)根求方程0)(xf可求精確根無法求精確根求近似根兩種情形(有時(shí)計(jì)算很繁)本節(jié)內(nèi)容:一、根的隔離與二分法 二、牛頓切線法及其變形 方程的近似解方程的近似解 higher mathematics 綿陽師范學(xué)院一、根的隔離與二分法一、根的隔離與二分法，內(nèi)只有一個根在若方程,0)(baxf內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)）（在且baxf,)(為則稱,ba.其隔根區(qū)間,0)()(, ,)(bfafbacxf為隔根區(qū)間,ba(1) 作圖法 1. 求隔根區(qū)間的一般方法求隔根區(qū)間的一般方法 ;)(估計(jì)隔根區(qū)間的草圖由xfy 轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程

2、將0)(xfxoy)(xfy xoy.)(, )(的草圖估計(jì)隔根區(qū)間由xyxyab)()(xxab)(xy)(xy higher mathematics 綿陽師范學(xué)院(2) 逐步收索法逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由圖可見只有一個實(shí)根, )5 . 1, 1 (可轉(zhuǎn)化為.)5 . 1, 1 (即為其隔根區(qū)間,的左端點(diǎn)出發(fā)從區(qū)間ba以定步長 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(內(nèi)必有根，則區(qū)間hjajha搜索過程也可從 b 開始 , 取步長 h 0 .xoy213xy 1 xy higher mathematics 綿陽師范學(xué)

3、院1a1b2. 2. 二分法二分法，設(shè),)(bacxf，0)()(bfaf只有且方程0)(xf，一個根),(ba取中點(diǎn)，21ba1，若0)(1f.1即為所求根則，若0)()(1faf, ),(1a則根;,111baa令, ),(1b否則對新的隔根區(qū)間,11ba重復(fù)以上步驟,反復(fù)進(jìn)行,得,111bba令,11nnbababa的中點(diǎn)若取,nnba則誤差滿足)(211nnnab )(121abnab)(211nnnba ,的近似根作為0 n1a1b higher mathematics 綿陽師范學(xué)院例1. 用二分法求方程用二分法求方程04 . 19 . 01 . 123xxx的近似實(shí)根時(shí),要使誤差不

4、超過,103至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 ?解解: 設(shè) ,4 . 19 . 01 . 1)(23xxxxf),()(cxf則9 . 02 . 23)(2xxxf)067. 5(0,),()(單調(diào)遞增在xf又,04 . 1)0(f06 . 1) 1 (f故該方程只有一個實(shí)根 , 1,0為其一個隔根區(qū)間欲使)01 (1211nn310必需,100021n即11000log2n96. 8可見只要對分區(qū)間9次 ,即可得滿足要求的實(shí)根近似值10(計(jì)算結(jié)果見計(jì)算結(jié)果見“高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)”(上冊上冊) p177178) higher mathematics 綿陽師范學(xué)院二、牛頓切線法及其變形二、牛頓切線法及其變形:

5、)(滿足xf0)()(,) 1bfafba上連續(xù)在不變號及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(內(nèi)有唯一的實(shí)根在方程baxf有如下四種情況:xbayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff higher mathematics 綿陽師范學(xué)院牛頓切線法的基本思想牛頓切線法的基本思想:程的近似根 .記縱坐標(biāo)與)(xf 同號的端點(diǎn)為,)(,(00 xfx用切線近似代替曲線弧求方y(tǒng)xbao1x0 x在此點(diǎn)作切線 ,其方程為)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它與 x 軸的交點(diǎn), )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在點(diǎn))(,(11xfx作切

6、線 , 可得近似根.2x如此繼續(xù)下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x稱為牛頓迭代公式牛頓迭代公式 higher mathematics 綿陽師范學(xué)院牛頓法的誤差估計(jì):)()(111nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之間與在nx,0)(f)()(fxfxnn,0則得mxfxnn)(說明說明: 用牛頓法時(shí),若過縱坐標(biāo)與)(xf 異號的端點(diǎn)作切線 ,則切線與 x 軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)未必在.,內(nèi)ba)(min,xfmba記 higher mathematics 綿陽師范學(xué)院牛頓法的變形:(1) 簡化

7、牛頓法簡化牛頓法若用一常數(shù)代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用則得簡化牛頓迭代公式. 線代替切線,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n優(yōu)點(diǎn):，避免每次計(jì)算)(1nxf因而節(jié)省計(jì)算量.缺點(diǎn): 逼近根的速度慢一些. higher mathematics 綿陽師范學(xué)院yxo0 x1x(2) 割線法為避免求導(dǎo)運(yùn)算 , )(1nxf用割線代替切線,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替從而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(雙點(diǎn)割線法), 3,2(n特點(diǎn)特點(diǎn): 逼近根的速度快于簡化牛頓法, 但

8、慢于牛頓法.說明說明: 若將上式中,02xxn換為則為單點(diǎn)割線法, 逼近根的速度與簡化牛頓法相當(dāng). higher mathematics 綿陽師范學(xué)院例2. 用切線法求方程用切線法求方程074223xxx的近似解, 使誤差不超過 0.01 .解解:.742)(23xxxxf設(shè)yxo3 4由草圖可見方程有唯一的正實(shí)根 ,且9)4(,10)3(ff.43為一隔根區(qū)間，因此上，由于在43443)(2xxxf)2)(23(xx046)( xxf)23(2x0)(min4, 3xfm11)3( f higher mathematics 綿陽師范學(xué)院yxo3 4,40 x故取得)4()4(41ffx289

9、468. 3而mxfx)(111103. 109. 0，精度不夠故1x再求)68. 3()68. 3(68. 32ffx9 .2103. 168. 363. 3mxfx)(2211042. 001. 0004. 0因此得滿足精度要求的近似解63. 3 higher mathematics 綿陽師范學(xué)院三三. . 一般迭代法一般迭代法(補(bǔ)充), )(0)(xxxf 轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程將方程在隔根區(qū),0 x間內(nèi)任取一點(diǎn)按遞推公式),2, 1()(1nxxnn,nx生成數(shù)列,limnnx若則 即為原方程的根 .稱為迭代格式 ,)(稱為迭代函數(shù)x稱為迭代0 x,lim存在稱迭代收斂若nnx初值 .否則稱為

10、發(fā)散 . higher mathematics 綿陽師范學(xué)院例3. 用迭代法求方程用迭代法求方程.2, 1 013內(nèi)的實(shí)根在 xx解法解法1 將方程變形為, 13 xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取123nnx05 . 1375. 2396.12779.1903發(fā)散 !解法解法2 將方程變形為,13xx迭代格式為, 131nnxx5 . 10 x取12nnx05 . 135721. 133086. 17832472. 132472. 1迭代收斂 , 1.32472 為計(jì)算精度范圍內(nèi)的所求根 . higher mathematics 綿陽師范學(xué)院定理. :,)(上滿足在區(qū)間方程baxxbxaxx)()(1且，連續(xù)）1)()(2lxx且，存在），上有唯一解在方程）,)(1baxx nnnxxbax)(,210）(證