中學數學教育學概論

1、 蘇霍姆林斯基 帕夫雷什中學首先，意味著他是個熱愛孩子的人，第二，一個好老師應是精通他所教科目的那門科學的人，第三，一個好教師要是個懂得心理學和教育學的人，第四，一個好老師要精通某項技能，并且是這項技能的能手。數學教育的含義：1 廣義：傳播數學知識、數學技能的活動 2狹義：在中小學進行數學教學的活動數學教育學的含義：研究數學教育現象，揭示數學教育規(guī)律 “教什么、學什么”； “怎樣教、怎樣學”；“教得怎樣， 學得怎樣”以及相關的理論 數學教育學的特征：綜合學科、交叉學科（ 歷史性、發(fā)展性、實踐性） 數學教育學是一門年輕學科，但其歷史源遠流長 （1）歷史悠久 西方：“七藝”教育（文法、修辭、邏輯學

2、、算術、幾何、天文、音樂） 中國：“六藝”教育（禮、樂、射、御、書、數） （2）年輕學科：（約100年） 1908年，第四屆國際數學家大會，成立國際數學教育 委員會（ICMI） 1969年，法國里昂，第一屆國際數學教育大會我國的最初的數學教育研究學科稱“數學教授法”（1904）辛亥革命后改稱“數學教學法”，并逐漸形成獨立的學科案例分析：關于不等式性質的運用 已知 2x+y4, 1x-y2, 求4x-2y的范圍。 一學生的解答過程為： 解 +得 32x6, 所以 64x12. 又由得 -4-x-y-2, +得 -3-2y0 故由、得 34x-2y12 請你分析學生的錯誤原因,并給出正確解答。以上

3、解法是常見的錯解。此解法中，式說明了x的最大值是3，式說明了y的最大值是1.5，則x+y的最大值應是4.5，這顯然與已知中x+y的最大值是4.5，那么究竟錯在哪里呢？在解不等式或求變量范圍時，不能違背不等式的等價性原則。事實上，x+y與x-y中的x，y不是獨立的，而是相互制約的，只有x+y與x-y互不影響。因此，若將4x-2y用x+y與x-y線性表示，問題才能獲得正確結果。正確解答設4x-2y=m(x+y)+n(x-y)(m，n為待定系數)則4x-2y=(m+n)x+(m-n)y于是得m+n=4m-n=-2得到m=1n=34x-2y= (x+y)+3(x-y)2x+y4,1x-y2，5(x+y

4、)+3(x-y) 10，故54x-2y 10，學習數學教育學的意義：1、有利于提升數學教師的專業(yè)素養(yǎng)2、有利于促進學生數學的學習發(fā)展 3、有利于數學課程改革的有效實施數學教育是一門綜合學科、交叉學科：1研究領域的綜合性 2 理論來源的綜合性3研究方法的綜合性4數學教育是一門關于 數學、教育學、心理學的交叉學科。課程是指學校學生所應學習的學科總和及其進程與安排。廣義的課程是指學校為實現培養(yǎng)目標而選擇的教育內容及其進程的總和，它包括學校老師所教授的各門學科和有目的、有計劃的教育活動。狹義的課程是指某一門學科。國際課程改革的共同特征： 選擇性、現代性、創(chuàng)新性、人文性我國基礎教育的優(yōu)勢與不足：優(yōu)勢：

5、中小學生學習勤奮，基本功扎實，基礎知識和基本技能熟練，等等（表現：國際評價中成績優(yōu)秀）問題與不足： 1 過分重視知識的傳授，忽視學生學習興趣和態(tài)度的培養(yǎng)。2課程內容繁、難、偏、舊和過于注重書本知識的現狀，過分重視學科體系，忽視課程內容與學生生活以及現代社會發(fā)展的聯(lián)系。3 過分強調接受學習、模仿訓練，忽視學生的主動探索和合作交流，忽視學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。4過分強調評價的甄別和選拔作用，忽視對學生縱向發(fā)展的關注。5學生的負擔較重.全日制義務教育數學課程標準（2011版）介紹基本出發(fā)點：促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展?；纠砟?（1） 數學課程應致力于實現義務教育階段的培養(yǎng)目標，面向全體學生，適應學

6、生個性發(fā)展的需要，使得：1人人都能獲得良好的數學教育。2不同的人在數學上得到不同的發(fā)展2.課程內容要反映社會的需要、數學特點，要符合學生的認知規(guī)律。（2）數學課程的內容“應當是現實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內容要有利于學生主動的進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流。（3）教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。數學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上（4） 評價應幫助學生認識自我，建立信心. 評價的主要目的是為了全面了解學生的數學學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學.應建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系 有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，

7、學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。（5）信息技術的發(fā)展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響。數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合，注重實效。內容解讀：學段：通盤考慮義務教育階段九年的課程內容，根據兒童發(fā)展的生理、心理特征，將九年的學習時間劃分為三個學段。 第一學段 13年級第二學段 46年級第三學段 79年級 目標：四個方面：知識技能，數學思考，問題解決，情感態(tài)度。知識技能：獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。數學思考、問題解決：體會數學知識之間、數學與

8、其他學科之間、數學與生活之間的聯(lián)系，運用數學的思維方式進行思考，增強發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。情感態(tài)度：了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度。課程實施義務教育階段的數學課程是培養(yǎng)公民素質的基礎課程，具有基礎性、普及性和發(fā)展性。普通高中教育的定位和培養(yǎng)目標：普通高中教育是在九年義務教育基礎上進一步提高國民素質、面向大眾的基礎教育，普通高中教育應為學生的終身發(fā)展奠定基礎。課程的總體目標：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養(yǎng)，以滿足個人發(fā)展與社會進步的需要。必修5個模塊，選修

9、系列1 有2個模塊，系列2有3個模塊，系列3有6個專題；系列4有10個專題課程的具體目標：知識與技能； 過程與方法； 情感態(tài)度價值觀。弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數學教育之父” 創(chuàng)辦了數學教育研究雜志，主要數學教育觀點“現實數學教育”理論，現實數學教育理論具有五個基本特征：1情景問題是教學的平臺：2 數學化是數學教育的目標；3學生通過自己努力得出的結論和創(chuàng)造是教育內容的一部分；4“互動”是主要的學習方式；5學科交織是數學教育內容的呈現方式。概括為：數學現實，數學化，再創(chuàng)造數學現實不同于客觀現實，而是學生從現實中抽象、整理出來的數學知識及其現實背景的總和。人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運

10、用數學的思想方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程即數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化，是一個由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過程。學生“再創(chuàng)造”學習數學的過程實際上就是一個“做數學”(doing mathematics)的過程。其核心是數學過程再現。數學學習是一個經驗、理解和反思的過程，強調以學生為主體的學習活動對學生理解數學的重要性，強調激發(fā)學生學生主動學習，做數學是學生理解數學的重要途徑。波利亞的數學教育觀：1.數學教育的根本目的： 1）“教會學生思考”傳授知識，努力發(fā)展學生運用所學知識的能力，強調技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習慣。主動學習盡量讓學生

11、在現有條件下親自發(fā)現盡可能多的東西。最佳動機激發(fā)學生在學習中的好奇心，并尋求歡樂。循序漸進從行動與感知開始，發(fā)展到詞語與概念，養(yǎng)成合理的思維習慣。解題理論：弄清問題，擬定計劃，實現計劃，回顧。廣義：學習是人和動物所共有的一種心理活動，是指經驗的獲得以及比較持久的行為變化。狹義：僅指人類的學習。行為主義對學習的解釋是強調可觀察行為的獲得，個體學到什么，怎么學習的都是環(huán)境刺激決定的。桑代克的嘗試與錯誤學習說，斯金納的操作性條件反射學習說 認知主義強調學習是獲得知識、形成認知結構的過程。格式塔學派、布魯納、奧蘇伯爾格式塔心理學也稱為完形心理學，其學習理論又稱“頓悟說”。這一理論認為，學習是知覺的重新

12、組織，而知覺經驗變化的過程不是漸進的嘗試與錯誤的過程，而是突然領悟的，且知覺起源于整體。 布魯納的認知結構學習論：學習的實質是學生主動地形成認知結構的過程。學生的認知學習就是獲得知識結構的過程。奧蘇泊爾的認知學習論：學習的實質是學習者利用原有認知結構中與新學習知識有關的觀念去同化新知識，將知識納入認知結構，并對其進行改組和再構，形成新的認知結構的過程。遷移的分類：從影響的作用來說，可分為正遷移和負遷移從影響方向來劃分，分為順向遷移和逆向遷移在數學學習中，應根據遷移的規(guī)律，充分發(fā)揮正遷移的促進作用，防止或減少負遷移的干擾作用 學生學習主要指在教育情境中，以掌握一定的系統(tǒng)科學知識技能、社會活動規(guī)范

13、和行為準則等為基本任務，有目標、按計劃在一定組織形式下進行的比較持久的行為變化過程。學生學習的特點 1、以系統(tǒng)掌握間接經驗為主，是在人類發(fā)現基礎上的再發(fā)現；2、是在教師的指導下依據一定的課本教材進行的；3、目的是為今后進一步學習和發(fā)展奠定基礎；4、受規(guī)定的學制時間限制數學的特點：抽象性、嚴謹性、廣泛的應用性數學學習的特點 1、學生的數學學習是數學知識“再發(fā)現”的學習。2、學生的數學學習需要教師的“點拔”和“引導”。3、學生的數學學習需要較強的抽象概括能力與邏輯思維能力。影響學生數學學習的因素（內部因素，外部因素）內部因素：1智力因素2非智力因素外部因素：1教學因素2環(huán)境因素3學法因素智力是一種

14、綜合的認識能力，它包括注意力、觀察力、記憶力、想象力和思維力5個基本因素，抽象思維能力是智力的核心，創(chuàng)造力是智力的最高表現。非智力因素，它主要包括動機、興趣、意志、情感和性格等。研究表明，學生的學業(yè)成就與智力因素具有中等程度相關，而非智力因素對學生成才起決定作用。在學習活動中，智力因素邏輯基本規(guī)律：同一律，矛盾律，排 中律，充足 理由律數學概念是反映客觀事物空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式，它反映的是一類具有共同屬性的事物（能區(qū)別于其他事物）的全體。數學概念是用數學語言表達的，主要表達形式是詞語和符號。內涵：數學概念所反映對象的本質屬性的總和，是概念在質的方面的反映，說明概念所反映的事物

15、是什么。 外延：數學概念所反映的全部對象，是概念在量方面的反映，說明概念所反映事物的范圍數學概念的內涵和外延相互聯(lián)系、互相依賴，給定一個概念，意味著就確定了它的內涵和外延。 概念的內涵和外延之間遵循著反變關系概念間的關系分為相容關系和不相容關系。相容關系：1同一關系：正三角形、等邊三角形2交叉關系：矩形、菱形 3屬種關系：有理數、實數不相容關系：1對立關系： 質數、合數（整數范圍內）2矛盾關系：有理數、無理數（實數范圍內）概念的定義就是揭示一個概念的內涵或外延的邏輯方法。所謂定義概念，就是準確地揭示一個概念的內涵或外延，使概念具有確定的內容和含義。定義一般由被定義項（DS）、定義項（DP）和定

16、義聯(lián)項三部分組成。其中，被定義項是指要求給予明確的概念；定義項是指用來明確被定義項的概念；定義聯(lián)項是指用來聯(lián)接定義項和被定義項的詞語。屬加種差的定義 ：被定義項=鄰近的屬+種差發(fā)生式定義：發(fā)生式定義是屬加種差定義的一種特殊形式。這是以被定義概念所反映的對象產生或形成的過程作為種差下定義的方式。關系定義。關系定義是屬加種差定義的另一種特殊形式。這是以被定義概念所反映的對象之間的關系作為種差下定義的方式。如偶數的定義：“偶數是能被2整除的數，”就是關系定義。外延定義。外延定義就是通過揭示外延，明確被定義項概念所反映對象的全體范圍的定義方式。 例如：正、負整數，正、負分數和零統(tǒng)稱為有理數。有理數和無

17、理數統(tǒng)稱為實數。約定式定義。語詞定義。遞歸定義。定義規(guī)則：定義要相稱。定義不能循環(huán)。 定義一般不用否定形式。定義應當簡明、確切，完整。概念的劃分規(guī)則：1劃分應當是相稱的。2每次劃分都應按同一標準進行。3劃分不應越級。推理合情推理燃情推理歸納部分到一般，特殊到一般類比（特殊到特殊）演繹推理必然性推理-三段論（一般到特殊）這種由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物也具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，通常稱為歸納推理（簡稱歸納）簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。歸納推理的一般步驟： 對某類事物的部分對象(有限的資料)進行觀察、分析、整理； 提出猜想；

18、檢驗猜想 這種由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； 檢驗猜想(通過證明確認猜想的正確性,或舉出反例否定猜想)歸納推理、類比推理統(tǒng)稱為合情推理，合情推理的結論不一定正確。演繹推理的形式正確，大前提錯誤，結論也是錯誤的演繹推理的含義：從一個一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理方法叫做演繹推理，它是一種由一般到特殊的推理過程，是一種必然性推理演繹推理

19、的前提與結論之間有蘊涵關系，因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但是錯誤的前提可能導致錯誤的結論“三段論”推理是演繹推理的一般模式， 它包括：大前提：已知的一般性推理小前提：所研究的特殊情況結論：根據一般原理，對特殊情況做出的判斷也可表示為： 大前提:M是P，小前提：S是M，結論：S是P用集合的知識可以理解為：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：從定義上看：合情推理：前提為真，結論可能為真的推理演繹推理：根據一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理從定義上可以看出，合情推理與演繹

20、推理的區(qū)別是結論是否為真合情推理的結論可能為真，但演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，其結論必定為真故在數學論證中，證明命題的正確性，都是用演繹推理，而合情推理不能用作證明從推理形式上看：合情推理是由特殊到一般（歸納推理），或由特殊到特殊（類比推理）的認識過程，而演繹推理是由一般到特殊的認識過程 聯(lián)系：二者相輔相成，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的思維過程，但數學結論、證明思路等的發(fā)現，主要靠合情推理 證明直接證明綜合法分析法數學歸納法間接證明-反證法綜合法：一般地，利用已知條件和某些已經學過的定義、公理、定理等，經過一系列的推理、論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做

21、綜合法 。分析法：一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法數學歸納法是一種特殊的證明方法，主要用于證明與正整數有關的數學命題。特點：通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數的情形數學能力是順利完成數學活動所必須具備的，直接影響數學思維活動效率的一種個性心理特征。它是在數學活動過程中形成和發(fā)展起來的，并在這類活動中表現出來比較穩(wěn)定的心理特征。 學校的主要教學原則有1科學性和思維性統(tǒng)一原則2因材施教原則3理論聯(lián)系實際的原則4直觀性原則5循序漸進原

22、則中學數學教學的基本原則：嚴謹性與量力性相結合原則，抽象與具體相結合原則，啟發(fā)性與探索性相結合原則，理論與實踐相結合原則，鞏固與發(fā)展相結合原則數學的嚴謹性，是指數學具有很強的邏輯性和較高的精確性，即邏輯的嚴格性和結論的確定性 量力性是指學生的可接受性在數學教學中既要關注教學理論與教學實際的結合，也要關注數學理論與數學實際的結合。中學數學教學模式幾種基本教學模式：講授式，探究式，合作交流式，指導自學式講授式教學模式是數學教學的基本模式，是一種以教師系統(tǒng)講授為主的課堂教學模式主要實施程序為：組織教學；導入新課；講授新課；鞏固練習和布置作業(yè)優(yōu)缺點：（1）優(yōu)點： 能保證教師傳授知識的系統(tǒng)性，主動性與連

23、貫性，易于控制課堂教學，充分利用時間（2）缺點：學生處于被動狀態(tài)，不利于培養(yǎng)學生自學習慣和獨立思考能力，搞不好會變成注入式滿堂灌。 探究式模式也稱為“引導發(fā)現”式，其主要目標是學習發(fā)現問題的方法，培養(yǎng)、提高創(chuàng)造性思維能力。模式程序：其突出的幾個特點： 1主體性（學生）引導性（教師）2情景性（實驗）探究性（原理）3建構性（認知）合作交流模式 其突出的幾個特點：1 討論交流的民主性（師生平等）2 好的話題（“一石激起千層浪”） 討論交流的開放性（蘋果交換，雙方仍是一個蘋果；思想交換，雙方各有兩種思想） 指導自學模式其策略為：“先學后教，先練后講，教師指導，學生自學”。其突出的幾個特點：1、有合適的

24、學習任務和明確的學習目標2、教師有效的指導3·體現自主學習的策略4、對數學自學的監(jiān)控5、教、學的有序性當前我國數學教學模式的發(fā)展趨勢：1教學模式的理論基礎進一步加強；2數學教學模式由“以教師為中心”，逐步轉向更多“學生參與”；3現代教育技術成為改變傳統(tǒng)教學模式的一個突破口；4教學模式由單一化走向多樣化和綜合化；5研究性學習列入課程以后，隨著“創(chuàng)新教育”的倡導，探究和發(fā)現的數學教育模式將會有一個大的發(fā)展廣義的數學問題是指在數量關系和空間形式中出現的困難和矛盾。狹義的數學問題則是已經明顯地表示出來的題目，用命題的形式加以表述， 包括證明類問題，求解類問題等。 傳統(tǒng)的數學題的特征：接受性、

25、封閉性和確定性體現“問題解決”的數學問題類型：1、可以構建模型的非常規(guī)的實際問題，2、探究性問題 ，3、開放性問題 ，4、情景性問題問題解決是指綜合地、創(chuàng)造性地運用各種數學知識去解決那種非單純練習題式的問題，包括實際問題和源于數學內部的問題。數學問題解決的教育意義：學數學應該是“做數學”，即讓學生通過問題解決來學習數學。 以“問題解決”作為數學教育的中心，則是應當努力幫助學生學會“數學地思維”。問題解決教學的策略1.創(chuàng)設問題情景，選擇好問題；2.形成知識組塊，優(yōu)化認知結構；3.加強數學思維解題策略訓練，注意及時反饋；4.引導學生開展探索活動。 以習題演練為基礎，以問題解決為主導”一般的課堂教學

26、都包括五個環(huán)節(jié)：復習思考、創(chuàng)設情境、探究新課、鞏固反思以及小結練習等。 （常規(guī)課堂教學模式教學重點，教學難點是指學生接受起來比較困難的知識點n 教學目標有遠期目標,近期目標,過程性目標 新課標：知識技能目標，方法能力目標，情感 態(tài)度目標教案的主要項目和要求（1）課題（2）課型（2）教學目標 （3）教學重點和難點（4）教學方法（4）課時安排 （5）教法與教具 （6）教學過程（步驟）（7）板書設計和課后分析 常規(guī)數學教學的基本結構有復習、引入、 講授、鞏固和布置作業(yè)等幾個基本步驟1直接導入 2以舊引新導入3懸念導入4問題導入5類比導入6練習導入7實例導入導入設計的基本要求1、導入目標要明確2、導入

27、要具有趣味性3、導入要具有啟發(fā)性4、導入要遵循簡潔性教學情境的類型：1、問題情境2、故事情境 3、活動情境4實驗情境5、競爭情境數學問題的教學設計好的數學問題的特點： 探索性、現實性、趣味性、開放性、拓展性數學提問的設計的功能：a.反饋調控功能b.引發(fā)動機、激活思維的功能c.強化鞏固功能d.培養(yǎng)能力的功能數學例題的功能： 引入新知識、解題示范、加深理解、提高能力等數學例題的選擇：目的性、典型性、示范性、啟發(fā)性、科學性、變通性和有序性。課堂練習一般可分為如下類型：導入性練習，理解性練，鞏固知識的基礎練習，應用性練習，綜合性練習，形成性檢測練習設計數學練習應遵循以下幾個原則：目的性，針對性，層次性

28、，系統(tǒng)性，精練性，多樣性數學課堂小結常見類型：總結根據式小結，比較異同式小結，提示規(guī)律式小結，延伸發(fā)展式小結所謂說課，一般地說就是讓教師以語言為主要表述工具，在備課的基礎上，面對同行、專家，系統(tǒng)而概括地解說自己對具體課程的理解，闡述自己的教學觀點，表述自己具體執(zhí)教某課題的教學設想、方法、策略以及組織教學的理論依據等，然后由大家進行評說。說課活動由兩部分組成，依次為解說和評說。重點在解說，它要闡明的問題是教什么、怎樣教和為什么要這樣教及其理論依據。評說則是針對解說而進行的評議、交流和研討。說課是對課程的理解、備課的解說、上課的反思。說課的內容：1說教材，2說學生，3說教法與學法，4說教學流程，5說板書及評價標準. 1說教材（1）教材簡析。（2）明確提出本課時的具體教學目標。（3）說清本課教學重點、難點。2.說學生（1）學生知識基礎和生活經驗。（2）起點能力分析。（3）學生年齡上的心理特點。（4）學生學習上的差異。教師應抓住備課中備教材與備學生的結合點，結合點包括新知識點、新舊知識連結點、興奮點、創(chuàng)新點。3.說教法與學法：說教法可以理解為教學方式，或者教學方法中某個具體的教學方式和手段的選擇及應用。說學法不能停留在介紹學習方法這一層面上，要把主要精力放在解說如何實