導數(shù)的概念及運算

1、要點梳理要點梳理1.1.導數(shù)的概念導數(shù)的概念 設函數(shù)設函數(shù)y y= =f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上有定義上有定義, ,x x0 0(a a, ,b b),),若若 x x無限趨近于無限趨近于0 0時時, ,比值比值 = = 無限趨近于一個常數(shù)無限趨近于一個常數(shù)a a, ,則稱則稱f f( (x x) )在在x x= =x x0 0處可導，并處可導，并 稱該常數(shù)稱該常數(shù)a a為函數(shù)為函數(shù)f f( (x x) )在在x x= =x x0 0處的導處的導數(shù)數(shù), ,記作記作_._.2.92.9 導數(shù)的概念及運算導數(shù)的概念及運算基礎知識基礎知識 自主學習自主學習x

2、yxxfxxf)()(00 f f(x x0 0) )2.2.導函數(shù)導函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y y= =f f( (x x) )在開區(qū)間在開區(qū)間( (a a, ,b b) )內每一點都可導內每一點都可導, ,就就 說說f f( (x x) )在開區(qū)間在開區(qū)間( (a a, ,b b) )內可導，其導數(shù)也是開區(qū)間內可導，其導數(shù)也是開區(qū)間 ( (a a, ,b b) )內的函數(shù)，又稱作內的函數(shù)，又稱作f f( (x x) )的導函數(shù)的導函數(shù), ,記作記作_ 或或_._.3.3.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在在x x0 0處的導數(shù)處的導數(shù) 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的導函數(shù)的導函數(shù)f f(

3、x x) )在在x x= =x x0 0處的函數(shù)值處的函數(shù)值_ 即為函數(shù)即為函數(shù)f f( (x x) )在在x x0 0處的導數(shù)處的導數(shù). .4.4.導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 (1)(1)設函數(shù)設函數(shù)f f( (x x) )在在x x0 0處可導處可導, ,則它在該點的導數(shù)等于則它在該點的導數(shù)等于 函數(shù)所表示的曲線在相應點函數(shù)所表示的曲線在相應點mm( (x x0 0，y y0 0) )處的處的_ _. _.f f( (x x) )y yf f(x x0 0) )切線的切線的斜率斜率 (2) (2)設設s s= =s s( (t t) )是位移函數(shù)，則是位移函數(shù)，則s s(t t0 0)

4、)表示物體在表示物體在t t= =t t0 0 時刻的時刻的_._. (3) (3)設設v v= =v v( (t t) )是速度函數(shù)，則是速度函數(shù)，則v v(t t0 0) )表示物體在表示物體在t t= =t t0 0 時刻的時刻的_. _. 5.5.常用的導數(shù)公式常用的導數(shù)公式 c c= _(= _(c c為常數(shù)為常數(shù)); (); (x xm m)=)= _(_(m mq q);); (sin (sin x x)=_; ()=_; (coscos x x)=_;)=_; (e (ex x)=_; ()=_; (a ax x)=_()=_(a a00且且a a1);1); ( (lnln

5、x x)= ;)= ; ( (logloga ax x)= = ()= = (a a00且且a a1). 1). x1elogax1axln10 0mxmxm m-1-1-sin -sin x xcoscos x xe ex xa ax xlnln a a瞬時速度瞬時速度瞬時加速度瞬時加速度6.6.導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則 f f( (x x) )g g( (x x)=)=f f(x x) )g g(x x),), cfcf( (x x)=)=cfcf(x x)()(c c為常數(shù)為常數(shù)),), f f( (x x) )g g( (x x)=)=f f(x x) )g g( (x x)+)+

6、f f( (x x) )g g(x x),),7.7.復合函數(shù)求導的運算法則復合函數(shù)求導的運算法則 一般地一般地, ,設函數(shù)設函數(shù) 在點在點x x處有導數(shù)處有導數(shù) 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (u u) )在在u u處有導數(shù)處有導數(shù) = =f f(u u),),則復合函數(shù)則復合函數(shù) 在點在點x x處也有導數(shù)處也有導數(shù), ,且且 =_= =_= _. _.)(xu ),(xu )(xfy )()(xuf ).)()()()()()()()(02 xgxgxgxfxgxfxgxfxuuy uy xy基礎自測基礎自測1.1.函數(shù)函數(shù)y y= =x xcoscos x x-sin -sin x x的

7、導數(shù)為的導數(shù)為_._. 解析解析 y y=(=(x xcoscos x x)-(sin )-(sin x x) = =x xcoscos x x+ +x x(cos(cos x x)-cos)-cos x x = =coscos x x- -x xsinsin x x-cos-cos x x=-=-x xsinsin x x. . 2.2.若若f f(x x0 0)=2,)=2,則當則當k k00時時, =_. , =_. 解析解析- -x xsinsin x xkxfkxf2)()(00.)( )()(lim)()(lim1212120000000 xfkxfkxfkxfkxfkk-1-13

8、.3.若函數(shù)若函數(shù)y y= =f f( (x x) )在在r r上可導且滿足不等式上可導且滿足不等式x x f f(x x) ) - -f f( (x x) )恒成立恒成立, ,且常數(shù)且常數(shù)a a, ,b b滿足滿足a a b b，則下列不等式不，則下列不等式不 一定成立的是一定成立的是_(_(填序號填序號).). af af( (b b)bf bf( (a a) ) af af( (a a)bf bf( (b b) ) af af( (a a)bf bf( (b b) ) af af( (b b)0.)0. g g( (x x) )在在r r上為增函數(shù)上為增函數(shù), , g g( (a a)g

9、 g( (b b),),即即af af( (a a)bf bf( (b b). ). 4.4.(2009(2009遼寧遼寧) )曲線曲線 在點在點(1,-1)(1,-1)處的切線方處的切線方 程為程為_._. 解析解析 所以切線方程為所以切線方程為y y+1=-2(+1=-2(x x-1),-1),即即y y=-2=-2x x+1. +1. 2 xxy,)()()( ,)(22222212111 xxxxxff.)()(221212 f所以所以y y=-2=-2x x+1+1【例例1 1】利用導數(shù)的定義求函數(shù)】利用導數(shù)的定義求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù). . 先求先求y y, ,再求再求 最后求最后求

10、 解解典型例題典型例題 深度剖析深度剖析xy.limxyx0 xy1 .,lim,)()(23230222212121111 xyxxxxyxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxyx即即分析分析跟蹤練習跟蹤練習1 1 利用導數(shù)的定義利用導數(shù)的定義, ,求出函數(shù)求出函數(shù) 的導的導 數(shù)數(shù), ,并據(jù)此求函數(shù)在并據(jù)此求函數(shù)在x x=1=1處的導數(shù)處的導數(shù). . 解解xxy1 .|,)(limlim,)(,)()()(01111111111121200 xxxyxxxxxyyxxxxyxxxxxxxxxxxy【例例2 2】(2010(2010蘇州月考蘇州月考) )求下列各函數(shù)的導數(shù)求下列各函數(shù)

11、的導數(shù) (1)(1) (2) (2)y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3+3);); (3) (3) (4) (4) 利用常見函數(shù)的導數(shù)及求導法則利用常見函數(shù)的導數(shù)及求導法則. . 解解;sin25xxxxy );cos(sin42122xxy .xxy 1111.cossin)sin()()(,sinsin)(xxxxxxxxxxyxxxxxxxxy2322523232323252123231 分析分析(2)(2)方法一方法一 y y=(=(x x2 2+3+3x x+2)(+2)(x x+3+3) )= =x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+

12、6+6, ,y y=3 3x x2 2+12+12x x+11+11. .方法二方法二y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3+3)=(=(x x+1)(+1)(x x+2)+(+2)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2+2) ) =(=(x x+2+2+x x+1)(+1)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2+2) )=(=(2 2x x+3)(+3)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x

13、 x+2+2) )= =3 3x x2 2+12+12x x+11+11. . .)()()()(,)()(.cos)(sin)sin(,sin)cos(sin)(2212112121211111111421212121223xxxxyxxxxxxxyxxxyxxxy 跟蹤練習跟蹤練習2 2 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù) (1)(1)y y= =x x2 2sinsin x x; ; (2) (2)y y= =3 3x xe ex x-2-2x x+e+e; ; (3) (3) (4) (4)y y= =sinsin3 32 2x x. . 直接利用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求導直接利用導數(shù)公

14、式和導數(shù)運算法則求導. . 解解 (1)(1)y y=(=(x x2 2)sin)sin x x+ +x x2 2(sin(sin x x) = =2 2x xsinsin x x+ +x x2 2coscos x x; ; 分析分析;ln12 xxy(2)(2)y y=(=(3 3x xe ex x)-(2)-(2x x)+(e)+(e)=(=(3 3x x)e)ex x+3+3x x(e(ex x)-(2)-(2x x)= =3 3x xlnln 3e3ex x+3+3x xe ex x-2-2x xlnln 2 2=(=(lnln 3+1)(3e)3+1)(3e)x x-2-2x xln

15、ln 2. 2.(4)(4)y y=3(sin3(sin 2 2x x) )2 2(sin(sin 2 2x x)=)=6sin6sin2 22 2x xcoscos 2 2x x. . ;)(ln)(ln)()()(ln)()(ln)(2222222222212112111113 xxxxxxxxxxxxxxxy【例例3 3】(2009(2009江蘇江蘇) )在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoyxoy中中, ,點點p p 在曲線在曲線c c: :y y= =x x3 3-10-10 x x+3+3上上, ,且在第二象限內且在第二象限內, ,已知曲線已知曲線 c c在點在點p p處的切線斜率

16、為處的切線斜率為2,2,則點則點p p的坐標為的坐標為_._. 解析解析 設設p p( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 00),0)0)的一條切線的一條切線, ,則實數(shù)則實數(shù)b b=_.=_. 解析解析 ( (lnln x x)= )= 得得x x=2,=2,故切點坐標為故切點坐標為( (2,ln2,ln 2), 2), 將其代入直線方程將其代入直線方程, ,得得 所以所以b b= =lnln 2-1. 2-1. bxy 21lnln 2-1 2-1,2111 xx令令,lnb 2212【例例4 4】(14(14分分) )已知曲線已知曲線 (1)(1)求曲線在求曲線在x x=

17、2=2處的切線方程處的切線方程; ; (2) (2)求曲線過點求曲線過點(2,4)(2,4)的切線方程的切線方程. . (1)(1)由題意知切點為由題意知切點為(2,4),(2,4),則在則在(2,4)(2,4)處的切處的切 線可求線可求. . (2) (2)過點過點(2,4)(2,4)的切線中的切線中,(2,4),(2,4)可能為切點可能為切點, ,也可能也可能 為另外一條切線與曲線的交點為另外一條切線與曲線的交點. . 解題示范解題示范 解解 (1)(1)y y=x x2 2, , 在點在點p(2,4)p(2,4)處的切線的斜率處的切線的斜率k k= =y y|x x=2=2=4.=4.

18、曲線在點曲線在點p p(2,4)(2,4)處的切線方程為處的切線方程為y y-4=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0. 4-4=0. 4分分 .34313 xy分析分析(2)(2)設曲線設曲線 與過點與過點p p(2,4)(2,4)的切線相切于點的切線相切于點 則切線的斜率則切線的斜率切線方程為切線方程為 88分分 點點p p(2,4)(2,4)在切線上在切線上, ,(x x0 0+1)(+1)(x x0 0-2)-2)2 2=0,=0,解得解得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2, 10=2, 10分分 故所求的切線方程為故所求的切線方程為4

19、4x x- -y y-4=0-4=0或或x x- -y y+2=0. 14+2=0. 14分分 34313 xy),(3431300 xxa.| 200 xykxx ),()(020303431xxxxy .34323020 xxxy即即,3432243020 xx,)()(,01141044043000202020302030 xxxxxxxxx即即跟蹤練習跟蹤練習4 4 若直線若直線y y= =kxkx與曲線與曲線y y= =x x3 3- -3 3x x2 2+2+2x x相切，則相切，則 k k=_.=_. 解析解析 y y= =x x3 3- -3 3x x2 2+2+2x x, ,

20、 y y=3=3x x2 2-6-6x x+2.+2. 直線和曲線均過原點直線和曲線均過原點, , 當原點是切點時當原點是切點時, ,切線斜率切線斜率k k= =y y|x x=0=0=2,=2, 當原點不是切點時當原點不是切點時, ,設切點為設切點為p p( (x x0 0, ,y y0 0),),其中其中x x0 00, 0, 則切線的斜率則切線的斜率 .00 xyk ,|2630200 xxykxx又又又又切點切點p p( (x x0 0, ,y y0 0) )在曲線上在曲線上, ,. 26302000 xxxy.,.|.,.4124123023263232300020300203002

21、0300 kkykxxxxxxxxxxxyx或或綜上所綜上所述由于由于高考中主要以填空題的形式考查求導數(shù)的基本公式高考中主要以填空題的形式考查求導數(shù)的基本公式和法則和法則, ,以及導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)的幾何意義; ;有時也以解答題的形式有時也以解答題的形式出現(xiàn)出現(xiàn), ,即以導數(shù)的幾何意義為背景設置成導數(shù)與解析即以導數(shù)的幾何意義為背景設置成導數(shù)與解析幾何的綜合題幾何的綜合題. . 1.1.結合實際背景理解變化率、導數(shù)的概念結合實際背景理解變化率、導數(shù)的概念, ,導數(shù)的實導數(shù)的實 質是函數(shù)平均變化率的極限質是函數(shù)平均變化率的極限, ,即瞬時變化率即瞬時變化率. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提

22、高高考動態(tài)展望高考動態(tài)展望方法規(guī)律總結方法規(guī)律總結2.2.要深刻理解導數(shù)的定義要深刻理解導數(shù)的定義, ,會用定義解題會用定義解題. . 3.3.在導數(shù)與切線斜率的對應關系中體會數(shù)形結合的思在導數(shù)與切線斜率的對應關系中體會數(shù)形結合的思 想方法想方法. .4.4.熟記幾個常用函數(shù)的求導公式熟記幾個常用函數(shù)的求導公式, ,提高運算速度和準提高運算速度和準 確率確率. .5.5.熟練積商的求導法則熟練積商的求導法則, ,不可混淆不可混淆. .6.6.函數(shù)解析式較復雜的函數(shù)解析式較復雜的, ,可以化簡的要先化簡再求導可以化簡的要先化簡再求導. .7.7.復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導, ,必須搞清復合層次必須

23、搞清復合層次, ,不能有漏掉的環(huán)不能有漏掉的環(huán) 節(jié)，要適當選取中間量，弄清每一步對哪個變量求節(jié)，要適當選取中間量，弄清每一步對哪個變量求 導導, ,用什么公式求導用什么公式求導. . 一、填空題一、填空題1.1.(2009(2009廣東東莞模擬廣東東莞模擬) )曲線曲線y y= =x x3 3-1-1在在x x=1=1處的切線處的切線 方程為方程為_._. 解析解析 y y=f f(x x)=3)=3x x2 2, , f f(1)=3,(1)=3,切點為切點為(1,0),(1,0), 切線方程為切線方程為y y=3(=3(x x-1),-1),即即3 3x x- -y y-3=0. -3=0

24、. 3 3x x- -y y-3=0-3=0定時檢測定時檢測2.2.(2010(2010徐州模擬徐州模擬) )已知已知f f( (x x)=)=x x2 2+2+2xf xf(1(1),),則則f f(0) (0) =_. =_. 解析解析 f f(x x)=)=2 2x x+2+2f f(1(1),), f f(1)=2+2(1)=2+2f f(1),(1),即即f f(1)=-2,(1)=-2, f f(x x)=2)=2x x-4,-4,f f(0)=-4.(0)=-4.3.3.(2009(2009江蘇姜堰中學、如皋中學、淮陰中學、前江蘇姜堰中學、如皋中學、淮陰中學、前 黃中學四校聯(lián)考黃

25、中學四校聯(lián)考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x xeex x, ,則則f f(0)=(0)= _. _. 解析解析 f f(x x)=()=(x xeex x)=)=e ex x+ +x xe ex x,f f(0(0)=1. )=1. -4-41 14.4.(2010(2010江蘇常熟檢測江蘇常熟檢測) )設設p p為曲線為曲線c c：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上上 的點的點, ,且曲線且曲線c c在點在點p p處切線傾斜角的取值范圍為處切線傾斜角的取值范圍為 則點則點p p橫坐標的取值范圍為橫坐標的取值范圍為_._. 解析解析 切線的斜率切線的斜率k k

26、=tan =tan tantan 0,tan0,tan =0,1. =0,1. 設切點為設切點為p p( (x x0 0, ,y y0 0),),于是于是 x x0 0,404.,211 ,211 ,|2200 xykxx5.5.(2009(2009山東濟寧第一次月考山東濟寧第一次月考) )曲線曲線y y= = 在點在點(4, (4, e e2 2) )處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為_._. 解析解析 曲線在曲線在(4,e2)(4,e2)點處的切線方程為點處的切線方程為 切線與坐標軸交點分別是切線與坐標軸交點分別是(0,-e(0,-e2 2),(2,0),

27、),(2,0), 則切線與坐標軸圍成的三角形面積則切線與坐標軸圍成的三角形面積x21e.e| ,e2421221 xxyy.e|e|22221 s),(ee42122 xy2e6.6.（20102010廣東四校聯(lián)考）廣東四校聯(lián)考）設設f f0 0( (x x)=sin )=sin x x，f f1 1( (x x)= )= f f0 0(x x),),f f2 2( (x x)=)=f f1 1(x x),),f fn n+1+1( (x x)=)= , ,n nn n, ,則則 f f2 0102 010( (x x)=_.)=_. 解析解析 f f1 1( (x x)=(sin )=(si

28、n x x)=)=coscos x x, , f f2 2( (x x)=()=(coscos x x)=-sin )=-sin x x, , f f3 3( (x x)=(-sin )=(-sin x x)=-)=-coscos x x, , f f4 4( (x x)=(-)=(-coscos x x)=sin )=sin x x, , f f5 5( (x x)=(sin )=(sin x x)=)=f f1 1( (x x),),f f6 6( (x x)=)=f f2 2( (x x),.),. f fn n+4+4( (x x)=)=f fn n( (x x),),即周期即周期t

29、t為為4.4. f f20102010( (x x)=)=f f2 2( (x x)=-sin )=-sin x x. . -sin -sin x x)(xfn 7.7.（20092009安徽改編）安徽改編）已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )在在r r上滿足上滿足f f( (x x)= )= 2 2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x x-8-8, ,則曲線則曲線y y= =f f( (x x) )在點在點(1,(1,f f(1)(1)處的切處的切 線方程是線方程是_._. 解析解析 f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x

30、x-8-8, , f f(2-(2-x x)=)=2 2f f( (x x)-(2-)-(2-x x) )2 2+8(2-+8(2-x x)-8.)-8. f f(2-(2-x x)=)=2 2f f( (x x)-)-x x2 2+4+4x x-4+16-8-4+16-8x x-8-8. . 將將f f(2-(2-x x) )代入代入f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8x x-8-8 得得f f( (x x)=)=4 4f f( (x x)-2)-2x x2 2-8-8x x+8-+8-x x2 2+8+8x x-8.-8.f f( (x x)=

31、)=x x2 2. . y y= =f f( (x x) )在在(1,(1,f f(1)(1)處的切線斜率為處的切線斜率為y y|x x=1=1=2.=2. 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )在在(1,(1,f f(1)(1)處的切線方程為處的切線方程為 y y-1=2(-1=2(x x-1),-1),即即y y=2=2x x-1. -1. y y=2=2x x-1-18.8.（20102010無錫模擬無錫模擬) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c 的導數(shù)為的導數(shù)為f f(x x),),f f(0(0)0,)0,對于任意實數(shù)對

32、于任意實數(shù)x x, ,有有f f( (x x) ) 0, 0,則則 的最小值為的最小值為_._. 解析解析 f f(x x)=)=2 2axax+ +b b, ,f f(0(0)=)=b b00 )( )(01ff.)( )(,222010400422 bbbacbbcbaffcbacaacb又又2 29.9.(2009(2009江西改編江西改編) )若存在過點若存在過點(1,0)(1,0)的直線與曲線的直線與曲線 y y= =x x3 3和和y y= =axax2 2+ + x x-9-9都相切都相切, ,則則a a等于等于_._. 解析解析 設曲線設曲線y y= =x x3 3上切點為上切

33、點為 公切線的斜率為公切線的斜率為k k= = 或或k k=0,=0, 切線方程為切線方程為y y= (= (x x-1)-1)或或y y=0.=0. 當直線方程為當直線方程為y y=0=0時時, ,求得求得a a= = 當直線方程為當直線方程為y y= (= (x x-1)-1)時時, ,求得求得a a=-1. =-1. 415),(300 xx,| 0233231300203020030200 xxxxxxxxyxx或或427427;6425 42764251 或或二、解答題二、解答題10.10.(2010(2010麗水模擬麗水模擬) )已知曲線已知曲線s s: :y y=3=3x x-

34、-x x3 3及點及點p p(2,2).(2,2). (1) (1)求過點求過點p p的切線方程的切線方程; ; (2) (2)求證求證: :與曲線與曲線s s切于點切于點( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 000) )的切線與的切線與s s 至少有兩個交點至少有兩個交點. . (1) (1)解解 設切點為設切點為( (x x0 0, ,y y0 0),),則則 又又f f(x x)=3-3)=3-3x x2 2, , 切線斜率切線斜率 (x x0 0-1)(-1)(x x0 0-1)-1)2 2-3=0,-3=0,解得解得x x0 0=1=1或或 相應的斜率相應的斜率k k

35、=0=0或或 切線方程為切線方程為y y=2=2或或.30003xxy ,20003322xxyk ),)(20030033223xxxx 即即, 310 x, 369 k.)(22369 xy(2)(2)證明證明 與曲線與曲線s s切于點切于點( (x x0 0, ,y y0 0) )的切線方程可設為的切線方程可設為 與曲線與曲線s s的方程聯(lián)立的方程聯(lián)立, ,消去消去y y, ,即即( (x x- -x x0 0) )2 2( (x x+2+2x x0 0)=0,)=0,則則x x= =x x0 0或或x x=-2=-2x x0 0, ,因此因此, ,與曲線與曲線s s切于點切于點( (x x0 0, ,y y0 0)()(x x0 000) )的切線的切線, ,與與s s至少至少有兩個交點有兩個交點. . ),)(020033xxxyy ).)()(),()(0203003020031333133xxxxxxxxxxyxx 即即得得11.