隱函數(shù)的求導(dǎo)公式93911

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形二、方程組得情形二、方程組得情形三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題0),(. 1 yxf一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxp的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxf，0),(00 yxfy，則方程，則方程0),( yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxp的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件

2、)(00 xfy ，并，并有有 ddxyfyxf . . 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解解令令1),(22 yxyxf則則,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy ddxyfyxf ,yx 0d0,dxyx 例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求ddyx. 解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxf

3、y ddxyfyxf .xyyx 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxf在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xp),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xf0),00 zy，0),(000 zyxfz，則方程，則方程,(yxf0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxp的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxffxz ， zyffyz . .0),(. 2 zyxf解解令令 這個(gè)函數(shù)的定義域是這個(gè)函數(shù)的定義

4、域是yzzxzyxfln),( 0, yzzyxd即第即第，卦限之并，并且有卦限之并，并且有221,1,1zzxzzxfyfzfzyx )(,2zxyzffyzzxzffxzzyzx 所以，在所以，在 內(nèi)使內(nèi)使 的點(diǎn)即第的點(diǎn)即第，卦限卦限內(nèi)的點(diǎn)及第內(nèi)的點(diǎn)及第，卦限內(nèi)不在平面卦限內(nèi)不在平面 上的上的點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，方程點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，方程 ,即即能唯一確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)能唯一確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 且有且有d0 zx0 zx0),( zyxfyzzxln ),(yxfz 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)

5、對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看成看成zx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函數(shù)對(duì)的函數(shù)對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 zyfu),(z

6、yxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 0),(0),(vuyxgvuyxf二、方程組的情形二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 3 3 設(shè)設(shè)),(vuyxf、),(vuyxg在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000vuyxp的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且偏導(dǎo)數(shù)，且0),(0000 vuyxf, ,),(0000vuyxg0 ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（或稱雅可比式）式） vgugvfufvugfj ),(),(在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxp不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyx

7、f、 0),( vuyxg在點(diǎn)在點(diǎn)),(0000vuyxp的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxggffggffvxgfjxu vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv 例例5 5 設(shè)設(shè)0 yvxu，1 xvyu， 求

8、求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)并移項(xiàng)求導(dǎo)并移項(xiàng)x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj ,22yx 在在0 j的條件下，的條件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)，用同樣方法得求導(dǎo)，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv （分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0)

9、,()3(vuyxgvuyxf三、小結(jié)三、小結(jié)已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數(shù)數(shù)，求求? yzyxzx思考題思考題思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxf , 則則zfx1 ，,1)(zzyfy ,)()(22zyzyzxfz ,)(zyyxzffxzzx ,)()(zyyxzyzffyzzy 于是于是zyzyxzx .一、一、 填空題填空題: : 1.1.設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 ddyx _._. 2.2.設(shè)設(shè)zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._. 二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz 練

10、練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù)),(zyxf對(duì) 任 何對(duì) 任 何t恒 滿 足 關(guān) 系 式恒 滿 足 關(guān) 系 式),(),(zyxfttztytxfk , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(zyxf為為 k次齊次函數(shù)次齊次函數(shù), ,試證試證: :k次齊次函數(shù)滿足方程次齊次函數(shù)滿足方程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . . 四、求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)四、求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù): : 1.1.設(shè)設(shè) 203222222zyxyxz , ,求求dd,.ddyzxx 2.2.設(shè)設(shè) ),(),(2yvxugvyvuxfu，求，求.,xvxu （其中（其中

11、gf ,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)） 五、五、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且d0,0,.dghuyzx 求求( (hgf,均可微均可微) ) 六、六、 設(shè)設(shè)),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxf所確定所確定的的yx,的函數(shù)的函數(shù), ,求求d.dyx 七、七、 設(shè)設(shè)),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxf =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . . 一、一、1.1.yxyx ； 2. 2. 2ln,lnlnzzzxzy y xzy . . 四、四、1.1.d(61) d,d2 (31) d31yxzzxx