第三節(jié)三重積分78842

1、第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 第九章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limm“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 m .密度函數(shù)為定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分

2、割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(vf),(v 為 的體積, 積和式” 極限記作記作二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計

3、算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:zxyddyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfdyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線密度記作ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzadyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zd以xyz該

4、物體的質(zhì)量為vzyxfd),(bazdyxzyxfdd),(zdbayxzyxfzdd),(dzdzzdzdyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxydyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd當被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2

5、zyxf均為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf小結(jié)小結(jié): 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzdzzyxfyxvzyxfd),(zdbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 其中 為三個坐標例例1. 計算三重積分,dddzyx

6、x12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面xyz例例2. 計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd222202(1)dczzabzcczc2222221:czbyaxdzzdyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zdz,0 r,20 . z利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標的柱面坐標就叫點就叫點個數(shù)個數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的

7、極坐標為的極坐標為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點，并設(shè)點為空間內(nèi)一點，并設(shè)點設(shè)設(shè)mzrrpxoymzyxm,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxm),(rpr .,sin,coszzryrx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為標的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxm),(rprzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1

8、 1 計計算算 zdxdydzi，其其中中 是是球球面面 4222 zyx與與拋拋物物面面zyx322 所所圍圍的的立立體體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdi.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計算計算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸

9、旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2d, 422 yx.222020:22 zrr:1d,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2d1d,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821drfdzrdrdi,345 22222drfdzrdrdi,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd利用球面坐標計算三重積分的球面坐標的球面坐標就叫做點就叫做點，個數(shù)個數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投

10、影，這樣的三在在點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標與直角

11、坐標的關(guān)系為球面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，如圖，pxyzo),(zyxmr zyxa，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點設(shè)點axppxoym.,zpmyapxoa 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03

12、420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐標采用柱面坐標 ,:222ayxd dxdydzyxi)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標標，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzv, adrrddv2020

13、20sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 補充：利用對稱性化簡三重積分計算補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的的奇偶性奇偶性例例利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222

14、dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxi2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐標下：在柱面坐標下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyd： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdi).89290(60 （1） 柱面坐標的體積元素柱面坐標

15、的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對稱性簡化運算對稱性簡化運算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標三、小結(jié)三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素在直角坐標系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）備用題備用題 1. 計算,ddd12zyxxyi所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析：分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyiyddd1d201zxxyyyddd1d210計算較繁! 采用“三次積分”較好.1zxy1o1:4528 1122yzx2211xzx1