[理學]常微分方程模擬題浙江師范大學

1、浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院   模擬試題1一、填空題: (每小題2分,共8分)1. 方程的通解是 ;2. 是全微分方程(恰當方程)的充要條件 ;3. 方程的通解是 ;4. 方程 的特解可設(shè)為 .· 參考答案 o 1.  2. o 3.    4. 二、是非判斷題: (每小題2分,共12分)1. 如果是微分方程組的復(fù)值解(這里、都是實向量函數(shù),是實矩陣函數(shù)),那么是微分方程組的解; 2. 方程(是實數(shù))的通解是;3. 如果存在定負函數(shù)V(X),使得V通過方程組其中）的全導數(shù)定正,那么這個方程組的零解漸近穩(wěn)定;4. 方程(

2、其中a(x),b(x),c(x)連續(xù))可以有三個線性無關(guān)的解;5. 如果、均為方程組的基解矩陣,那么必存在可逆常數(shù)矩陣C使得成立;6. 方程=2 滿足初始條件:x=0時y=0的解只有y=0 .· 參考答案 o 1. ×, 2. ×, 3. , 4. , 5. , 6. ×. 三、(24分)求解下列各方程:1 =; 2. =; 3. ; 4. .· 參考答案 o 1. = 通解為 或者 寫成;o 2. = = =,即,通解為;o 3. ,設(shè),則=, 所以 ,即得通解; o 4. x()2-2y( )+x=0 ,設(shè),則,兩邊關(guān)于求導得或 . 由得

3、, 所以通解是,由得奇解 .四、(20分)求下列各方程的通解:1. ;2. .· 參考答案 o 1. 的通解是 ,設(shè)原方程的特解是, 將代入原方程得,所以有 ,所以原方程的通解是 ;注:如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程求解,則參照此解法給分.o 2. 設(shè) 則原方程化為,(其中 ), 即 ,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程組:· 參考答案 o 由 =0 得 ,所以，特征值是 . 對于，設(shè) (6分) 代入方程組可得 記,則.對于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是 ,或者寫成 .六、(12分)已知微分方程,其中g(shù)(x)= 試求一連續(xù)函數(shù)y=y(

4、x),滿足條件y(0)=0,且在區(qū)間內(nèi)滿足上述方程.· 參考答案 o 1.當時,所以,.由得; 當時,所以,.因為y(x)在x=1連續(xù),所以.所以,所求函數(shù)是.七、(10分)判斷下列方程組的零解的穩(wěn)定性:1 2· 參考答案 o 1. 一次近似方程是 , 特征方程 ,.因為,特征根的實部都,所以原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的. o 2. 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)(定正), 則 定負,因此,原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的.     模擬試題2        一填空題：（第1小題

5、4分，其它每小題3分，共25分）1方程是 階是(非) 線性方程.2若方程（連續(xù)）是全微分方程，則滿足關(guān)系 .3李普希茲條件是保證初值問題 解唯一性的 條件.4對于一階方程（p(x),q(x)C(a,b)）, 則其任一解的存在區(qū)間是 .5對于歐拉方程 ，只需作變換 ，即可將其化為常系數(shù)線性方程. 6對于二階方程，其由解所構(gòu)成的Wronski行列式必為 .7對于常系數(shù)線性齊次方程組，若常系數(shù)矩陣A的特征根的實部都是負的，則方程組的任一解當時 .8單擺運動方程可化為一階方程組 .· 參考答案 1. 三 ，非 2 3充分， 4(a,b)， 5，o 6常數(shù) ， 7. 趨于零， 8. . 二求解

6、下述方程：（每小題6分，共42分）1234.5.6.7.· 參考答案 o 1. (6分) o 2. ，解為 o 3. 積分因子為，解為 (6分)； o 4. 設(shè)(1分)，令，解為 (6分)； o 5. （I）當，;（II）當,不防設(shè)a>0,則方程的兩個基本解為，易求得一個特解 所以此時方程的解為 o 6. x+x=0的通解是 (2分)， 設(shè)原方程的特解是(4分)，將代入原方程得 ，所以有 ,所以原方程的通解是 注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程求解，則參照此解法給分o 7. ,設(shè)，則（2分）. 所以，原方程化為 由得，因此得 （6分）三（本題11分）1何謂是線性齊次方程組的基解

7、矩陣？ 2試求系數(shù)矩陣A=上述方程組的基解矩陣.· 參考答案 o 1. 稱是的基解矩陣，如果滿足 （a） (b) .（4分）o 2. 令，可求得（7分） 對于 由可取, 對于，由可取對于，由可取因此基解矩陣為.（11分）四討論題：（本題12分） 研究方程 1 當n=1, 方程是什么類型的方程？并求解之。2 當n=2, 方程是什么類型的方程?通過觀察能否直接求出其解？如何作變換將其化為可求解的類型，并具體求解之。· 參考答案 o 1. 當 n=1 時，方程為線性非齊次方程， 其解為 （3分）o 2. 當 n=2 時，方程為Riccati方程，通過觀察，易知為其一特解（6分），

8、 令（8分），代入原方程后可化簡為 此為伯努里方程，再令，則又可化為可求其解為，因此原方程的解為 .五證明題：（本題10分）設(shè)是方程的基本解組，則線性非齊次方程滿足初始條件的解可表為（其中w 為解所成的Wronski行列式），試證明之.· 參考答案 o 證明：設(shè) 為方程 （1）的兩個線性無關(guān)解. 令 ，則（1）化為，其中 （3分）則據(jù)常數(shù)變易公式，滿足初始條件的解為,（6分）其中 代入可算得 .     模擬試題3     一、填空題：（每小題3分，共21分）1. 方程的階數(shù)是 .2. 方程的通

9、解是 ；3. 是方程的積分因子的充要條件是 ；4. 方程的通解是 ；5. 方程的特解可設(shè)為 ；6. 如果是某個二階線性非齊次方程的特解，那么這個方程的通解是 ；7. 方程滿足條件的解有 個. · 參考答案 o 1. 三 ， o 2， o 3， o 4 ， o 5, o 6 ， o 7.無窮多. 二、是非判斷題：（每小題2分，共10分）8. 如果是微分方程組的復(fù)值解（這里、都是實向量函數(shù)，是實矩陣函數(shù)），那么是微分方程組的解.9. 方程（a是實數(shù)）的通解是.10. 方程（其中連續(xù)）可以有三個線性無關(guān)的解.11. 如果是n維方程組=A(t)X的基解矩陣，C是n階可逆常數(shù)矩陣，那么C也是方

10、程組=A(t)X的基解矩陣.12. 方程= 2滿足初始條件：x=0時y=0的解只有y=0. · 參考答案 o 8. ×， 9. ×， 10 ， 11, 12,×. 三、（24分）求解下列各方程：1. ；2. =； 3. -=；4. .· 參考答案 o 1. =(3分) 通解為 或者寫為 (6分)； o 2. =(3分) (6分)； o 3. 設(shè)(2分)，則= (4分)，所以 ， 通解是(6分)； o 4. 設(shè)(1分)，則，兩邊關(guān)于求導得 (4分)代入得(5分)，所以通解是 (6分).四、（18分）求下列各方程的通解：1. ；2. .·

11、 參考答案 o 1. 的通解是 (2分)，設(shè)原方程的特解是(4分)， 將代入原方程得 ，所以有 ，以原方程的通解是 (6分).注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程求解，則參照此解法給分.o 2. 設(shè) (2分) 則原方程化為，（其中 ） (4分)， 此方程通解是，所以原方程的通解是 (6分).五、（15分）(1) 求方程組 , , 一基解矩陣；(2) 利用常數(shù)變易法求方程組 +F(t) F(t)= ，滿足初始條件 X（0）=的特解X(t).· 參考答案 o (1) . o (2) . 六、（12分）已知微分方程，其中試求一連續(xù)函數(shù)，滿足條件，且在區(qū)間 內(nèi)滿足上述方程.· 參考答

12、案 o 當時，所以，.由得； 當時，所以，.因為在x=1連續(xù)，所以.所以，所求函數(shù)是.     模擬試題4        一、填空題: (每小題3分,共21分)1. 方程的階數(shù)是 ; 2. 方程的滿足條件的特解是 ;3. 方程存在只與y有關(guān)的積分因子=(y)的充要條件是 ;4. 方程的通解是 ;5. 方程的特解可設(shè)為 ;6. 方程的特解可設(shè)為 ;7. 方程滿足條件的解有 個.· 參考答案 o 1. 三 , 2. , 3., 4. , o 5., 6., 7. 無窮多. 二、是

13、非判斷題: (每小題2分,共10分)1. 如果是微分方程組的復(fù)值解(這里、都是實向量函數(shù),是實矩陣函數(shù)),那么是微分方程組的解; 2. 方程(是實數(shù))的通解是 ; 3. 方程y+a(x)y+b(x)y=c(x)(其中a(x)、b(x)、c(x)連續(xù))最多有三個線性無關(guān)的解;4. 如果(t)是n維方程組的基解矩陣,C是n階常數(shù)矩陣,那么(t)C也是方程組的基解矩陣;5. 對于常系數(shù)方程組X= AX,若A的特征根的實部都是非正的,則方程組的任一解當時都趨于零.· 參考答案 o 1., 2.×, 3., 4.×, 5.×. 三、求解下列各方程: (4

14、9分)1. ; 2. ;3. ;4. .5. x+x=et;6. ;7. .· 參考答案 o 1.; 2. 或者 ;3. 設(shè)，則 ,所以，通解是 ;4. ;通解是 y=0也是解;5. x+x=0的通解是 ,設(shè)原方程的特解是,將代入原方程得 ,所以有 所以原方程的通解是 ;6. ,設(shè) ,則原方程化為,(其中 ),的通解是,的通解是, 所以原方程的通解是 . 7. 的通解是.設(shè),代入原方程得 所以,原方程的通解是 .四、求方程組的基解矩陣,其中.(9分)· 參考答案 o 因為 所以,特征值是 . 對于,解齊次方程組 得特征向量,同理,對于,可求得特征向量.因此,原方程的通解是,

15、或者寫成.五、證明題:(11分)1.(6分)給定方程,其中在上連續(xù),設(shè)是上述方程的兩個解,證明極限存在.2.(5分)設(shè)f(x)是已知的以為周期的連續(xù)函數(shù),k是非0常數(shù),試證明方程有且僅有一個周期為的周期解,并求出這個周期解.· 參考答案 o 1.證明:由條件知是線性齊次方程的解, 因為 的特征方程是 ,特征根是,所以 的通解 ,所以 ,從而極限 存在.o 2. 證明:如果有兩個以為周期的周期解, 則是齊線性方程的解,所以.由于是以為周期的函數(shù),所以c=0,即.方程的通解是.由得,所以.因此,所求解是.     模擬試題5  

16、      一、填空題：(3×10)1方程的通解為 .2形如 的方程叫做歐拉方程.3若方程組中矩陣有個互不相等的特征根1 ，2 ，,n，而是對應(yīng)的特征向量，則基解矩陣為() =_.4階非齊線性方程 + 的通解等于 與 之和.5考慮定義在區(qū)間a，b上的函數(shù), 如果存在 ，使得恒等式 對于所有ta,b都成立，則說這些函數(shù)是線性相關(guān)的. 6設(shè)函數(shù)組，則在區(qū)間上它們的伏朗斯基行列式是它們在區(qū)間上線性相關(guān)的 條件（填“充分”，“必要”或“充要”）.7. 方程為恰當方程的充要條件是 .8. 與方程組相對應(yīng)的線性方程為 . · 參考答案

17、o 1. o 2. o 3. o 4它所對應(yīng)的齊線性方程的通解，它本身的一個特解. o 5. 不全為零的常數(shù) , . o 6. 必要. o 7. . o 8. 二、解方程（5×4）1 2. 3. 4. · 參考答案 o 1、，令，代入方程中得，令，則方程轉(zhuǎn)化為， 兩端積分得不為0；此外，也是解，故原方程的通解為，即，為任意常數(shù).2令，代入原方程得，且，故有，所以，所以原方程的通解為 3 由于所以 . 于是有，所以原方程的通解為 ，其中c為任意常數(shù)4對應(yīng)的齊線性方程的通解為，設(shè)代入原方程得，所以原方程的通解為 +.三、解答題（本大題共15分，其中第一題7分）1已知，試求方程組

18、的一個基解矩陣，并計算.2用比卡逐步逼近法求下列初值問題的解（其他方法不予計分）.· 參考答案 o 1. 特征根為，對應(yīng)的特征向量為 .2. ,這里，所以在為中心的任何鄰域內(nèi)都滿足解的存在唯一定理的條件，故此初值問題的解存在且唯一，作比卡逐步逼近序列： ，由此取極限得： .四、證明題1（10分）設(shè) 是n階齊線性方程 的任意n個解，它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式為W(t)，證明：(1) 滿足(2) 2（10分）設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)實矩陣，為方程的基解矩陣，而為其一解. 試證： 對于方程的任一解必有常數(shù). 為方程的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣，使.3（15分）設(shè)是方程組的任意個解，試

19、證明它們線性相關(guān)的充要條件是伏朗斯基行列式.· 參考答案 o 1. 證明：(1) 設(shè)是n階齊線性方程的任意n個解，它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式為 ，由行列式的求導公式得 . 把這個行列式的第1行、第2行、第n行分別乘以后加到最后一行上，最后一行全部變成0，所以 .（2）當時，等式當然成立。當時，兩端取到的定積分，得化簡即得 .2. 證明: 令，則有,因而有常數(shù) ：若存在非奇異的常數(shù)矩陣C使得，求導得： ，這就說明是解矩陣 而，所以，所是基解矩陣 ：若、分別是這兩個方程的基解矩陣，則 所以，而，以為非奇異的常數(shù)矩陣.3. 證明:相關(guān)存在不全為零的常數(shù)，使得恒成立微分得由于常數(shù)不全零，所以

20、這個關(guān)于 得齊線性方程組由非零解，故有=系數(shù)行列式=0 線性相關(guān)（見課本定理，證略）     模擬試題6        一、(3×10)填空題:1. 微分方程的階數(shù)的是 .2. 方程 的通解為 .3. 方程 的奇解指的是 .4. 方程組的解矩陣為基解矩陣的充要條件是 .5. 常系數(shù)齊線性方程組中,若矩陣有個互不相等的特征根 ,而 是這個特征根對應(yīng)的特征向量,則方程組的基解矩陣為 = .6. 階非齊線性方程 + 的通解等于 與 之和.7. 形如 的方程叫 方程.8. 對,若有定

21、正函數(shù),則當為 時,零解為漸近穩(wěn)定的.9. 對于非線性方程,若的特征根的實部 時,其零解為不穩(wěn)定.· 參考答案 1 1.未知函數(shù)最高次導數(shù)的次數(shù), 2., 3.這個解的每個點上至少還有方程的另外一個解 4. 且, 5. , 6. 它所對應(yīng)的齊線性方程的通解，它本身的一個特解.7. 克萊羅, 8.定負函數(shù), 9. 大于零.二、解方程(8×3)1. ; 2. ;3. .· 參考答案 o 1. 提示:令,則 .方程的解為:; 2. ，令，則.方程的解為: ;3. , 解為:.三、判斷下列方程在給定區(qū)域上是否滿足解的存在唯一定理的條件(5×2) (1)、(2)、

22、R :· 參考答案 o (1) 易驗證滿足解的存在唯一定理的條件 (2) 不滿足,因為 當時,所以 在區(qū)域R上不滿足利普希斯條件,四、確定下列方程組的奇點類型及穩(wěn)定性(8×2)1、 2、 · 參考答案 o 1.鞍點 不穩(wěn)定 o 2.穩(wěn)定焦點,漸近穩(wěn)定 五、證明題1.(8)設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅倚賴于的積分因子.2.(12)設(shè)，, 是階齊線性方程 + + + + = 0 的任意個解,它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式為,試證明:（1） W(t)滿足;（2） ,其中,.· 參考答案 o 1. 證 必要性. 若方程為線性方程,則方程可寫為.令

23、,由題意知,連續(xù),所以方程有積分因子 ,僅依賴于x的積分因子.充分性. 設(shè)方程有僅倚賴于的積分因子,即 為恰當方程,有           上式右端僅為x的函數(shù),令其為,積分上式,得 , 故該方程為線性方程. o 2 證明: (1) 設(shè)是n階齊線性方程的任意n個解,它們所構(gòu)成的伏朗斯基行列式為 ,由行列式的求導公式得 .把這個行列式的第1行、第2行、第n行分別乘以后加到最后一行上,最后一行全部變成0,所以 (2) 當時,等式當然成立.當時,兩端取 到 的定積分 ,得 化簡即得 .

24、60;    模擬試題7       一、填空題(310):1.給定微分方程,則它的通解為 ,過點的特解為 .2.對于微分方程,作變換 ,可將它化為變量分離方程.3.微分方程為全微分方程的充要條件是 .4.克來羅方程的通解為 ,奇解為 .5.已知常系數(shù)齊線性方程 的特征根為,則它的通解為 (用實函數(shù)表示). 6.已知常系數(shù)齊線性方程組 ,若矩陣的個特征根彼此互異,他們所對應(yīng)的特征向量,則方程組的基解矩陣 .7.階線性方程有復(fù)值解,則其虛部是方程 的解.8.與初值問題 等價的 階線性方程的初值問題為 . &

25、#183; 參考答案 o 1.,; 2. ; 3. ; 4., , 5.,; 6 ;7.;8.二、判斷題(25)1.階線性方程的通解包含了方程的一切解,因而方程沒有奇解.2.在解的存在唯一定理中,若滿足利氏條件,則一定連續(xù).3.對于區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù) ,若它們構(gòu)成的伏朗斯基行列式,則這個函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān).4.設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊線性方程的解,則原方程的通解可以表示為,其中為任意常數(shù).5.方程應(yīng)該有一個形如特解,其中待定.· 參考答案 o 1.×, 2.×, 3., 4.×, 5.×. 三、解下列微分方程(54):1.2.3.4.&#

26、183; 參考答案 o 1.積分因子為 ,通解為 . 2.先求解齊次方程:=0,齊次方程通解: 取 ,代入原方程比較系數(shù)得:,所以原方程通解:.3.先求解齊次方程,齊次方程特征根(二重),設(shè),代入原方程得, 原方程的解為:.4.設(shè) ,得到K應(yīng)滿足的方程 ,因此,方程的通解為 .(以下四七題每題十分):四. 已知連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式,試求函數(shù)的表達式.· 參考答案 o 提示:對關(guān)系式兩邊關(guān)于x求導,易得 , . 五.已知方程組 ,其中 ,求,并寫出方程組的通解.· 參考答案 o 由得特征根為, 由特征向量方程組,分別求得屬于特征根的特征向量為 ,所以基本解組為 .標準基本解矩陣

27、為 所以原方程組的通解為 . 六.設(shè)不是矩陣的特征值,證明:方程組c有一解形如m,其中c，m是常向量.· 參考答案 o 證:設(shè)方程有形如=m的解,下面證明m是可以唯一確定的. 事實上,將m代入方程組,得,又因為不是矩陣的特征值,即,所以存在,于是由,得 ,即m是方程組唯一確定.故方程組有一解 .七.若的個解,在區(qū)間上線性無關(guān),則他們的伏朗斯基行列式在這個區(qū)間的任何點處都不等于零,即.· 參考答案 o 證明:參見王高雄常微分方程P106.    模擬試題8一、填空題：（3×10）1、如果把函數(shù)帶入微分方程后， ，則稱函數(shù)為微分方程的解.2、方程的通解為 .3、方程的奇解指的是 .4、方程組的解矩陣為基解矩陣的充要條件是 .5.