[六年級數(shù)學(xué)]第十四講典型試題分析

1、第十四講典型試題分析小學(xué)數(shù)學(xué)競賽實際上就是解題能力的競賽多做好題是提高解題能力的有效途徑本講中精選了各類數(shù)學(xué)競賽的一些典型試題進行分析與解答，希望對開拓思路能起一點作用例1龜兔賽跑，全程5.2公里，兔子每小時跑20公里，烏龜每小時3公里，烏龜不停地跑，但兔子卻邊跑邊玩，它先跑1分鐘后玩20分鐘，又跑2分鐘然后玩20分鐘，再跑3分鐘然后玩20分鐘，問先到達終點的比后到達終點的快多少分鐘？分析 只要分別求出烏龜和兔子到達終點各用了多少分鐘解：烏龜?shù)竭_終點所用時間為：如果兔子不停地跑，那么它到達終點所用時間為：達終點了，共用時間：所以烏龜比兔子早到例2下圖是兩個互相嚙合的齒輪，大的是主動輪，小的是從

2、動輪，大齒輪半徑為105，小齒輪半徑為90現(xiàn)在兩個齒輪的標志線在同一直線上，問大齒輪至少轉(zhuǎn)了多少整圈后，兩條標志線又在同一直線上？分析 這道題可以看成下面的問題：在A點有甲、乙二人，同時、同速出發(fā)分別沿著兩條跑道跑圈，問甲沿左邊大圈至少跑了多少圈后，乙沿右邊小圈跑到了A點或B點？解：由于要求乙到達A點或B點，所以乙跑的路程應(yīng)該是小圓周長一半的倍數(shù)；又由于乙與甲跑的路程相等，所以問題就變成了：大圓周長的至少多少倍是小圓周長一半的倍數(shù)？設(shè)甲跑了n圈，則有 答：主動輪至少轉(zhuǎn)3圈，兩條標志線又在一條直線上說明：變換問題的敘述方式，往往是發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段例3王師傅在某個特殊崗位上工作，他每上8天班

3、后，就連續(xù)休息兩天，如果這個星期六和星期天他休息，那么至少再過幾個星期后，他才能又在星期天休息？分析 首先應(yīng)該計算出至少過了多少天，王師傅又在星期天休息，由于他是連續(xù)休息2天，因此可能出現(xiàn)兩種情況：星期六和星期天，星期天和星期一解：由于王師傅工作8天，休息2天，所以每10天一循環(huán)，設(shè)過了n個10天又是星期天，那么總天數(shù)就是10n天，又由于每過7天是一個星期天，這就要求10n是7的倍數(shù)，因此n至少等于7，總天數(shù)就是70天；另外一種情況是過了n個10天是星期一，也可以使王師傅在星期天休息，同樣的分析可以知道，10n1是7的倍數(shù)，這時n至少等于5，總天數(shù)為10×5149（天）由于4970，

4、所以第二種情況在第一種情況之前出現(xiàn)，這就說明王師傅至少過49天才又在星期天休息，而不難算出49天等于7個星期答：王師傅至少過7個星期又在星期天休息例4祖父現(xiàn)在的年齡是小明年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過幾年以后，祖父年齡將是小明年齡的4倍，求祖父今年多少歲？分析 在“年齡問題”中，有一條差不變原理要注意，也就是說無論什么時候，祖、孫二人的年齡差都是一樣的解：設(shè)祖、孫二人今年的年齡分別為x和y，根據(jù)已知條件：今年祖父年齡是小明年齡的6倍，就有：xy5y，設(shè)過a年后，祖父年齡是小明年齡的5倍，由差不變原理知道：xy4（ya），設(shè)過b年后，祖父年齡是小明年齡的4倍，同樣道理又有

5、：xy3（yb），綜合上面三個式子有：5y4（ya）5y3（yb）整理后得：y4a2y3b，也就是 8a3b從這個式子看出應(yīng)該有：a3，b8，從而就有y4×312x6×1272答：祖父今年72歲說明：事實上，從8a3b這個公式看出a應(yīng)為3的倍數(shù)，b為8的倍數(shù)，如果取a6、b16或更大的話，將得出不合常理的結(jié)果例5下圖中8個頂點處標注數(shù)字a，b，c，d，e，f，g，h，（abcd）（efgh）的值解：由已知條件得：3abde3bacf3cbdg3dach把這四式相加，得3（abcd）2（abcd）（efgh）abcdefgh（abcd）（efgh）0例6從1100這100個不

6、等的數(shù)中，每次取出2個數(shù)，要使它們的和大于100，有多少種不同的取法？分析 在這100個不等的數(shù)中，每次取出2個其中必有一個較小的，又這二數(shù)之和要大于100，我們可以枚舉較小數(shù)的所有可能取值情況來討論解：較小數(shù)是1，有1種取法，即（1，100）；較小數(shù)是2，有2種取法，即（2，99），（2，100）；較小數(shù)是50，有50種取法，即（50，51），（50，52），（50，53），（50，100）；較小數(shù)是51，有49種取法，即（51，52），（51，53），（51，54），（51，100）；較小數(shù)是99，有1種取法，即（99，100）所以共有取法：12495049212（124950）50250

7、0（種）例7有A、B、C三人參加M項全能比賽，在每一個項目中，第一名、第二名和第三名分別得分P1、P2和P3，它們都是自然數(shù)，并且P1P2P3，最后計算總分時，A得22分，B與C均得9分，B跑百米第一，問：M等于多少？在跳高比賽中，誰得第二名？分析 我們來分析如何求M，由于題中已知有百米和跳高兩項比賽，所以M至少是2，又由已知條件知有：M（P1P2P3）229×240所以M是40的約數(shù)，M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次枚舉試驗，淘汰非解解：由于P13，P22，P11，因此M（123）M（P1P2P3）40也就是M6，這樣一來M只有三種可能取值了：2、4、5

8、下面我們分別討論如果M2，這時只有百米和跳高兩項比賽，由于B在百米賽中得分P1，他的總分只有9分，因此P1至多等于8，這樣A無論如何也得不到22分，所以M2如果M4，這時有：P1P2P310由于B得了一個第一，所以他至少得分：P13P3又由于B的總分是9，所以我們有：P13P39由此不難看出P1不能超過6，又由A得總分22知P1還不能小于6，所以P16，這樣一來就有P2P34，所以就有P31，P23這是不可能的，因為這時A最多得分為6×3321，不夠22，因此M4排除了以上兩種情況，只有M5下面我們來分析每個人的得分情況，這時我們有：P1P2P38由于P1、P2、P3互不相同，所以P

9、31，否則的話，左邊至少等于23498因此就有P1P27不難發(fā)現(xiàn)P1至多等于5，同時又不能小于5，所以P15，從而也就有P22我們用下表來表示每個人的名次：且由表可見，C是跳高比賽的第二名這個表的填充過程讀者應(yīng)自己獨立地作一遍例81978年，有個人在介紹自己的家庭時說：我有一兒一女，他們不是雙胞胎，兒子年齡的立方，加上女兒年齡的平方，正好是我的出生年，我是在1900年以后出生的，我的兒女都不滿21歲，我比我妻子大8歲，請求出全家每個人的年齡分析 本題的關(guān)鍵在于先確定兒子的年齡，其次是求出女兒的年齡，這可用前面介紹的“篩”法來做到解：由于1332197，所以兒子的年齡一定小于13歲；又由于113

10、1331，既使加上212441，也只是133144117721900，所以兒子的年齡一定大于11歲，只有12歲了設(shè)女兒的年齡為x，根據(jù)已知條件有：123x21900所以x21900123x2172也就是說女兒的年齡大于13歲，又已知這個年齡小于21歲，所以女兒的年齡可能歲數(shù)是：14，15，16，17，18，19，20如果x15，那么父親的出生年數(shù)就等于：1231521953這顯然是不合理的（想一想為什么？），同樣道理，女兒的年齡也不能是大于15的數(shù)，只能是14歲這時父親的出生年數(shù)為：12314219241978年時的年齡為：1978192454（歲）1978年時母親的年齡為：54846（歲）：

11、答：（略）說明：從本題的解答可以發(fā)現(xiàn)，運用篩選法解題時，關(guān)鍵是確定篩選的范圍，范圍越小，篩選的工作量越小從上面的幾個例子我們看出，用枚舉法解題的基本方法是：按某種規(guī)律一一列舉問題的有限個解；或者是：把研究對象劃分為不重復(fù)、不遺漏的若干類一一解決，從而得到原問題的解答有時為了求出某一答案，若不能直接解得，就可以運用篩選法，也叫排除法，它的做法可以用四句話概括：確定范圍，逐一試驗，淘汰非解，求出解答在遇到一個較復(fù)雜的問題時，一時不知從何下手，有時可先把問題簡單化，考慮它的特殊情形在解決這個特殊情形的過程中，得到啟發(fā)，從而獲得解決原題的方法，這樣的解題方法，我們叫作從特殊到一般的分析方法，簡單地說就

12、是難的不會，想簡單的例9問5條直線最多將平面分為多少份？分析 直接想五條直線的情況不好想，先研究一些簡單的情況，不難知道：一條直線最多將平面分為2部分；二條直線最多將平面分為4部分；三條直線最多將平面分為7部分；四條直線最多將平面分為11部分；五條直線的圖不易畫出，所以很難下結(jié)論，分析一下上面特殊情形的結(jié)論，看看能不能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律二條直線分平面的4部分恰好是在一條直線分平面的2部分的基礎(chǔ)上增添了2部分；三條直線分平面的7部分恰好是在二條直線分平面的4部分的基礎(chǔ)上增添了3部分，類似地，四條直線分平面的11部分是在三條直線分平面的7部分的基礎(chǔ)上增添4部分，怎樣解釋這個規(guī)律呢？我們以四條直線的情形作

13、為例子三條直線將平面分為7部分，新加上一條虛線，由于要求分平面的部分數(shù)盡可能多，所以新添虛線不能過實線的交點，這樣，虛線與三條實線有三個交點，這三個交點將虛線分為四段，其中的每一段都將所在的平面部分一分為二，所以也就是使所分平面的份數(shù)增加4解：因為四條直線最多分平面為11部分，添上第五條線，它與前四條線至多有4個交點，這4個交點將第五條線分為5段，其中每一段將所在平面部分一分為二，所以五條直線最多將平面分為11516部分說明：仿照前面的分析方法不難分析出n條直線最多分平面的部分數(shù)為：223（n1）n例10在平面上畫20個圓，問這20個圓最多可能將平面分為多少個部分？分析 直接畫出20個圓去數(shù)當(dāng)

14、然是行不通的先考慮一些簡單的情況：一個圓最多分平面為2部分；二個圓最多分平面為4部分；三個圓最多分平面為8部分；當(dāng)?shù)诙€圓在第一個圓的基礎(chǔ)上加上去時，第二個圓應(yīng)與第一個圓有2個交點，這兩個交點將新加的圓分為2段，其中每一段弧都將所在平面部分一分為二，所以所分平面部分數(shù)在原有2部分的基礎(chǔ)上又增添2部分同樣道理，三個圓最多分平面的部分數(shù)是在2個圓分平面為4部分的基礎(chǔ)上又增加4部分解：繼續(xù)前面的分析過程，畫第20個圓時，與前19個圓最多有19×238個交點，第20個圓的圓弧被分成為38段，也就是增加了38個區(qū)域，所以20個圓最多分平面的部分數(shù)為：21×22×219

15、15;222（12319）382說明：類似的分析我們可以得到計算n個圓最多分平面部分數(shù)的公式：21×22×2（n1）×22212（n1）2n（n1）n2n2例11有70個數(shù)排成一排，除兩頭兩個數(shù)外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)之和，已知前面兩個數(shù)是0和1，問最后一個數(shù)除以6的余數(shù)是多少？分析 直接求第70個數(shù)除以6的余數(shù)不容易，先求它除以2和除以3的余數(shù)解：設(shè)最后一個數(shù)為x，先求x除以2的余數(shù)，列出下表觀察規(guī)律：我們發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的規(guī)律是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，這個規(guī)律是可靠的，如果一個數(shù)左邊兩個數(shù)都是奇數(shù)，那么這個數(shù)就是奇數(shù)的3倍減去一個奇數(shù)，所以這個數(shù)一定

16、是偶數(shù)，同樣可以分析出，如果一個數(shù)左邊兩個數(shù)一奇一偶，那么這個數(shù)一定是奇數(shù)因為70÷3余1，所以x是偶數(shù)，下面來求x除以3的余數(shù)，列出下表觀察一下這列數(shù)除以3余數(shù)的規(guī)律：因為每個數(shù)的3倍是它兩邊兩個數(shù)之和，所以間隔一個數(shù)的兩個數(shù)之和一定是3的倍數(shù)所以不難分析出這列數(shù)除以3的余數(shù)規(guī)律是：0，1，0，2，0，1，0，2，又由于70÷4余2，所以第70個數(shù)x除以3的余數(shù)為1我們已經(jīng)知道x是一個除以3余1的偶數(shù)，所以x除以6應(yīng)該余4我們還可以用帶余除式推出這個結(jié)論，因為x除以3余1，所以x可以寫成下式：x=3k+1 （k是自然數(shù)）又因為x是偶數(shù)，所以k應(yīng)是一個奇數(shù)，也就是說k被2除

17、余1，寫成帶余除式就是：k=2m+1 （m是自然數(shù)）綜合兩個式子就得到x=3（2m+1）16m+3+1=6m+4因此，x除以6余4說明：本題的解法告訴我們，如果已知一個數(shù)除以兩個數(shù)后各自的余數(shù)，那么應(yīng)如何去求它除以這兩個數(shù)的乘積的余數(shù)作為練習(xí)請同學(xué)們完成下題已知某數(shù)除以3余2，除以4余3，求這個數(shù)除以12的余數(shù)是多少？例12 43位同學(xué)，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)互不相同，每個同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫片，畫片只有兩種，3分一張和5分一張，每人都盡量多買5分一張的畫片，問他們共買了多少張3分的畫片？分析 本題實際上是要將8到50的所有自然數(shù)表示成若干個3與若干個5的和，其中5的個數(shù)

18、要盡可能多因為求的是3的個數(shù)，所以只要求出8至12的表示中有多少個3即可解：我們有：8=5+39=33+310=5+511=5+3312=3+3+33下面的表示式中3的個數(shù)不會再增加，只要在前面的表示中加5就可以了，例如13=8+5=5+5+314=95=3335等等前五個式子中3的個數(shù)為：13+0+2+4=10因為43÷5=8余3，所以3的總個數(shù)為：10×813084答：3分的畫片共買了84張思考：本題中如果要求5分畫片共買多少張應(yīng)怎樣做？如果本題改為讓3分畫片盡可能多，求5分畫片共有多少張，應(yīng)怎樣做？例13 有十個人各拿一只提桶同時到水龍頭前排隊打水設(shè)水龍頭注滿第一個人

19、的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，如此下去問：當(dāng)只有一個水龍頭時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使他們總的費時為最少？這時間等于多少分鐘？當(dāng)只有兩個水龍頭可用時，應(yīng)如何安排這十個人的次序，使他們總的花費時間為最少？這時間等于多少分鐘？分析 我們用A1，A2，A9，A10分別表示第一，第二，第九，第十個人，先考慮只有A1、A2兩個人的情形如果A1在前，A2在后，總共花費的時間為：1×22×1=4（分鐘）如果A2在前，A1在后，總共花費的時間為：2×21×1=5（分鐘）因此，對兩個人的情況，提小桶的人在前，提大桶的人在后，總共花費的時間最少，由此就不難知道十個人如何排列，總費時最少先考慮只有A1，A2，A3，A4四個人的情況這時候可能的排列方法有以下幾種：總費時=1×12×33×24×117（分鐘）總費時=2×11×33×24×1=15（分鐘）總費時=3×11×32