全等三角形中考試題匯編

1、全等三角形選擇題1. 2021?四川資陽(yáng)，第 10 題 3 分如圖 6，在 ABC 中，/ ACB=90o, AC=BC=1 , E、F 為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且/ ECF=45°過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn) M，垂足分 別為H、G.現(xiàn)有以下結(jié)論： AB= 2 ;當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，1 1MH=:AF+BE=EF ; MG?MH=，其中正確結(jié)論為22A .B.C.D.考點(diǎn)：相似形綜合題.分析：由題意知， ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷； 如圖1 ,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得MG / BC,四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到FG是厶ACB的

2、中位線，從而作出判斷； 如圖2所示，SAS可證 ECF ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷； 根據(jù)AA可證 ACEBFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到11 1=AE?BF =ACk依此即可作出判斷.解答：解：由題意知， ABC是等腰直角三角形,AB=，*=二故正確;如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合,/ MG 丄 AC,/ MGC=90° = / C= / MBC , MG / BC,四邊形 MGCB是矩形， MH=MB=CG,/ FCE =45° = / ABC

3、,Z A= / ACF =45°, CE=AF=BF, FG是厶ACB的中位線， GC=±AC=MH，故正確；如圖2所示，D 圖2/ AC=BC ,Z ACB=90° ,/ A= / 5=45° .將厶ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至厶BCD ,貝U CF=CD，/ 1 = / 4，/ A=Z 6=45° BD=AF ;/ 2=45° ,/ 1+ / 3=/3+ / 4=45°,/ DCE = / 2.在厶ECF和厶ECD中，C?=CDZ2=ZDCB,CECE ECF ECD ( SAS , EF=DE .V/ 5=45&

4、#176; , / BDE=90° , DE2=BD2+BE2, 即即 E2=AF2+BE2,故錯(cuò)誤；/ 7= / 1 + / A=/ 1+45°=/ 1 + / 2= / ACE,/ A= / 5=45° , ACEBFC ,.AF二配麗 BF， AFBF=AC?BC=1 ,由題意知四邊形 CHMG是矩形, MG / BC, MH=CG ,MG / BC, MH / AC,CH=AEBC |AB'AC，0n MG AE ffiH BF即“= *， MG ='7 -2一.:=i2 MG?MHAE; MH= BF ,2故正確.應(yīng)選：C.點(diǎn)評(píng)：考查了相

5、似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)， 全等三角形的判定和性質(zhì)， 勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.2. 2021?浙江金華，第9題3分以下四種沿 AB折疊的方法中，不一定能判定紙帶兩條邊線a , b互相平行的是【】A. 如圖1,展開(kāi)后，測(cè)得/ 1 = / 2B. 如圖2,展開(kāi)后，測(cè)得/ 仁/ 2,且/ 3= / 4C. 如圖3，測(cè)得/仁/ 2D.如圖4,展開(kāi)后，再沿CD折疊，兩條折痕的交點(diǎn)為0,測(cè)得 OA=OB, OC=ODB【答案】C.【考點(diǎn)】折疊問(wèn)題；平行的判定；對(duì)頂角的性質(zhì)；全等三角形

6、的判定和性質(zhì)分析】根據(jù)平行的判定逐一分析作出判斷：A. 如圖1,由/仁/ 2,根據(jù) 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行"的判定可判定紙帶兩條邊線 a , b互 相平行；B. 如圖2,由/ 1= / 2和/3= / 4，根據(jù)平角定義可得/ 1= / 2=7 3= / 4=90 °從而根據(jù) 內(nèi) 錯(cuò)角相等，兩直線平行"或 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行"的判定可判定紙帶兩條邊線 a , b互 相平行；C. 如圖 3,由7 1=7 2不一定得到內(nèi)錯(cuò)角相等或同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ), 故不一定能判 定紙帶兩條邊線 a , b 互相平行；D. 如圖4 ,由OA=OB , OC=OD

7、, AOC= BOD得到 AOC也 BOD ,從而得到CAO= DBO，進(jìn)而根據(jù) 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 的判定可判定紙帶兩條邊線a , b互相平行 .應(yīng)選 C.3. (2 0 1 5?四川省宜賓市， 第 8題，3 分)在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn) A (x1,y1)，B (x2,y2) 規(guī)定運(yùn)算： A+B=( xi+ x2, yi+ y2)； ACB= xi X2+yi y2當(dāng)xi= X2且yi= y2時(shí)A=B有以下四個(gè)命題：(i )假設(shè) A(i, 2), B(2,-),那么 A(EB=(3,i), ACB=0;(2) 假設(shè) ACB=BCC，貝U A=C;(3 )假設(shè) ACB=B CC，貝

8、U A=C;(4)對(duì)任意點(diǎn)A、B、C,均有(ACB )+c=AC B+c )成立其中正確命題的個(gè)數(shù)為( C )A. i 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D.4 個(gè)分析】1根揺新定乂可計(jì)算出山 ®5= 3» > 片 ;2 TxC 工3 ?3'根據(jù)蕭是文得二越E= z f + l2 » FlW，5 ® C= 毗亠兀尸苗丁丫 3八 那么：£亠豈=j<2+13 * Ti+ya=y；+n>于是得班盧工護(hù)廠節(jié)x熬后定義即可!JBA=CJ3由于盤(pán) Bitixa+y iya1 B 1=壯£3亠亍，貝歸1 無(wú)二亠門(mén)：te二起兀丁$，

9、 不能得至， yi=F3* 靳 以 AC!i >根攜新定義可得<A 3 C=A <B C =求廠工殆，丫廠北-打.解吾】瞬；1 > A ®B= H2 - 21 = C3> 1 > > A B=1 X ?-2 x -1 =0. I lEi2 設(shè)C 羽* ya f A® 0= si4i2 > y廣肌，E® C 恥+旳，yj+ya，ffijA ® B=B 涉 C，所以對(duì)亠瓦尸邛亠馬，7172=7273 J那么兀佇心，71=73 J斷以FC，所以2正碩；3 A B二僅1北+芹1甘2， B C-3t2E3j2V$ *

10、而左 E=E 匚,喇盂1勺-廠竝出-畀鰹，邱能得到心亍滬W 所知工所以門(mén)不正確；4 因?yàn)?C A ® B 雄匚=工1 亠 x?亠:E?，亍1 亠 w 亠 yg ，A ' B C > = mi 亠：zg 亠:£3，丁+予2+扌3> 所以.A®B «C-A« fi ®C、所映4正確.I點(diǎn)評(píng)】本趣考査7給題與左理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫像命題.許多命題都昱由題設(shè)和結(jié)論兩局部組啟，4. 2021?浙江省紹興市，第7題，4分如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀 ABCD，其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點(diǎn) A與/ PRQ的頂點(diǎn)R

11、重合，調(diào)整AB和AD,使它們分別落在角的兩 邊上，過(guò)點(diǎn)A, C畫(huà)一條射線 AE, AE就是/ PRQ的平分線。此角平分儀的畫(huà)圖原理是：根 據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得 ABCA ADC，這樣就有/ QAE = Z PAE。那么說(shuō)明這兩個(gè)三角形全等的 依據(jù)是C. AASD. SSS分析：在厶ADC和厶ABC中，由于 AC為公共邊，AB=AD, BC=DC，利用SSS定理可判定 ADCABC，進(jìn)而得到/ DAC= / BAC，即/ QAE= / FAE .解答：解：在 ADC和厶ABC中，AD 二 ABDC=BC ,AC 二 AC:, ADC ABC ( SSS ,/ DAC = / BAC,即/ QAE =

12、 Z FAE.應(yīng)選：D.點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的應(yīng)用；這種設(shè)計(jì)，用SSS判斷全等，再運(yùn)用性質(zhì)，是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時(shí)要認(rèn)真讀題，充分理解題意.5. (2021貴州六盤(pán)水，第AB = DC9題3分)如圖4，/ ABC=Z DCB，以下所給條件不能證明C.Z ACB=Z DBCD . AC= BD考點(diǎn)：全等三角形的判定.分析：此題要判定 ABC DCB，/ ABC= / DCB , BC是公共邊，具備了一組邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，故添加AB=CD、/ ACB=Z DBC、/ A= / D后可分別根據(jù) SAS ASA、AAS能判定 ABCA DCB，而添加 AC=BD后那么

13、不能.解答：解：A、可利用AAS定理判定厶ABC DCB，故此選項(xiàng)不合題意；B、可利用SAS定理判定厶ABC DCB，故此選項(xiàng)不合題意；C、利用ASA判定 ABCBA DCB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、SSA不能判定厶ABC DCB，故此選項(xiàng)符合題意；應(yīng)選：D.點(diǎn)評(píng)：此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，假設(shè)有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.6. 2021?江蘇泰州，第6題3分如圖， ABC中，AB=AC, D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交

14、 AC、AD、AB于點(diǎn)E、0、F，那么圖中全等的三角形的對(duì)數(shù)是A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)【答案】D.【解析】 試題分析：根據(jù)條件 AB=AC, D為BC中點(diǎn)，得出 ABD ACD，然后再由AC的 垂直平分線分別交 AC、AD、AB于點(diǎn)E、0、F,推出 AOEEOC ,從而根據(jù) SSS'或SAS 找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏.試題解析： AB=AC, D為BC中點(diǎn)， CD = BD，/ BDO= / CDO=90°在厶ABD和厶ACD中，AB=AC,ad=jd ABDACD ；7. 2021?山東東營(yíng)，第 9題3分如圖，在 ABC中，AB>AC,點(diǎn)D、

15、E分別是邊AB、AC 的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，連接DE , DF , EF .那么添加以下哪一個(gè)條件后， 仍無(wú)法判定 FCE 與厶EDF全等.A . Z A= / DFE B . BF=CFC . DF / AC D . Z C=Z EDFf解析】試題分折；屯題/牙知DE/內(nèi)二ZXE即ZEE, EF是厶FCE與AEDF的公共邊/添加條件 B、BFCF, .DF/ZACj .ZDFE=ZCEF, .ADEF-3Acre (ASA) 故可以a DF/AC, .Zdfe=Zcef, j.AdefAcfe (asa)7 故可以下九 Zc=Zedfa /.AdefAcfe (aas), 故可以J A.無(wú)

16、法判Bh應(yīng)選A-考點(diǎn)：三角形全等的判定8. (2021?山東東營(yíng)，第10題3分)如圖，在 RtA ABC中，/ ABC=90 ° AB=BC.點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連結(jié) CD，過(guò)點(diǎn)B作BG丄CD，分別交 CD、CA于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn) A且 垂直于AB的直線相交于點(diǎn) G ,連結(jié)DF .給出以下四個(gè)結(jié)論： ；假設(shè)點(diǎn)D是ABAB JSC唇rm |的中點(diǎn)，貝U AF = 'AB ；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，DF = DB ；假設(shè) 一 “，1AD 2那么柑址,9斗.其中正確的結(jié)論序號(hào)是(A .B .【答案】CC .D .【解析】G AF試題弁析；丁二磁=9f ZG血=90*

17、二卿二=,枚王確:3C FC1又/ZBCD+ZBEC=ZEEC+ZABG=9O° J .ZECD=ZABG, T犧二CEDdBJG八.加二BDj '/BD=L:.AG: EC= 1 : 2j /.AF: FC= 1 : 2 , .“.AF: AC= 1 : 3? f/C=V2A3, J.AF= 一AE,故嗟正確碣丄吋，VZddc=90° , .cr 足亶徑，*Zcft= 90* j */df丄cd.二上EEbDUE,故正蘭；BD 假設(shè)5T寧鳩販耽"乳T(mén)古礙叫氓二疏BE = BE: CE = BD: EC= 1 : 3 , /.DE:二尸1 : 9，即S_：

18、；9S工門(mén)故確唉,應(yīng)選C.考點(diǎn)：1 相似三角形的判定和性質(zhì);2圓周角定理；3三角形全等的判定與性質(zhì)二.填空題1. 2021黑龍江綏化，第18題 分如圖正方形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O , CEF是考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)，可得AO=BO,OE=OF，根據(jù)SSS可得厶AOE BOF , 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)角的和差，可得答案.解答：解：四邊形 ABCD是正方形，OA=OB,/ AOB=90° . OEF是正三角形， OE = OF，/ EOF=60° .在厶AOE和厶BOF中，(

19、OA=OBAE=BF ,OE=OF AOE BOF ( SSS,/ AOE = Z BOF ,/ AOE= (/ AOB -Z EOF )吃=(90。- 60 ° 吃=15 °故答案為15°點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形、等邊三角形的性質(zhì)，利用SSS證明三角形全等得出Z AOE= Z BOF是解題的關(guān)鍵.2. (2021?四川瀘州，第16題3分)如圖，在矩形 ABCD中，BC /2AB，/ ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E, AH丄DE于點(diǎn)H，連接CH并延長(zhǎng)交邊 AB于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O,給出以下命題：第16題圖Z AEB= Z AEHDH =

20、 22EH1 H0 AE BC BF , 2EH其中正確命題的序號(hào)是 (填上所有正確命題的序號(hào))考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì).分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AD=BC=.二AB=.:i _，由DE平分Z ADC，得到 ADH是等 腰直角三角形， DEC是等腰直角三角形，得到DE=_】CD，得到等腰三角形求出Z AED=67.5 ° Z AEB=180° - 45° - 67.5 °67.5 ° 得到正確；設(shè) DH=1，貝AH = DH=1 , AD=DE2，求出HE初 -1,得到

21、邁HE = 2近(近-D 巳 故錯(cuò)誤；通過(guò)角的 度數(shù)求出厶AOH和厶O(píng)EH是等腰三角形，從而得到正確；由厶AFHCHE ,到AF=EH ,由厶 ABEAHE，得至卩 BE=EH，于是得至卩 BC - BF= ( BE+CE)-( AB=AF) = ( CD + EH) -(CD - EH ) =2EH，從而得到錯(cuò)誤.解答：解：在矩形 ABCD中，AD = BC=. =AB=.二丨.,/ DE 平分Z ADC, Z ADE = Z CDE=45° ,/ AD 丄 DE , ADH是等腰直角三角形，/. AD =、.：' AB, AH=AB=CD, DEC是等腰直角三角形， DE

22、= JCD , AD = DE,/ AED=67.5 °/ AEB=180° - 45° - 67.5 °67.5 °/ AED = Z AEB,故正確；設(shè) DH=1 ,貝V AH = DH=1 , AD=DE=:, HE', 2逅HE=2逅也-1 Ml,故錯(cuò)誤；/ AEH=67.5 °/ EAH=22.5 °/ DH=CH , / EDC=45° ,/ DHC=67.5 ° °/ OHA=22.5 ° ,/ OAH= / OHA ,OA=OH ,/ AEH = Z OHE=6

23、7.5 °OH=OE ,OH=AE ,2故正確；/ AH = DH , CD = CE ,在厶AFH與厶CHE中，ZAHF=ZHCE=22.5flZFAH=ZHEC=45" ,AH=CE AFH CHE , AF =EH ,在厶ABE與厶AHE中，AB二AH. .,AE=AE ABE AHE , BE=EH , BC - BF= ( BE+CE)-( AB=AF) = ( CD + EH)-( CD - EH) =2EH ,故錯(cuò)誤，故答案為：.點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)， 全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的 判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相

24、等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是此題的難點(diǎn).3. 2021?四川眉山，第18題3分如圖，以厶ABC的三邊為邊分別作等邊厶 ACD、 ABE、 BCF，那么以下結(jié)論： EBFDFC :四邊形 AEFD為平行四邊形；當(dāng) AB=AC,/ BAC=120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形.其中正確的結(jié)論是 .請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論的番號(hào).考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定.專題：計(jì)算題.分析：由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，/ ABE= / CBF=60°

25、利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形 ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD, AE=DF，利用對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，假設(shè) AB=AC,/ BAC=120 °只能得到 AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項(xiàng).解答： 解： ABE、 BCF為等邊三角形， AB=BE=AE, BC=CF=FB，/ ABE= / CBF=60° ,/ ABE -Z ABF= / FBC -/ ABF，即/ CBA= / FBE ,在厶ABC和厶EBF中

26、，AB=EB/ H ABC EBF (SAS),選項(xiàng)正確； EF=AC ,又 ADC為等邊三角形，CD=AD=AC, EF=AD ,同理可得AE=DF ,四邊形AEFD是平行四邊形，選項(xiàng)正確；假設(shè)AB=AC ,Z BAC=120° ,那么有AE=AD，/ EAD=120° ,此時(shí)AEFD為菱形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故答案為：.點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)， 平行四邊形的判定， 以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.4. (2021?江蘇南昌，第9題3分)如圖，OP平分Z MON , PE丄OM于E, PF丄ON于F,OA=OB,那

27、么圖中有對(duì)全等三角形答案：解析：/ POE=Z POF, Z PEO = Z PFO=90°OP=OP,.A POEPOF(AAS),又 OA=OB,Z POA = Z POB,OP=OP,." POAPOB(AAS), /. PA=PB, / PE=PF, RtA PAE也RtA PBFHL. 圖中共有 3對(duì)全的三角形.5. 2021?江蘇無(wú)錫，第15題2分命題 全等三角形的面積相等 的逆命題是 命題.填入 真或假考點(diǎn)：命題與定理.分析：把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推結(jié)論，如果能就是真命題.解答：解：全等三角形的面

28、積相等的逆命題是 面積相等的三角形是全等三角形，根據(jù)全等三角形的定義，不符合要求，因此是假命題.點(diǎn)評(píng)：此題考查了互逆命題的知識(shí)， 兩個(gè)命題，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.6. 2021?山東聊城，第15題3分如圖，在 ABC中，/ C=90 ° / A=30 ° BD是/ ABC的 平分線.假設(shè)AB=6，那么點(diǎn)D到AB的距離是_ . :；_.考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì).分析： 求出/ ABC，求出/ DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC, CD，問(wèn)題即可求出.

29、解答： 解：/ C=90° , / A=30° ,/ ABC=180° - 30° 90° =60° ,/ BD是/ ABC的平分線，/ DBC=：/ ABC=30° , BCAB=3, BD是/ ABC的平分線，又角平線上點(diǎn)到角兩邊距離相等,點(diǎn)D到AB的距離=CD=:-；,故答案為：打；點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7. 2021湖南邵陽(yáng)第12題3分如圖，在？ABCD中，E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且BE/ DF , 請(qǐng)從圖中找出一對(duì)全等三角形： ADFS' BEC

30、.DC考點(diǎn)：全等三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì).專題：開(kāi)放型.分析：由平行四邊形的性質(zhì)，可得到等邊或等角，從而判定全等的三角形.解答： 解：四邊形 ABCD是平行四邊形， AD = BC,Z DAC = Z BCA ,/ BE / DF ,/ DFC = / BEA,/ AFD = Z BEC,在' ADF與' CEB中，ZDAC=ZBCA 一 ,AD=BC ADF S' BEC AAS,故答案為： ADF S' BEC .點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形全等的判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行和角相等從而得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

31、三解答題1. 2021?江蘇泰州，第25題12分如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8cm, E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA 上的動(dòng)點(diǎn)，且 AE=BF=CG=DH.(1) 求證：四邊形 EFGH是正方形；(2) 判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(3) 求四邊形EFGH面積的最小值。(M 25Sffi)【答案】 證明見(jiàn)解析；(2)直線EG經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心( AC、BD 的交點(diǎn))；理由見(jiàn)解析；(3)32cm2.【解析】試題分析 Cl)由正方形的性質(zhì)得出土曲/吐iZHj AH=BE=CF-DG,由£陰證 Bfl AAEH ABFE ACGF A DHG

32、,得出 EH二FE=GFGH, ZEHZEFE,證出凹邊形 EFGE 是賽形，再證出£ HE片90“ ,目?jī)珍X出結(jié)論I<2)連播g EGt奩點(diǎn)黃IOt先證明 ME洱ACOG,得出OACi證出0対對(duì)角線g ED的交點(diǎn)，即。為 正方砸的中心*<3?設(shè)四邊形EFGH醞積詢缶BE=xcmt那么BF= (S"x)咖 由勾狀定理得出S=/+ (8-«) ;=2 (曠4)訃3劃S是罠的二諛函數(shù).容處得出四邊寵EFGH衙駅的最小僖.試題解析；【解答】 證服丁四ABCD >正匍枳二/臚F AE-BC=CD=DA!'/AE-CDH，.AH=BE=CFDG,在

33、aeh、Abfe. Acgf 和 Adhc 中:AZFFuCG 二DH-jlA = aB = jlDAH = BE = CF = DG:.A aeto Abfe Accf A det (sas)-二 EH=FE=G尸 GH, ZAEH=Z：BFE>二四邊形EF&H是菱形.'/ZBEF+ZBFE=90e .ZBEF+ZAEH=90° ,Z- ZHEFBO* ,人四邊形EPM是正方形：(2)解：直線EG經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心( AC、BD的交點(diǎn))；理由如下：連接AC、EG,交點(diǎn)為O;如下圖：四邊形ABCD是正方形, AB / CD ,/ OAE = Z

34、 OCG,在厶AOE和厶COG中,AOE COG (AAS),OA=OC,即即O為AC的中點(diǎn)，正方形的對(duì)角線互相平分， O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；(3) 解：設(shè)四邊形 EFGH面積為S,設(shè)BE=xcm,貝U BF=(8 x) cm,根據(jù)勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+ ( 8 x) 2, S=x2+(8 x) 2=2 (x 4) 2+32,/ 2 > 0, S有最小值，當(dāng)x=4時(shí)，S的最小值=32 ,四邊形EFGH面積的最小值為 32cm2.考點(diǎn)：四邊形綜合題.2. (2021?山東臨沂，第25題11分)如圖1,在正方形 ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形

35、ADE和DCF，連接AF, BE.(1 )請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ;(2) 如圖2,假設(shè)將條件 兩個(gè)等邊三角形 ADE和DCF 變?yōu)?兩個(gè)等腰三角形 ADE和DCF , 且EA=ED=FD = FC ，第(1)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立 ？請(qǐng)作出判斷并給予證明；(3) 假設(shè)三角形 ADE和DCF為一般三角形，且 AE=DF , ED=FC ,第(1 )問(wèn)中的結(jié)論都能成立嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷【答案】1 AF=BE, AF丄BE 2結(jié)論成立3結(jié)論都能成立【解析】試題冷折！。根抿正方開(kāi)待廨邊三角刑可證明/UfZHiuf,然后可得麗"巧Zape=Zdaf,進(jìn)而通過(guò)宜角可證

36、得BE丄AFJ2類似1的證 證BMABEADAF,燃后可得用BEAF丄BE,因此結(jié)論還成力<3類似證法，先證應(yīng)礎(chǔ)陰然后再證皿箜DAF,因此可得證結(jié)論.試題解析；解：1爐匹,AF1EE2結(jié)論成立.ill明：T四邊形ADS足正方畝?+BA=AD =DC, ZBAD =ZALC = 90° .在厶EAD和厶FDC中，EA=M>,SD = fC,AD-DC, * EAD FDC./ EAD = Z FDC./ EAD + Z DAB = / FDC+ / CDA,即/ BAE=/ ADF.在厶BAE和厶ADF中，BA = AD,L BAE ADF. BE = AF，/ ABE=

37、/ DAF./ DAF + / BAF=90° ,/ ABE + / BAF=90° , AF 丄BE.(3)結(jié)論都能成立.考點(diǎn)：正方形，等邊三角形，三角形全等3. ( 2021山東荷澤，20，8分)如圖，/ ABC=90 ° D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC.(1) 如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AF丄AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷 CDF的形狀 并證明；(2) 如圖2, E是直線BC上一點(diǎn)，且 CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P,Z APD的度數(shù) 是一個(gè)固定的值嗎？假設(shè)是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；假設(shè)不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(CDF是等腰三角形；(2)/ AP

38、D=45° .【解析】試題分析.(1)證明亠舊全等.再利用全等三角形的性質(zhì)緡出FRG即可判斷三(2)作圧丄沾于召使唐今3匡結(jié)D耳利用於S證明心FD和陽(yáng)C全等F再利用全等三角 形的性質(zhì)得出 4DG、服可得出ZTGE厶2PA上&試題解析工CD &DF是等睡三命形，理由如T mLQ 厶UM曠 厶欣衽 5AZ75C 中，mi, Z耳 ANQ5G 丄弋3C 二邑Q經(jīng)5?能幻，豬D=DG /. ACJ5 是尊 睡三角形早C作.疔丄*出于丘 使A=SD,連結(jié)CS 如圈.T£L.JD Z_JJO90fl ,*“4SBC,在 AF.4D 與 匸中，/-ADAC S, :.FD

39、C, -AC£r 是等腰三甬形，'A.SSAJjC, .mYD® Z33CZDC3= , ZC>Z7£».<=?OC . ：40F是鋅睡直角三角», AZF0450，丫療化広 且止走爼 二四邊形丄弋E是平行四訥移二 匕卅匸二 上乙Q嚴(yán)厶弋>41 ° ,D"考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).4. 2021?四川省宜賓市，第18題，6分注意：在試題卷上作答無(wú)效 如圖，AC=DC, BC=EC,/ ACD = / BCE求證：/ A=Z DABC【專題】證朋題【分哲】先liEXACB=ZDCE.再由胡S證明施

40、匚爼ADES得出對(duì)應(yīng)角相等即可.CffW3 證明:- ZACI>=2iBCEi-ZACB=ZDCEjACDC口樓；在AA5C和£(：中，J ZACB = ADCE ampz，EC 二EGampAZIABCADEC (SAS)，二 ZA=ZD-【點(diǎn)評(píng)】此題考堂了金寺三角形的和定與性質(zhì)熬練簞搞全等三角形的和定方法證明三角形全等是解決問(wèn)題 的關(guān)霽5. (2021?浙江省紹興市，第 23題，12分)正方形 ABCD和正方形 AEFG有公共頂點(diǎn) A,將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)， 記旋轉(zhuǎn)角/ DAG= a,其中0° a 180；連結(jié)DF ,BF，如圖。(1 )假設(shè)a=

41、0；那么DF=BF，請(qǐng)加以證明；(2) 試畫(huà)一個(gè)圖形(即反例)，說(shuō)明(1)中命題的逆命題是假命題；(3) 對(duì)于(1)中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫(xiě) 出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由。第23題圖考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 分析：(1)利用正方形的性質(zhì)證明厶 DGF BEF即可；(2) 當(dāng) a=180° 時(shí)，DF=BF .(3) 利用正方形的性質(zhì)和 DGF BEF的性質(zhì)即可證得是真命題.解答：1證明：如圖1,V四邊形 ABCD和四邊形AEFG為正方形, AG=AE, AD=AB, GF = EF，/ D

42、GF = / BEF=90° DG = BE,在厶DGF和厶BEF中，DG=BE- ，GF二麗 DGFBEF ( SAS , DF = BF ；2,F在正方形ABCD內(nèi);即：假設(shè)點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，那么旋轉(zhuǎn)角a=0°點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，命題和定理, 掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意利用正方形的性質(zhì)找三角形全等的條件.6. 2021?浙江省臺(tái)州市，第 24題定義：如圖1,點(diǎn)M , N把線段AB分割成AM , MN和BN,假設(shè)以AM , MN, BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，那么稱點(diǎn) M , N是線

43、段AB的勾 股分割點(diǎn)(1) 點(diǎn)M , N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，假設(shè) AM =2 , MN=3求BN的長(zhǎng)；(2) 如圖2,在厶ABC中，F(xiàn)G是中位線，點(diǎn)D, E是線段BC的勾股分割點(diǎn)，且EC>DE閉D, 連接AD，AE分別交FG于點(diǎn)M , N,求證：點(diǎn) M , N是線段FG的勾股分割點(diǎn)(3) 點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖 3所示，請(qǐng)?jiān)贐C上畫(huà)一點(diǎn)D,使C，D 是線段AB的勾股分割點(diǎn)(要求尺規(guī)作圖，保存作圖痕跡，畫(huà)出一種情形即可)(4) 如圖4,點(diǎn) M , N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN>AM羽N , AMC , MND和厶N(yùn)BM均是等邊三角形，AE分別交CM , DM ,

44、DN于點(diǎn)F, G , H，假設(shè)H是DN的中點(diǎn)， 試探究S AMF , S ben和 S四邊形MNHG 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由4 A/fv再0用*/ / 1 t圖1)BD£C【尅祈】門(mén)肖Q打最大絨段時(shí)，由勾股定理求出恥；肖M為最大絨覆時(shí)，由勾股定理帝出站即可亍2 務(wù)證出點(diǎn)A、X分另I是AD、AE的中點(diǎn)，儈出BDFM DE=2MNi EC=2NG -求d：EC2=BD2-DE21得出 NGa=Fli2+MNa，即可得岀第論!3衣閽上就孤作虹點(diǎn)垂宜平分如 薩取CF=CA；作BF的垂直平吩如 交須于D即于4先證明ADGH旦AtfElb得出DG=E衍b，再證明 1GM«AAEN*得出

45、比例貳，得出 ab-ae_bc * 證出e=a+b » f" tHa=b證出 ADCH= ACAF » 導(dǎo)出占“口石h=£aXf，證出SdmnSacm +S，EH0即可傳出結(jié)倫【節(jié)吾】門(mén)解：當(dāng)疔為斎玄線段時(shí)，點(diǎn)是線段把的勾股分割點(diǎn)， 目胚&衛(wèi)產(chǎn) 當(dāng)肚為最大線段時(shí)丫蟲(chóng)II、N基經(jīng)般AB的勾股分劃幻，'叫 MY2 十zM?二 J4=叵， 綜上所述；三?或JTP遼證明：TFG是衛(wèi)朋C的中位線，-FC/BC，.AM AN AG ,XfD WE GO人點(diǎn)M、壬分別是AD 、AE的中點(diǎn)，-T-0D=2FX - DE=2M5 -丁點(diǎn)D、E是線我肌的勾嚴(yán)

46、分割點(diǎn)*且lC>DE>BD./C2=BD?-DE2 '.' C2NG) (2FM)時(shí)J:'北兀F亠MN=，削小是繞段嘉的匈艇分割點(diǎn)*(3) £：作法：在AB上舊取CE=CA I©作AE點(diǎn)垂育甲分娃，并截®CF=CA!儘連撞旺，并作BF的垂克平吩勢(shì) 衣血于D：點(diǎn)D珈対所求豐如圍所示：(4?解；Sai.:¥MISHG=sJiAMF_sAaEN '理由如"F ：lAM=ti BX=b > WN=c T是M的中盍-' DH=HN=-c *2v AWND AB陸均拘壽邊三角Jf頭.' ZD

47、ZDNESO*，在厶D関和KEF中，IZD=ZDyEDH=HX，/Ldhg-Znhe二 ADGHS ANEW ( ASA>，ADG=EN=b-AM=c-tj7 GM7EN-AAM«AAEU*.c-b 一 a 9 $b ac- u=：巳 -ac-bu，/點(diǎn)M、Y是繪槪口的勾殷分對(duì)點(diǎn)，二 Ca-b ) J C b-a) u b-aC'-'-a_=fc 在和們F中"Nd=Zu<DGCA上 DGH= £CAF- adghacaf (1EA> *' S_D-3H=S1_CAF,7, 2021?畐建泉州第20題9分如圖，在矩形ABCD

48、中.點(diǎn)O在邊AB上，/ AOC = / BOD .求解：四邊形 ABCD是矩形，/ A= / B=90° , AD=BC,/ AOC= / BOD ,/ AOC -Z DOC = Z BOD -Z DOC,/ AOD= Z BOC,在厶AOD和厶BOC中, fZA=ZB ZAOD=ZBOC,Iad=bc AODBA BOC , AO = OB.& ( 2021曠東梅州，第20題，9分)如圖， ABC.按如下步驟作圖：以 A為圓心， AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)??；以 C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D;連結(jié)BD，與AC交于點(diǎn)E,連結(jié)AD，CD.(1) 求證： ABCADC ；(2)

49、 假設(shè)/ BAC=30° , / BCA=45° , AC=4，求 BE 的長(zhǎng).B考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖 一復(fù)雜作圖.分析：(1)利用SSS定理證得結(jié)論；(2)設(shè)BE=x,利用特殊角的三角函數(shù)易得 AE的長(zhǎng)，由/ BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的長(zhǎng).解答：(1)證明：在厶 ABC與厶ADC中，AB 二 ADBC=CD ,AC=AC ABC ADC ( SSS ；(2)解：設(shè) BE=x,/ BAC=30° ,/ ABE=60° ,. AE=tan60° X= , ;x,/ ABC BA ADC , CB=C

50、D，/ BCA=Z DCA ,/ BCA=45° ,/ BCA=Z DCA=90° ,/ CBD = / CDB=45° , CE=BE=x,：；x+x=4, x=2-；- 2, BE=2- 2.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，利用方程思想，綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵.9. 2021?甘肅蘭州，第25題，9分如圖，四邊形ABCD中AB/ CD ,AB淪D ,BD=AC。 1求證：AD=BC；第石題圖【考點(diǎn)解剖】此題考查特殊四邊形的性質(zhì)，和等腰三角形性質(zhì)中的相關(guān)知 識(shí)點(diǎn)?！局R(shí)準(zhǔn)備】在同一個(gè)三角形中，相等的邊所對(duì)

51、的角相等；【思路點(diǎn)拔】1要說(shuō)明AD=BC,只要能說(shuō)明 ACD BDC , 現(xiàn)已有AC=BD , CD=DC，那么關(guān)鍵是如何說(shuō)明/ 仁/ 2;這里需要注意的是：由 AC=BD，并不能直接得出結(jié)論/ 1= / 2,因?yàn)锳C和BD并非同一個(gè) 三角形中的元素。能否以某一角為媒介，使得/1和/ 2都與之相等？結(jié)合條件中的 AC=BD,如果能夠構(gòu)造出以 AC和BD為其中兩邊的三角形， 那么它們所 對(duì)的角自然相等。為此，可將AC平移，使點(diǎn) A到點(diǎn)B位置如圖，那么有/ 2= / K，而/ K= / 1，那么有/ 2= / 1，問(wèn)題得以解決；【解答過(guò)程】1延長(zhǎng)DC至K，使CK=AB，v A吐CK，四邊形ABKC

52、是平行四邊形，那么在口 ABKC 中，有 AC丄 BK，/ 1 = / K，/ BD=AC，AC=BK， BD=BK，那么有/ 2= / K，ACBD ACD和厶BDC中，I12 ，DCCD/ 2= / K，/ 仁/ K，/ 1 = / 2。 ACD BDC ( SAS)，AD=BC ;1 = / 2有困難時(shí),【題目星級(jí)】 【解題策略】很多時(shí)候，在直接說(shuō)明某兩個(gè)量相等如此題中需證明/從而到達(dá)說(shuō)我們往往可以尋找第三方媒介，分別說(shuō)明目標(biāo)的兩個(gè)量與第三方的這個(gè)量相等,明兩個(gè)目標(biāo)量相等的目的。10. 2021?四川瀘州，第 18 題 6 分如圖，AC=AE,/ 1 = / 2, AB=AD.求證：BC

53、=DE.A考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：先證出/ CAB = Z DAE，再由SAS證明 BACA DAE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可.解答：證明：/ 仁/2,/ CAB = Z DAE ,在厶 BAC 和厶 DAE 中， ZCAB=ZDAE ,AB 二 AD BAC也厶 DAE SAS, BC=DE.點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.11. 2021?四川涼山州，第21題8分如圖，在正方形 ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連 接AG, DE丄AG于E, BF / DE交AG于F，探究線段 AF、BF、EF三者之間

54、的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由.AZ>【答案】AF=BF+EF，理由見(jiàn)試題解析.【解析】試題分析三根據(jù)正方形的性質(zhì)！可網(wǎng)少豈4 DAB=3C= 帳據(jù)余角的性質(zhì).可緡厶DOW孔根捉全鋅三角形的判定與性礫可繹苗與應(yīng)的炸苒根據(jù)等量代換.可得答郭試題解析，綻段止叫3二 莊三看之間的數(shù)裁毎 4于嚴(yán)三二 理由如下，丁四邊理上弓匚。是正方形戶.亠5二JD 8竺二SB財(cái).'.門(mén)三丄一工于三 3F/3E交丄。于C .'. ZAIM£DASFR曲 /. ZJ2?£+ZDJ£=P0° , ZD+ZB-40° , .Z,D£=Z3J5(在&；棗 和AZ?JZ 中，；"4 厶QN 上密弓=丄門(mén)三3 *肪2d 二&捋F也 A7J三(A), .BAI, T4Q口考點(diǎn)：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2 .正方形的性質(zhì).12. (2021?四川眉山，第25題9分)如圖，在矩形 ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿 EC 對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC,連結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn)，(1)